Um conjunto cilindro-pistão contém 1 kg de ar, inicialmente a 500 kPa e 700 K , quando começa a se expandir de forma adiabática e reversível até a pressão de 200 kPa . Admitindo que o ar possa ser tratado como um gás ideal, mas que seus calores específicos não possam ser assumidos constantes, determine o trabalho realizado durante o processo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um cilindro-pistão que contém 1 kg de ar a uma pressão inicial de 500 kPa e temperatura de 700 K. Esse ar vai se expandir de forma adiabática (sem troca de calor) e reversível até a pressão final de 200 kPa. Nosso objetivo é descobrir quanto trabalho é realizado nesse processo. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de processos adiabáticos, gás ideal e como calcular o trabalho quando os calores específicos não são constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um processo adiabático e reversível. Um processo adiabático é aquele em que não há transferência de calor entre o sistema e o ambiente. Se o processo também é reversível, significa que ele acontece de maneira muito lenta, sem gerar entropia. Nesse caso, a única forma de energia transferida é o trabalho realizado pelo sistema.

Passo 3

Como estamos lidando com um gás ideal (ar, nesse caso), podemos usar a equação de estado dos gases ideais:
PV = mRT
Onde:
  • é a pressão,
  • é o volume,
  • é a massa,
  • é a constante específica do gás,
  • é a temperatura.
Para o ar, a constante específica é aproximadamente 287 J/(kg·K).

Passo 4

Em um processo adiabático reversível, a relação entre pressão e temperatura é dada por:
T2T1 = (P2P1)^gamma-1gamma
Onde . No entanto, como os calores específicos não são constantes, precisamos considerar que varia com a temperatura. Para simplificar, vamos assumir que não varia muito durante o processo e usar um valor médio.

Passo 5

Para o ar, sabemos que gamma = cpcv = 1005718 approx 1,4 (calor específico a pressão constante) é aproximadamente 1005 J/(kg·K) e (calor específico a volume constante) é aproximadamente 718 J/(kg·K). Então, é:

Passo 6

Agora, vamos calcular a temperatura final T2700 = (200500)^1,4-11,4 = (25)^0,41,4 usando a relação adiabática:
0,41,4 approx 0,2857
Calculando o expoente:
T2700 = (25)^0,2857 approx 0,668
E então:
T2 approx 700 times 0,668 approx 467,6 , K
Portanto:

Passo 7

Agora que temos as temperaturas inicial e final, podemos calcular o trabalho realizado. Em um processo adiabático, o trabalho W = m cdot cv cdot (T1 - T2) pode ser calculado pela diferença na energia interna, já que não há transferência de calor:
Onde:
  • ,
  • ,
  • ,
  • .

Passo 8

Substituindo os valores na fórmula:
W = 1 times 718 times (700 - 467,6) = 718 times 232,4 approx 166,900 , J

Resposta

O trabalho realizado durante o processo de expansão é aproximadamente 167 kJ.

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