O ar que ocupa o interior de uma sala de 70 m^3 está inicialmente a 33^circ C e 101 kPa . O sistema de ar condicionado, com coeficiente de desempenho COP=3, é então acionado por 40 minutos e, após esse intervalo de tempo, a temperatura do ar chega a 21^circ C. Admitindo que o ar se comporte como gás ideal, com calores específicos constantes, e que as paredes da sala sejam adiabáticas, determine a potência do aparelho de ar condicionado.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma sala com 70 metros cúbicos de ar inicialmente a 33°C e 101 kPa. Um ar-condicionado com coeficiente de desempenho (COP) igual a 3 é ligado por 40 minutos, e depois desse tempo a temperatura do ar cai para 21°C. Queremos descobrir qual é a potência desse aparelho de ar condicionado.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de termodinâmica, especialmente o comportamento dos gases ideais e a relação entre calor, trabalho e energia. Vamos precisar das equações do gás ideal, da definição de CAP (COP) e das fórmulas de energia térmica.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as temperaturas de Celsius para Kelvin, porque nas fórmulas de gás ideal a temperatura precisa estar em Kelvin.
Tinicial = 33,°C = 33 + 273,15 = 306,15,K
Tfinal = 21,°C = 21 + 273,15 = 294,15,K

Passo 3

Agora, vamos calcular a quantidade de calor Q = m cdot cp cdot De que o ar-condicionado remove do ar da sala. Para isso, usamos a fórmula:
Onde:
  • é a massa do ar,
  • é o calor específico a pressão constante,
  • é a variação de temperatura.

Passo 4

Para encontrar a massa PV = m cdot R cdot T do ar, usamos a equação dos gases ideais:
m = PVR cdot T
Rearranjando para m = 101000 times 70287 times 306,15 :
m = 7.070.00087.746,05
Sabemos que:
  • m approx 80,54,kg (convertendo para Pascal),
  • ,
  • (constante dos gases para o ar),
  • vamos usar a temperatura inicial .
Então:
Vamos calcular isso:

Passo 5

Agora, precisamos do valor do calor específico a pressão constante cp = 1005,J/(kg cdot K) para o ar. Geralmente, para o ar, usamos:
De
A variação de temperatura é:

Passo 6

Agora, calculamos o calor Q = m cdot cp cdot De:
Q = 80,54,kg times 1005,J/(kg cdot K) times 12,K
Q = 80,54 times 1005 times 12
Q approx 80,54 times 12.060
Q approx 969.246,4,J

Passo 7

O ar-condicionado removeu aproximadamente t = 40,min times 60,s/min = 2400,s de energia térmica da sala durante 40 minutos. Agora, vamos calcular a potência P = Qt do aparelho, que é a taxa na qual ele faz esse trabalho.
Primeiro, convertemos o tempo de 40 minutos para segundos:
P = 969.246,J2400,s
A potência é dada por:
P approx 403,02,W

Resposta

A potência do aparelho de ar condicionado é aproximadamente 403 W.

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