Considere um gás ideal executando um ciclo de Carnot. Lembre-se que para um gás ideal \mathrm{pV}=\mathrm{NRT}, que num processo adiabático de um gás ideal \mathrm{pV} \gamma= constante e que numa transformação isotérmica a variação da energia interna do gás ideal é nula. Mostre que o rendimento do ciclo é:
e=1-\frac{T_{f}}{T_{q}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o rendimento do ciclo de Carnot, para um gás ideal, é
e=1-\frac{T_{f}}{T_{q}}.
Informações e dados fornecidos pelo enunciado que vamos usar (listei de forma clara):
  • A equação de estado do gás ideal: \mathrm{pV}=\mathrm{NRT}. Aqui \mathrm{p} é a pressão, \mathrm{V} o volume, \mathrm{N} a quantidade de matéria em mols, \mathrm{R} a constante universal dos gases e \mathrm{T} a temperatura absoluta.
  • Num processo adiabático reversível para um gás ideal vale \mathrm{pV}^{\gamma}= constante, onde \gamma é a razão de capacidades térmicas \gamma=\dfrac{c_{p}}{c_{v}}.
  • Numa transformação isotérmica para gás ideal, a variação da energia interna é nula (ou seja, \Delta U=0).
  • O ciclo de Carnot é formado por duas isotérmicas reversíveis (uma à temperatura quente \mathrm{T}_{q} e outra à temperatura fria \mathrm{T}_{f}) e duas adiabáticas reversíveis que as ligam de forma reversível.
  • Objetivo concreto: calcular o rendimento e=\dfrac{W_{\text{líquido}}}{Q_{\text{absorvido}}}í e mostrar que dá \;e=1-\dfrac{T_{f}}{T_{q}}.

Passo 2

Entendimento do que ocorre nas transformações isotérmicas: trabalho realizado e calor trocado.
  • Numa isotérmica reversível à temperatura constante \mathrm{T}, a pressão satisfaz \mathrm{p}=\dfrac{\mathrm{NRT}}{\mathrm{V}} (pela equação dos gases).
  • O trabalho realizado pelo gás ao variar o volume de \mathrm{V}_{i} para \mathrm{V}_{f} é
W=\int_{V_{i}}^{V_{f}} \mathrm{p}\,d\mathrm{V}=\int_{V_{i}}^{V_{f}}\frac{\mathrm{NRT}}{\mathrm{V}}\,d\mathrm{V}.
  • Integrando essa expressão (vou mostrar o passo da integral), obtemos
W=\mathrm{NRT}\int_{V_{i}}^{V_{f}}\frac{d\mathrm{V}}{\mathrm{V}}=\mathrm{NRT}\left[\ln(\mathrm{V})\right]_{V_{i}}^{V_{f}}=\mathrm{NRT}\ln\!\left(\frac{V_{f}}{V_{i}}\right).
  • Como a energia interna de um gás ideal depende apenas da temperatura, numa isotérmica temos \Delta U=0. Pela primeira lei da termodinâmica, \Delta U=Q-W, então o calor trocado Q nessa isotérmica é igual ao trabalho: Q=W.

Passo 3

Aplicando a expressão da isotérmica ao trecho do ciclo onde o gás absorve calor (isotérmica quente).
  • Denote os estados do ciclo de forma usual: isotérmica quente vai de \mathrm{V}_{1} para \mathrm{V}_{2} à temperatura \mathrm{T}_{q} (o gás se expande e absorve calor Q_{q}).
  • Pelo resultado do passo anterior,
Q_{q}=\mathrm{N R T_{q}}\ln\!\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right).
  • Observação sobre sinais: aqui Q_{q}>0 porque é calor absorvido pelo gás.

Passo 4

Expressão do calor rejeitado na isotérmica fria.
  • A isotérmica fria (compressão) ocorre à temperatura \mathrm{T}_{f} e vai de \mathrm{V}_{3} para \mathrm{V}_{4}, com \mathrm{V}_{3}>\mathrm{V}_{4} tipicamente; nessa etapa o gás libera calor Q_{f} (valor negativo se tomarmos positivo para calor recebido).
  • O módulo do calor rejeitado pelo gás (quantidade de calor cedida ao reservatório frio) é, pela mesma fórmula,
|Q_{f}|=\mathrm{N R T_{f}}\ln\!\left(\frac{V_{3}}{V_{4}}\right).
  • Para facilitar, usaremos Q_{f} como a magnitude do calor rejeitado (positivo), ou seja Q_{f}=\mathrm{N R T_{f}}\ln\!\left(\dfrac{V_{3}}{V_{4}}\right). No rendimento entra a razão Q_{f}/Q_{q}.

Passo 5

Usar as adiabáticas para relacionar os volumes das isotérmicas (essa é a chave do resultado).
  • Para uma adiabática reversível de gás ideal vale \mathrm{pV}^{\gamma}= constante. Usando \mathrm{p}=\dfrac{\mathrm{NRT}}{\mathrm{V}} obtemos:
\frac{\mathrm{NRT}}{\mathrm{V}}\cdot \mathrm{V}^{\gamma}=\mathrm{N R T}\,\mathrm{V}^{\gamma-1}=\text{constante}.
  • Assim fica evidente que, ao longo de uma adiabática reversível, a combinação
\mathrm{T}\,\mathrm{V}^{\gamma-1}=\text{constante}
se mantém (a constante contém \mathrm{N R}, mas isso é irrelevante para a relação entre estados).
  • Agora aplique essa relação às duas adiabáticas do ciclo:
    • Adiabática que liga o fim da isotérmica quente ( \mathrm{V}_{2}, \mathrm{T}_{q}) ao início da isotérmica fria ( \mathrm{V}_{3}, \mathrm{T}_{f}): \mathrm{T}_{q}V_{2}^{\gamma-1}=\mathrm{T}_{f}V_{3}^{\gamma-1}.
    • Adiabática que liga o fim da isotérmica fria ( \mathrm{V}_{4}, \mathrm{T}_{f}) ao início da isotérmica quente ( \mathrm{V}_{1}, \mathrm{T}_{q}): \mathrm{T}_{q}V_{1}^{\gamma-1}=\mathrm{T}_{f}V_{4}^{\gamma-1}.

Passo 6

Derivar a relação entre os quocientes de volumes das isotérmicas.
  • Da primeira adiabática:
\mathrm{T}_{q}V_{2}^{\gamma-1}=\mathrm{T}_{f}V_{3}^{\gamma-1}\quad\Rightarrow\quad\left(\frac{V_{3}}{V_{2}}\right)^{\gamma-1}=\frac{\mathrm{T}_{q}}{\mathrm{T}_{f}}.
  • Da segunda adiabática:
\mathrm{T}_{q}V_{1}^{\gamma-1}=\mathrm{T}_{f}V_{4}^{\gamma-1}\quad\Rightarrow\quad\left(\frac{V_{4}}{V_{1}}\right)^{\gamma-1}=\frac{\mathrm{T}_{q}}{\mathrm{T}_{f}}.
  • Comparando as duas igualdades, vemos que
\left(\frac{V_{3}}{V_{2}}\right)^{\gamma-1}=\left(\frac{V_{4}}{V_{1}}\right)^{\gamma-1},
e como a função x\mapsto x^{\gamma-1} é bijetora para x>0, segue
\frac{V_{3}}{V_{2}}=\frac{V_{4}}{V_{1}}.
  • Reorganizando:
\frac{V_{2}}{V_{1}}=\frac{V_{3}}{V_{4}}.
  • Esta igualdade é essencial: as razões dos volumes nas duas isotérmicas são iguais.

Passo 7

Usar a igualdade das razões de volumes para relacionar os calores trocados.
  • Relembrando as expressões dos calores das isotérmicas:
Q_{q}=\mathrm{N R T_{q}}\ln\!\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right), \qquad Q_{f}=\mathrm{N R T_{f}}\ln\!\left(\frac{V_{3}}{V_{4}}\right).
  • Como \dfrac{V_{2}}{V_{1}}=\dfrac{V_{3}}{V_{4}}, os logaritmos são iguais:
\ln\!\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right)=\ln\!\left(\frac{V_{3}}{V_{4}}\right).
  • Dividindo Q_{f} por Q_{q} obtém-se então
\frac{Q_{f}}{Q_{q}}=\frac{\mathrm{N R T_{f}}\ln\!\left(\dfrac{V_{3}}{V_{4}}\right)}{\mathrm{N R T_{q}}\ln\!\left(\dfrac{V_{2}}{V_{1}}\right)}=\frac{\mathrm{T}_{f}}{\mathrm{T}_{q}}.

Passo 8

Calcular o rendimento e concluir.
  • O rendimento do ciclo é definido como a razão entre o trabalho líquido realizado pelo ciclo e o calor absorvido da fonte quente:
e=\frac{W_{\text{líquido}}}{Q_{q}}=\frac{Q_{q}-Q_{f}}{Q_{q}}=1-\frac{Q_{f}}{Q_{q}}.í
  • Substituindo a relação encontrada no passo anterior,
e=1-\frac{\mathrm{T}_{f}}{\mathrm{T}_{q}}.
  • Pronto: chegamos exatamente à expressão pedida. Isto mostra que o rendimento de um ciclo de Carnot reversível depende apenas das temperaturas dos reservatórios e não do gás usado nem das magnitudes dos volumes.

Resposta

e=1-\frac{T_{f}}{T_{q}}

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