Considere um gás ideal executando um ciclo de Carnot. Lembre-se que para um gás ideal
, que num processo adiabático de um gás ideal
constante e que numa transformação isotérmica a variação da energia interna do gás ideal é nula. Mostre que o rendimento do ciclo é:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o rendimento do ciclo de Carnot, para um gás ideal, é
Informações e dados fornecidos pelo enunciado que vamos usar (listei de forma clara):
- A equação de estado do gás ideal:
. Aqui é a pressão, o volume, a quantidade de matéria em mols, a constante universal dos gases e a temperatura absoluta. - Num processo adiabático reversível para um gás ideal vale
constante, onde é a razão de capacidades térmicas . - Numa transformação isotérmica para gás ideal, a variação da energia interna é nula (ou seja,
). - O ciclo de Carnot é formado por duas isotérmicas reversíveis (uma à temperatura quente
e outra à temperatura fria ) e duas adiabáticas reversíveis que as ligam de forma reversível. - Objetivo concreto: calcular o rendimento
e mostrar que dá .
Passo 2
Entendimento do que ocorre nas transformações isotérmicas: trabalho realizado e calor trocado.
- Numa isotérmica reversível à temperatura constante
, a pressão satisfaz (pela equação dos gases). - O trabalho realizado pelo gás ao variar o volume de
para é
- Integrando essa expressão (vou mostrar o passo da integral), obtemos
- Como a energia interna de um gás ideal depende apenas da temperatura, numa isotérmica temos
. Pela primeira lei da termodinâmica, , então o calor trocado nessa isotérmica é igual ao trabalho: .
Passo 3
Aplicando a expressão da isotérmica ao trecho do ciclo onde o gás absorve calor (isotérmica quente).
- Denote os estados do ciclo de forma usual: isotérmica quente vai de
para à temperatura (o gás se expande e absorve calor ). - Pelo resultado do passo anterior,
- Observação sobre sinais: aqui
porque é calor absorvido pelo gás.
Passo 4
Expressão do calor rejeitado na isotérmica fria.
- A isotérmica fria (compressão) ocorre à temperatura
e vai de para , com tipicamente; nessa etapa o gás libera calor (valor negativo se tomarmos positivo para calor recebido). - O módulo do calor rejeitado pelo gás (quantidade de calor cedida ao reservatório frio) é, pela mesma fórmula,
- Para facilitar, usaremos
como a magnitude do calor rejeitado (positivo), ou seja . No rendimento entra a razão .
Passo 5
Usar as adiabáticas para relacionar os volumes das isotérmicas (essa é a chave do resultado).
- Para uma adiabática reversível de gás ideal vale
constante. Usando obtemos:
- Assim fica evidente que, ao longo de uma adiabática reversível, a combinação
se mantém (a constante contém
, mas isso é irrelevante para a relação entre estados).
- Agora aplique essa relação às duas adiabáticas do ciclo:
- Adiabática que liga o fim da isotérmica quente (
, ) ao início da isotérmica fria ( , ): . - Adiabática que liga o fim da isotérmica fria (
, ) ao início da isotérmica quente ( , ): .
- Adiabática que liga o fim da isotérmica quente (
Passo 6
Derivar a relação entre os quocientes de volumes das isotérmicas.
- Da primeira adiabática:
- Da segunda adiabática:
- Comparando as duas igualdades, vemos que
e como a função
é bijetora para
, segue
- Reorganizando:
- Esta igualdade é essencial: as razões dos volumes nas duas isotérmicas são iguais.
Passo 7
Usar a igualdade das razões de volumes para relacionar os calores trocados.
- Relembrando as expressões dos calores das isotérmicas:
- Como
, os logaritmos são iguais:
- Dividindo
por obtém-se então
Passo 8
Calcular o rendimento e concluir.
- O rendimento do ciclo é definido como a razão entre o trabalho líquido realizado pelo ciclo e o calor absorvido da fonte quente:
- Substituindo a relação encontrada no passo anterior,
- Pronto: chegamos exatamente à expressão pedida. Isto mostra que o rendimento de um ciclo de Carnot reversível depende apenas das temperaturas dos reservatórios e não do gás usado nem das magnitudes dos volumes.