A resistência elétrica de um cristal de germânio dopado obedece à equação:
\log R=4,697-3,917 \log \theta
R é a resistência dada em \Omega e \theta é a temperatura em kelvin.
a) Em um criostato de hélio líquido, a resistência medida desse cristal é de 218 \Omega. Qual é a temperatura do hélio contido no criostato?
b) Trace um gráfico de \log \mathrm{R} em função de \log \theta, no intervalo de resistências de 200 \Omega a 30000 \Omega exibidas pelo cristal e determine o intervalo de temperaturas que poderiam ser medidas por ele.

Passo 1

O enunciado fornece a relação entre resistência e temperatura:
\log R = 4,697 - 3,917 \log \theta
onde R é a resistência em \Omega e \theta é a temperatura em kelvin. As perguntas são:
a) Dada a resistência medida R=218\\ \Omega, qual é a temperatura \theta no criostato?
b) Fazer o gráfico de \log R em função de \log \theta no intervalo de resistências 200\\ \Omega a 30000\\ \Omega e determinar o intervalo de temperaturas correspondente (ou seja, quais temperaturas o cristal consegue medir quando sua resistência está nesse intervalo).
Informações importantes dadas: a fórmula acima e os valores de resistência pedidos. Nada mais é necessário para começar.

Passo 2

Entendendo a equação e a operação que vamos realizar (uma mini-aula sobre logaritmos aplicada aqui).
  • Nesta equação, “ \log” significa logaritmo decimal (base 10), que é o uso padrão em muitos problemas experimentais deste tipo.
  • Definição prática: se \log x = y então x = 10^{y}. Isso permite converter entre forma logarítmica e forma exponencial.
  • Nosso objetivo é isolar \theta. Partimos de
\log R = 4,697 - 3,917 \log \theta.
  • Primeiro passo algébrico: mover o termo com \log \theta para o outro lado. Fazendo isso obtemos:
3,917\,\log \theta = 4,697 - \log R.
  • Dividindo por 3,917:
\log \theta = \frac{4,697 - \log R}{3,917}.
  • Finalmente, voltamos da forma logarítmica para a temperatura:
\theta = 10^{\left(\dfrac{4,697 - \log R}{3,917}\right)}.
Essa é a fórmula que vamos usar para calcular \theta a partir de qualquer R.

Passo 3

Resolvendo a parte (a): calcular a temperatura quando R=218\\ \Omega.
  • Primeiro calcule \log R com R=218:
\log 218 \approx 2,338489.
(Usei logaritmo decimal: \log 218 = \log(2,18\times 10^2)=2+\log 2,18 e \log 2,18\approx 0,338489.)
  • Agora usamos a fórmula da parte anterior:
\log \theta = \frac{4,697 - \log 218}{3,917} = \frac{4,697 - 2,338489}{3,917}.
  • Calcule o numerador:
4,697 - 2,338489 = 2,358511.
  • Divida pelo denominador:
\log \theta \approx \frac{2,358511}{3,917} \approx 0,60229.
  • Volte da forma logarítmica para \theta:
\theta = 10^{0,60229} \approx 4,0039\\ \mathrm{K}.
  • Conclusão numérica prática (arredondando razoavelmente para a prova): \theta \approx 4,00\\ \mathrm{K}. Isso bate com a intuição de que hélio líquido a pressão ambiente está perto de 4\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Explicação didática rápida do raciocínio (para saber fazer na prova):
  • Sempre que tiver uma relação do tipo \log R = A + B\log \theta (com A,B conhecidos), isole \log \theta por álgebra simples:
\log \theta = \frac{A - \log R}{-B}\quad\text{(ou, como fizemos, multiplicando por -1:)}\quad \log \theta = \frac{A - \log R}{|B|}.
  • Depois faça \theta = 10^{\log \theta}. Passos pequenos: calcule \log R, subtraia, divida e exponencie base 10. Sem calculadora gráfica especial dá para fazer com tabela de log ou calculadora científica rápida.

Passo 5

Parte (b) — preparar e interpretar o gráfico \log R vs \log \theta.
  • Note que a equação já está em forma de reta no plano (\log \theta,\\ \log R). Se chamarmos x=\log \theta e y=\log R, então
y = 4,697 - 3,917\,x.
Isto é uma reta com coeficiente angular (inclinação) m=-3,917 e intercepto em y igual a 4,697. Ou seja: no gráfico log–log, o comportamento é linear — ponto importante para traçar o gráfico rapidamente.
  • Para desenhar o gráfico no intervalo de resistências pedido, podemos obter os valores de \log \theta correspondentes às extremidades R=200\\ \Omega e R=30000\\ \Omega, e então traçar a reta passando por esses pontos.

Passo 6

Calcular a temperatura correspondente a R=200\\ \Omega (extremo inferior de R):
  • Primeiro \log 200 \approx 2,301030.
  • Aplicando a fórmula:
\log \theta = \frac{4,697 - \log 200}{3,917} = \frac{4,697 - 2,301030}{3,917} = \frac{2,395970}{3,917} \approx 0,61188.
  • Então
\theta = 10^{0,61188} \approx 4,0932\\ \mathrm{K}.
Arredondando: \theta \approx 4,09\\ \mathrm{K}.

Passo 7

Calcular a temperatura correspondente a R=30000\\ \Omega (extremo superior de R):
  • Primeiro \log 30000 = \log(3\times 10^4)=4 + \log 3 \approx 4 + 0,477121 = 4,477121.
  • Aplicando a fórmula:
\log \theta = \frac{4,697 - 4,477121}{3,917} = \frac{0,219879}{3,917} \approx 0,056149.
  • Então
\theta = 10^{0,056149} \approx 1,1380\\ \mathrm{K}.
Arredondando: \theta \approx 1,14\\ \mathrm{K}.

Passo 8

Interpretação final do intervalo e instruções práticas para traçar o gráfico
  • Conclusão: quando o cristal apresenta resistências entre 200\\ \Omega e 30000\\ \Omega, as temperaturas correspondentes variam aproximadamente entre 1,14\\ \mathrm{K} e 4,09\\ \mathrm{K}. Note que, por causa da inclinação negativa da reta, resistências maiores correspondem a temperaturas menores.
  • Como desenhar o gráfico em poucas linhas na prova:
    1. Faça eixos com x=\log \theta (horizontal) e y=\log R (vertical).
    2. Marque dois pontos que já calculamos (usar pares (\log \theta,\log R)):
      • Para R=200: (\log \theta,\log R) \approx (0,61188,\\\ 2,30103).
      • Para R=30000: (\log \theta,\log R) \approx (0,05615,\\\ 4,47712).
    3. Desenhe a reta que passa por esses dois pontos; ela tem equação y=4,697-3,917x.
    4. Opcional: marque o ponto do item (a) para conferir: para R=218 temos (\log \theta,\log R)\approx(0,60229,\\\ 2,33849), que deve ficar sobre a mesma reta.
  • Pronto — gráfico traçado e intervalo de temperaturas determinado.

Resposta

a) \theta \approx 4,00\\ \mathrm{K}
b) intervalo de temperaturas aproximado: 1,14\\ \mathrm{K} \le \theta \le 4,09\\ \mathrm{K}

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