A resistência elétrica de um cristal de germânio dopado obedece à equação:
R é a resistência dada em
e
é a temperatura em kelvin.
a) Em um criostato de hélio líquido, a resistência medida desse cristal é de
. Qual é a temperatura do hélio contido no criostato?
b) Trace um gráfico de
em função de
, no intervalo de resistências de
a
exibidas pelo cristal e determine o intervalo de temperaturas que poderiam ser medidas por ele.
a) Em um criostato de hélio líquido, a resistência medida desse cristal é de
b) Trace um gráfico de
Passo 1
O enunciado fornece a relação entre resistência e temperatura:
onde
é a resistência em
e
é a temperatura em kelvin. As perguntas são:
a) Dada a resistência medida , qual é a temperatura
no criostato?
b) Fazer o gráfico de em função de
no intervalo de resistências
a
e determinar o intervalo de temperaturas correspondente (ou seja, quais temperaturas o cristal consegue medir quando sua resistência está nesse intervalo).
a) Dada a resistência medida
b) Fazer o gráfico de
Informações importantes dadas: a fórmula acima e os valores de resistência pedidos. Nada mais é necessário para começar.
Passo 2
Entendendo a equação e a operação que vamos realizar (uma mini-aula sobre logaritmos aplicada aqui).
- Nesta equação, “
” significa logaritmo decimal (base 10), que é o uso padrão em muitos problemas experimentais deste tipo. - Definição prática: se
então . Isso permite converter entre forma logarítmica e forma exponencial. - Nosso objetivo é isolar
. Partimos de
- Primeiro passo algébrico: mover o termo com
para o outro lado. Fazendo isso obtemos:
- Dividindo por
:
- Finalmente, voltamos da forma logarítmica para a temperatura:
Essa é a fórmula que vamos usar para calcular
a partir de qualquer
.
Passo 3
Resolvendo a parte (a): calcular a temperatura quando
.
- Primeiro calcule
com :
(Usei logaritmo decimal:
e
.)
- Agora usamos a fórmula da parte anterior:
- Calcule o numerador:
- Divida pelo denominador:
- Volte da forma logarítmica para
:
- Conclusão numérica prática (arredondando razoavelmente para a prova):
. Isso bate com a intuição de que hélio líquido a pressão ambiente está perto de .
Passo 4
Explicação didática rápida do raciocínio (para saber fazer na prova):
- Sempre que tiver uma relação do tipo
(com conhecidos), isole por álgebra simples:
- Depois faça
. Passos pequenos: calcule , subtraia, divida e exponencie base 10. Sem calculadora gráfica especial dá para fazer com tabela de log ou calculadora científica rápida.
Passo 5
Parte (b) — preparar e interpretar o gráfico
vs
.
- Note que a equação já está em forma de reta no plano
. Se chamarmos e , então
Isto é uma reta com coeficiente angular (inclinação)
e intercepto em
igual a
. Ou seja: no gráfico log–log, o comportamento é linear — ponto importante para traçar o gráfico rapidamente.
- Para desenhar o gráfico no intervalo de resistências pedido, podemos obter os valores de
correspondentes às extremidades e , e então traçar a reta passando por esses pontos.
Passo 6
Calcular a temperatura correspondente a
(extremo inferior de
):
- Primeiro
. - Aplicando a fórmula:
- Então
Arredondando:
.
Passo 7
Calcular a temperatura correspondente a
(extremo superior de
):
- Primeiro
. - Aplicando a fórmula:
- Então
Arredondando:
.
Passo 8
Interpretação final do intervalo e instruções práticas para traçar o gráfico
- Conclusão: quando o cristal apresenta resistências entre
e , as temperaturas correspondentes variam aproximadamente entre e . Note que, por causa da inclinação negativa da reta, resistências maiores correspondem a temperaturas menores. - Como desenhar o gráfico em poucas linhas na prova:
- Faça eixos com
(horizontal) e (vertical). - Marque dois pontos que já calculamos (usar pares
): - Para
: . - Para
: .
- Para
- Desenhe a reta que passa por esses dois pontos; ela tem equação
. - Opcional: marque o ponto do item (a) para conferir: para
temos , que deve ficar sobre a mesma reta.
- Faça eixos com
- Pronto — gráfico traçado e intervalo de temperaturas determinado.
Resposta
a)
b) intervalo de temperaturas aproximado:
b) intervalo de temperaturas aproximado: