Considere um gás que obedeça a equação de Van de Waals. Pede-se:
a) Determine o valor de (partial Upartial V)T=T(partial Ppartial T)V-P, relação apresentada na página 10 da aula 4 .
b) Considerando Cv aproximadamente constante, calcule a diferença de energia do gás a T, P em relação a um estado inicial T0, P0.
c) Se o gás sofrer um processo de expansão livre, qual a variação de temperatura? Compare com o gás ideal, já discutido em sala.
d) Aplique o resultado obtido em c) a 1 mol de N2 expandindo de 10 L para 20 L à temperatura inicial 30^circ C. Dados: para o N2: a=1,39 atm ^2 / mol^2 e cv( e não Cv)=0,743 kJ / kg K.
R: a) n^2 a / V^2
b) De<a U=Cv(T-T0)+n^2 a[(1 / V0)-(1 / V)]
c) De<a T=(n^2 a / Cv)[(1 / V)-(1 / V0)]
d) De<a T=-0,34 K.

Passo 1

O enunciado trata de um gás de Van der Waals, cuja pressão é
P = nRTV - nb - n^2aV^2,
e pede:
a) calcular l(partial Upartial Vr)T = Tl(partial Ppartial Tr)V - P;
b) integrar dU com Cv constante para achar De<a U entre (T0,V0) e (T,V);
c) aplicar à expansão livre ( De<a U=0) e comparar com gás ideal;
d) calcular numericamente De<a T para 1 mol de N 2 de 10 L a 20 L em 30^circC.

Passo 2

Para (a) precisamos de partial P/partial T a V fixo. Da equação de Van der Waals
P = nRTV - nb - n^2aV^2
vem
l(partial Ppartial Tr)V = nRV - nb
Logo
Tl(tfracpartial Ppartial Tr)V = nRTV - nb,
e subtraindo P obtemos
l(tfracpartial Upartial Vr)T = nRTV - nb - l[nRTV - nb - n^2aV^2r] = n^2aV^2

Passo 3

Para (b) usamos a identidade termodinâmica
dU = Cv,dT + l[Tl(tfracpartial Ppartial Tr)V - Pr]dV = Cv,dT + n^2aV^2,dV
Integrando de (T0,V0) a (T,V):
De<a U = integralT0^T Cv,dT + integralV0^V n^2aV^2,dV = Cv,(T - T0) + n^2al[-1Vr]V0^V = Cv,(T - T0) + n^2al(1V0-1Vr)

Passo 4

Para (c), expansão livre implica De<a U=0, então
0 = Cv,De<a T + n^2al(1V0-1Vr),
de onde
De<a T = -n^2aCvl(1V0-1Vr) = n^2aCvl(1V-1V0r)
No caso de gás ideal ( a=0) vem De<a T=0, como já visto em sala.

Passo 5

Para (d), toma-se n=1, V0=10 L, V=20 L, a=1,39 atm cdot L^2/mo l^2 e cv=0,743 kJ/(k gcdot K) para N 2. A massa molar é M=0,028 kg/mol, logo
bar cv = 0,743;kJkg,Ktimes0,028;kg/mol =0,0208;kJmol,K =20,8;Jmol,K
Calculando
De<a T = (1)^2cdot1,39;atm;L^2/mol^220,8;J/(mol,K) l(120-110r),L^-1 times101,3;Jatm,L approx -0,34;K

Resposta

a) l(tfracpartial Upartial Vr)T = n^2aV^2
b) De<a U = Cv,(T-T0)+n^2al(1V0-1Vr)
c) De<a T = n^2aCvl(1V-1V0r), sendo nula para gás ideal.
d) De<a T approx -0,34;K

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