Considere um sistema termodinâmico que é governado pela seguinte equação fundamental na representação da entropia:
S=R U VN-R N^3U V
c-) Encontre equação P(v, T), onde v=V / N.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema termodinâmico com uma equação fundamental para a entropia dada por . O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a equação da pressão , onde . Para isso, vamos usar conceitos de termodinâmica, especificamente derivadas parciais da entropia em relação ao volume e à energia interna.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que na termodinâmica, a pressão P = T ( partial Spartial V )U pode ser relacionada com a entropia através da seguinte relação:
Isso significa que a pressão é igual à temperatura multiplicada pela derivada parcial da entropia em relação ao volume, mantendo a energia interna constante.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de S = R U VN - R N^3U V em relação a ( partial Spartial V )U = R UN + R N^3U V^2 mantendo constante. Começamos com a expressão da entropia:
Derivando em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos essa derivada na fórmula da pressão:
P = T ( R UN + R N^3U V^2 )
Como P = T ( R UN + R N^3U (N v)^2 ) = T ( R UN + R N^3U N^2 v^2 ) = T ( R UN + R NU v^2 ) , podemos reescrever . Vamos substituir isso na equação:

Passo 5

Agora, precisamos expressar 1T = ( partial Spartial U )V em termos de partial Spartial U = R VN + R N^3U^2 V e outros parâmetros. Para isso, usamos a relação térmica da entropia que nos dá a temperatura:
1T = R VN + R N^3U^2 V
Calculando essa derivada:
1T = R N vN + R N^3U^2 N v = R v + R N^2U^2 v
Então:
1T - R v = R N^2U^2 v
Resolvendo para U^2 = R N^2v ( 1T - R v ) em função de U = raiz R N^2v ( 1T - R v ) e :

Passo 6

Vamos substituir P = T ( R raiz R N^2v ( 1T - R v ) N + R Nraiz R N^2v ( 1T - R v ) v^2 ) de volta na equação da pressão:
Simplificando os termos, após algumas manipulações algébricas, chegamos à expressão final para .

Resposta

A equação da pressão em função de P(v, T) = R T ( 1v + 1v ( 1T - R v ) ) e é:

Exercícios relacionados