1- Considere um tanque rígido, de volume igual a 1,8 \mathrm{~m}^{3}. inicialmente o tanque contém 15 kg de mistura líquido-vapor de água a 90 { }^{\circ} \mathrm{C}. A partir dessa condição, a água é aquecida lentamente. Determinar o título e a energia interna específica na condição inicial. Determine a temperatura na qual o líquido do tanque é completamente vaporizado. Representar o processo em um diagrama T-v, que contenha a linha de saturação para a água. Identifique o processo em um diagrama T-v com relação às linhas de saturação.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
Dados fornecidos:
V=1,8\\ \mathrm{m}^3,\qquad m=15\\ \mathrm{kg},\qquad T_{\text{inicial}}=90^\circ\mathrm{C}.
Perguntas (o que devemos encontrar):
  1. Determinar o título (qualidade) \,x na condição inicial.
  2. Determinar a energia interna específica \,u na condição inicial.
  3. Determinar a temperatura na qual todo o líquido do tanque fica completamente vaporizado (isto é, quando a mistura alcança x=1, ainda em volume fixo).
  4. Representar e identificar o processo no diagrama T\!-\!v em relação às linhas de saturação (qual é o tipo de processo e como traçá-lo no diagrama).
Observação: os valores de propriedades saturadas usados nas contas serão retirados de tabelas de vapor saturado (steam tables); quando eu usar um número da tabela direi explicitamente.

Passo 2

Calcular primeiro o volume específico do fluido no tanque (isso é importante porque o tanque é rígido, então o volume específico é constante):
Fórmula:
v=\frac{V}{m}.
Substituindo os valores dados:
v=\frac{1{,}8}{15}=0{,}12\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.
Interpretação curta: esse é o valor de v que permanece constante durante todo o aquecimento isocórico.

Passo 3

Explicar como calcular o título (qualidade) de uma mistura saturada e quais dados são necessários.
Conceito: se a substância está na região bifásica (mistura líquida-vapor), a relação entre volume específico total v, volume específico do líquido saturado v_f, volume específico do vapor saturado v_g e título x é
v=(1-x)\,v_f + x\,v_g.
Isso pode ser reescrito isolando x:
x=\frac{v-v_f}{v_g-v_f}.
O que precisamos: os valores de v_f e v_g na temperatura de saturação T=90^\circ\mathrm{C}. Vou obter esses valores nas tabelas de vapor saturado.
Valores retirados das tabelas de vapor saturado (dados tomados diretamente das steam tables para \,90^\circ\mathrm{C}):
v_f(90^\circ\mathrm{C})=0{,}001036\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}, \qquad v_g(90^\circ\mathrm{C})=2{,}7028\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.
(AVISO: esses números foram lidos nas tabelas de saturação para água a 90^\circ\mathrm{C}.)

Passo 4

Calcular o título inicial usando a fórmula do passo anterior.
Aplicando:
x=\frac{v-v_f}{v_g-v_f}=\frac{0{,}12-0{,}001036}{2{,}7028-0{,}001036}.
Fazendo as contas passo a passo:
\text{numerador}=0{,}12-0{,}001036=0{,}118964,
\text{denominador}=2{,}7028-0{,}001036=2{,}701764,
x=\frac{0{,}118964}{2{,}701764}\approx0{,}04403.
Interpretação: o título inicial é cerca de 4{,}403\% de vapor (o restante é líquido). Em notação compacta:
x\approx0{,}04403\quad(\text{ou }4{,}40\%).

Passo 5

Explicar como obter a energia interna específica da mistura e quais propriedades são necessárias.
Conceito: a energia interna específica de uma mistura bifásica é a média ponderada entre as energias internas da fase líquida saturada u_f e da fase vapor saturado u_g:
u=(1-x)\,u_f + x\,u_g = u_f + x\,(u_g-u_f).
Precisamos dos valores u_f e u_g na mesma temperatura de saturação T=90^\circ\mathrm{C}. Vou tomar esses valores das steam tables.
Valores retirados das tabelas de vapor saturado (dados tomados diretamente das steam tables para \,90^\circ\mathrm{C}):
u_f(90^\circ\mathrm{C})=376{,}82\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}, \qquad u_g(90^\circ\mathrm{C})=2768{,}00\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}.
(De novo: esses números foram lidos nas tabelas para água saturada a 90^\circ\mathrm{C}.)

Passo 6

Calcular a energia interna específica inicial usando a fórmula da mistura.
Usando x\approx0{,}04403:
u = u_f + x\,(u_g-u_f).
Primeiro o salto de u_g-u_f:
u_g-u_f=2768{,}00-376{,}82=2391{,}18\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}.
Agora a contribuição do vapor:
x\,(u_g-u_f)=0{,}04403\times2391{,}18\approx105{,}21\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}.
Somando com u_f:
u=376{,}82 + 105{,}21 \approx 482{,}03\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}.
Arredondando com sentido prático para a prova:
u\approx482{,}0\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}.
Comentário pedagógico: a energia interna da mistura fica bem acima da do líquido puro porque o vapor carrega muito mais energia por kg.

Passo 7

Determinar a temperatura na qual todo o líquido será completamente vaporizado (condição x=1) para processo a volume fixo.
Raciocínio: o processo ocorre com volume específico constante v=0{,}12\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}. A condição de vaporização completa é quando o estado se torna vapor saturado, isto é, quando
v = v_g(T_{\text{sat}}).
Portanto precisamos achar a temperatura de saturação T tal que v_g(T)=0{,}12\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}. Isso se obtém consultando as steam tables: procurar na coluna v_g o valor 0,12 (ou fazer interpolação entre duas temperaturas próximas).
Vou usar duas entradas das tabelas de vapor saturado que envolvem a faixa onde v_g passa por 0{,}12\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}:
Dados das tabelas (valores lidos das steam tables):
v_g(200^\circ\mathrm{C})=0{,}12736\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}, \qquad v_g(220^\circ\mathrm{C})=0{,}08995\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.
Como 0{,}12736>0{,}12>0{,}08995, a temperatura buscada está entre 200^\circ\mathrm{C} e 220^\circ\mathrm{C}. Vamos interpolar linearmente em v_g vs T (apenas uma aproximação muito usual nas provas; as tabelas não são lineares, mas a interpolação entre pontos próximos dá boa precisão).
Interpolação linear:
T \approx 200^\circ\mathrm{C} + (220^\circ\mathrm{C}-200^\circ\mathrm{C})\times\frac{0{,}12-0{,}12736}{0{,}08995-0{,}12736}.
Calcule o numerador/denominador:
0{,}12-0{,}12736=-0{,}00736,
0{,}08995-0{,}12736=-0{,}03741,
\text{razão}=\frac{-0{,}00736}{-0{,}03741}\approx0{,}1969.ã
Logo
T\approx200^\circ\mathrm{C}+20^\circ\mathrm{C}\times0{,}1969\approx200^\circ\mathrm{C}+3{,}94^\circ\mathrm{C}\approx203{,}94^\circ\mathrm{C}.
Arredondando para um valor prático:
T\approx204^\circ\mathrm{C}.
Comentário: isso significa que, aquecendo a mistura no recipiente rígido e mantendo o volume fixo, a mistura vai permanecer bifásica com temperatura aumentando de 90^\circ\mathrm{C} até cerca de 204^\circ\mathrm{C}, quando todo o líquido terá se tornado vapor saturado (qualidade x=1). A partir desse ponto a mistura ficará como vapor comprimido/sobre-aquecido se mais calor for adicionado.

Passo 8

Representação e identificação do processo no diagrama T\!-\!v (como desenhar e o que ele significa).
Como desenhar o diagrama (passos para rabiscar na prova):
  • No eixo horizontal ponha o volume específico v (aumentando para a direita). No eixo vertical ponha a temperatura T (aumentando para cima).
  • Desenhe a “campânula” de saturação (curva que tem no topo o ponto crítico). A curva da esquerda é a linha de líquido saturado v_f(T) e a curva da direita é a linha de vapor saturado v_g(T).
  • Marque o ponto inicial: T=90^\circ\mathrm{C} e v=0{,}12\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}. Esse ponto fica dentro da campânula (entre v_f e v_g), perto da borda esquerda (porque v muito maior que v_f mas bem menor que v_g; na prática está dentro da região bifásica).
  • Traçar a linha do processo: como o volume específico é constante, o processo é uma linha vertical em v=0{,}12. À medida que você sobe nesta vertical (adiciona calor), você permanece dentro da campânula até atingir o ponto em que a vertical intersecta a curva de vapor saturado; esse ponto tem T\approx204^\circ\mathrm{C}. A partir desse ponto, se continuar adicionando calor, você sai da campânula para a direita (vapor superaquecido).
  • Identificação: o processo é um aquecimento isocórico (volume específico constante). No diagrama T\!-\!v é representado por uma linha vertical que atravessa a região de mistura saturada e intercepta a linha do vapor saturado no ponto de vaporização completa.

Resposta

x\approx0{,}04403 (ou 4{,}40\%); u\approx482{,}0\\ \mathrm{kJ}/\mathrm{kg}
T_{\text{vaporização completa}}\approx204^\circ\mathrm{C}çã
Processo: aquecimento isocórico (volume específico constante) — linha vertical em v=0{,}12\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg} dentro da campânula de saturação até atingir a curva de vapor saturado.

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