1 kg de n-octano ( \mathrm{C}_{8} \mathrm{H}_{18} ) líquido é colocado em um recipiente fechado com 50 \% de excesso de ar a 100^{\circ} \mathrm{C} e 1 bar. O sistema passa por um processo isotérmico em que o octano sofre combustão completa para formar \mathrm{CO}_{2}(\mathrm{~g}) e \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}(\mathrm{g}). A densidade do octano líquido é \rho=0,70 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}. O sistema é livre para expandir.
(a) Quanto calor deve ser removido para manter \mathrm{T}=100^{\circ} \mathrm{C} ?
(b) Qual é a variação de volume do sistema?

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • (a) Quanto calor deve ser removido para manter T=100^\circ\mathrm{C} durante a combustão completa isotérmica do n-octano?
  • (b) Qual é a variação de volume do sistema (o recipiente é fechado à massa, mas livre para expandir; pressão inicial 1\\ \mathrm{bar})?
Informações fornecidas e suposições que vou usar (tudo essencial para resolver):
  • Massa de n-octano: 1\\ \mathrm{kg}.
  • Fórmula: \mathrm{C}_8\mathrm{H}_{18} (n-octano), estado inicial: líquido.
  • Temperatura constante do processo: T=100^\circ\mathrm{C}=373{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Pressão inicial (e pressão externa): p=1\\ \mathrm{bar}.
  • Excesso de ar: 50\% de excesso de ar sobre o necessário estequiométrico.
  • Densidade do octano líquido: \rho=0{,}70\\ \mathrm{g\cdot cm^{-3}}.
  • Produtos da combustão completa: \mathrm{CO}_2(\mathrm{g}) e \mathrm{H}_2\mathrm{O}(\mathrm{g}).
  • Vou assumir ar seco com composição molar aproximada 21\%\\ \mathrm{O}_2 e 79\%\\ \mathrm{N}_2, o que implica \mathrm{N}_2/\mathrm{O}_2\approx 3{,}76 mol de \mathrm{N}_2 por mol de \mathrm{O}_2.
  • Para o cálculo da entalpia de reação utilizarei entalpias padrão de formação à 298\\ \mathrm{K} e desprezarei a correção de entalpia entre 298\\ \mathrm{K} e 373{,}15\\ \mathrm{K} (explico que isto é uma aproximação razoável para exercícios: a correção existe mas costuma ser pequena comparada à entalpia de combustão).
  • Constante dos gases: usarei R=0{,}08314\\ \mathrm{L\cdot bar \cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}} quando conveniente, ou R=8{,}314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}} em SI.

Passo 2

Equação estequiométrica da combustão completa e cálculo das quantidades molares básicas.
  1. Reação balanceada (consumo de \mathrm{O}_2):
\mathrm{C}_8\mathrm{H}_{18}(\ell) + \frac{25}{2}\,\mathrm{O}_2 \longrightarrow 8\,\mathrm{CO}_2(g) + 9\,\mathrm{H}_2\mathrm{O}(g).
Explicação rápida: cada átomo de C vai para \mathrm{CO}_2 (8 C → 8 \mathrm{CO}_2); H: 18 H → 9 \mathrm{H}_2\mathrm{O}; balanceando O dá 25/2=12{,}5 mol de \mathrm{O}_2 por mol de octano.
  1. Moles de n-octano em 1\\ \mathrm{kg}. Primeiro a massa molar:
M(\mathrm{C}_8\mathrm{H}_{18}) = 8\cdot 12{,}01 + 18\cdot 1{,}008 = 96{,}08 + 18{,}144 = 114{,}224\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}.
Moles de octano:
n_{\mathrm{oct}} = \frac{1000\\ \mathrm{g}}{114{,}224\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}} = 8{,}7549\\ \mathrm{mol}\quad(\text{aprox. }8{,}755\\ \mathrm{mol}).

Passo 3

Cálculo da entalpia de reação por mol de octano usando entalpias padrão de formação (valores padrão usados aqui, comuns em tabelas):
  • \Delta H_f^\circ(\mathrm{C}_8\mathrm{H}_{18}(\ell)) = -249{,}9\\ \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}.
  • \Delta H_f^\circ(\mathrm{CO}_2(g)) = -393{,}5\\ \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}.
  • \Delta H_f^\circ(\mathrm{H}_2\mathrm{O}(g)) = -241{,}8\\ \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}.
  • \Delta H_f^\circ(\mathrm{O}_2) = 0\\ \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}} (referência).
A entalpia de reação por mol de octano:
\Delta H^\circ_{\text{rxn, mol}}=\sum \Delta H_f^\circ(\text{produtos})-\sum \Delta H_f^\circ(\text{reatantes}).
Substituindo:
\Delta H^\circ_{\text{rxn, mol}} = \bigl(8\cdot(-393{,}5)+9\cdot(-241{,}8)\bigr) - \bigl(1\cdot(-249{,}9) + 12{,}5\cdot 0\bigr).
Calcule passo a passo:
8\cdot(-393{,}5) = -3\,148{,}0\\ \mathrm{kJ},
9\cdot(-241{,}8) = -2\,176{,}2\\ \mathrm{kJ},
soma dos produtos:
-3\,148{,}0 + (-2\,176{,}2) = -5\,324{,}2\\ \mathrm{kJ}.
Subtraindo a contribuição dos reatantes:
\Delta H^\circ_{\text{rxn, mol}} = -5\,324{,}2 - (-249{,}9) = -5\,074{,}3\\ \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}.
Interpretação: a reação libera \approx 5{,}074{,}3\\ \mathrm{kJ} por mol de octano (valor negativo indica exotérmica).

Passo 4

Calcular o calor total liberado (e, portanto, o calor que deve ser removido para manter T constante).
Total de calor liberado (energia a ser removida) = n_{\mathrm{oct}}\cdot (-\Delta H^\circ_{\text{rxn, mol}}) em valor positivo.
Q = n_{\mathrm{oct}}\cdot \bigl(-\Delta H^\circ_{\text{rxn, mol}}\bigr) = 8{,}7549\\ \mathrm{mol}\times 5\,074{,}3\\ \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}.
Calcule:
Q \approx 8{,}7549 \times 5\,074{,}3 = 44\,427{,} \text{aprox. }44\,430\\ \mathrm{kJ}.
Ou em megajoules:
Q \approx 44{,}43\\ \mathrm{MJ}.
Comentário didático: por que igualar calor a esta entalpia? Em um sistema fechado que opera a pressão constante (aqui assumimos que o sistema pode expandir contra 1\\ \mathrm{bar}), o calor trocado com as vizinhanças durante uma reação química a p= constante é igual à variação de entalpia \Delta H. Como \Delta H da reação é negativa (reação libera calor), devemos remover essa quantidade de calor do sistema para manter temperatura constante. Estou usando as entalpias padrão a 298\\ \mathrm{K} como aproximação para 373{,}15\\ \mathrm{K}; a correção por calor específico entre 298 e 373\\ \mathrm{K} seria pequena comparada a 4{,}4\times 10^4\\ \mathrm{kJ}.

Passo 5

Cálculo da variação de volume do sistema.
Raciocínio: a variação do volume total do sistema (fechado) ao final da combustão isotérmica é
\Delta V = V_{\text{final}} - V_{\text{inicial}},
onde o volume inicial é o volume do gás (ar) + volume do líquido de octano; o volume final é o volume do gás contendo \mathrm{CO}_2, \mathrm{H}_2\mathrm{O}(g), \mathrm{N}_2 e o \mathrm{O}_2 remanescente.
Vou calcular a variação de número de mols de gás e usar a lei dos gases ideais para transformar \Delta n em \Delta V à T e p dados.
  1. Quantidades de gases fornecidos/consumidos por mol de octano:
  • O _2 estequiométrico consumido: 12{,}5 mol por mol de octano.
  • Com 50\% de excesso, O _2 fornecido = 1{,}5\times 12{,}5 = 18{,}75 mol por mol octano.
  • Portanto O _2 remanescente (excesso) = 18{,}75 - 12{,}5 = 6{,}25 mol por mol octano.
  • N _2 que acompanha o ar: por cada mol de O _2 3{,}76 mol de N _2. Então N _2 fornecido por mol octano = 18{,}75\times 3{,}76 = 70{,}5 mol N _2 por mol octano.
  1. Moles de gás inicial e final (por mol de octano):
  • Inicial (antes da combustão): assumindo ar seco, só temos o ar como gás (O _2+N _2), então
n_{\text{g,ini,per mol fuel}} = 18{,}75 + 70{,}5 = 89{,}25\\ \mathrm{mol}.
  • Final (após combustão), por mol de octano:
    • \mathrm{CO}_2: 8 mol,
    • \mathrm{H}_2\mathrm{O}(g): 9 mol (porque T=100^\circ\mathrm{C} vaporiza),
    • \mathrm{O}_2 remanescente: 6{,}25 mol,
    • \mathrm{N}_2: 70{,}5 mol.
      Soma:
n_{\text{g,fin,per mol fuel}} = 8 + 9 + 6{,}25 + 70{,}5 = 93{,}75\\ \mathrm{mol}.
  1. Variação de mols de gás por mol de combustível:
\Delta n_{\text{g,per mol fuel}} = 93{,}75 - 89{,}25 = 4{,}5\\ \mathrm{mol}.
  1. Para n_{\mathrm{oct}}=8{,}7549\\ \mathrm{mol} de octano queimados, variação total de mols de gás:
\Delta n = n_{\mathrm{oct}}\cdot 4{,}5 = 8{,}7549\times 4{,}5 = 39{,}397\\ \mathrm{mol}.
  1. Converter \Delta n em \Delta V usando a lei dos gases ideais a T=373{,}15\\ \mathrm{K} e p=1\\ \mathrm{bar}:
\Delta V_{\text{gás}} = \frac{\Delta n\,R\,T}{p}.á
Usando R=0{,}08314\\ \mathrm{L\cdot bar\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}} e p=1\\ \mathrm{bar}:
\Delta V_{\text{gás}}(\mathrm{L}) = 39{,}397\times 0{,}08314\times 373{,}15 = 1{,}221{,}6\times 10^{3}\\ \mathrm{L}.á
Ou em metros cúbicos:
\Delta V_{\text{gás}} \approx 1{,}2216\\ \mathrm{m^3}.á
  1. Agora lembrar que inicialmente havia também o volume do octano líquido, que deixará de ocupar volume líquido quando transformar-se em gases. Volume do octano líquido inicial:
V_{\text{oct,ini}} = \frac{m}{\rho} = \frac{1000\\ \mathrm{g}}{0{,}70\\ \mathrm{g\cdot cm^{-3}}} = 1{,}42857\times 10^{3}\\ \mathrm{cm^3} = 1{,}42857\\ \mathrm{L} = 0{,}00142857\\ \mathrm{m^3}.
  1. Variação total do volume do sistema (gás final menos soma de gás inicial e volume líquido inicial):
    Uma forma prática é: a diferença de volumes entre final e inicial é \Delta V_{\text{gás}} - V_{\text{oct,ini}}á, pois \Delta V_{\text{gás}}á já é V_{\text{g,final}}-V_{\text{g,ini}}, e o sistema inicial tinha V_{\text{g,ini}}+V_{\text{oct,ini}}.
\Delta V = \Delta V_{\text{gás}} - V_{\text{oct,ini}}.á
Substituindo números (em m ^3):
\Delta V \approx 1{,}2216\\ \mathrm{m^3} - 0{,}0014286\\ \mathrm{m^3} = 1{,}2202\\ \mathrm{m^3}.
Em litros:
\Delta V \approx 1{,}220,2\\ \mathrm{L}.
Interpretação: o sistema aumenta de volume em cerca de 1{,}22\\ \mathrm{m^3} quando o octano é queimado sob as condições dadas.

Passo 6

Resumo numérico final com atenção à unidade e ao significado físico:
  • Calor a ser removido (para manter T=100^\circ\mathrm{C}, processo isotérmico a 1\\ \mathrm{bar}):
Q \approx 44{,}43\\ \mathrm{MJ} (ou 44{,}430\\ \mathrm{kJ}), positivo no sentido “quantidade de calor a ser retirada do sistema” porque a reação é exotérmica.
  • Variação de volume do sistema:
\Delta V \approx 1{,}220\\ \mathrm{m^3} (aumento de volume).

Resposta

(a) Q \approx 44{,}430\\ \mathrm{kJ} (ou 44{,}43\\ \mathrm{MJ}).
(b) \Delta V \approx 1{,}220\\ \mathrm{m^3}.

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