Ar contido em um arranjo pistão-cilindro tem um volume inicial de 0,10 \mathrm{~m}^{3} e uma pressão inicial de 150 kPa . O ar, que pode ser assumido ideal, sofre um processo quase-estático tal que P V^{-1}= const. Se o volume final é 0,25 \mathrm{~m}^{3}, determine:
a) A pressão final do ar no cilindro.
b) O trabalho realizado se ar é o sistema.

Passo 1

O enunciado descreve ar ideal contido num pistão-cilindro que sofre um processo quase-estático onde
P\,V^{-1} = \text{constante}.
Temos o estado inicial \,V_{1}=0{,}10\\ \mathrm{m}^{3}, \,P_{1}=150\\ \mathrm{kPa} e o volume final \,V_{2}=0{,}25\\ \mathrm{m}^{3}.
Queremos (a) a pressão final P_{2} e (b) o trabalho realizado pelo ar no processo.

Passo 2

Como P\,V^{-1}=\mathrm{const}, identificamos um processo politrópico com expoente n=-1, isto é
P\,V^{n}=P\,V^{-1}=C,
onde
C = P_{1}\,V_{1}^{-1} = \frac{150\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}}{0{,}10\\ \mathrm{m}^{3}} =1{,}5\times10^{6}\\ \mathrm{Pa/m}^{3}.
A pressão final é
P_{2}=C\,V_{2} =\bigl(1{,}5\times10^{6}\bigr)\,(0{,}25) =3{,}75\times10^{5}\\ \mathrm{Pa} =375\\ \mathrm{kPa}.

Passo 3

O trabalho realizado pelo sistema é
W = \int_{V_{1}}^{V_{2}}P\,dV = \int_{V_{1}}^{V_{2}}C\,V\,dV = \frac{C}{2}\bigl(V_{2}^{2}-V_{1}^{2}\bigr).
Substituindo C=1{,}5\times10^{6}\\ \mathrm{Pa/m}^{3}, V_{1}=0{,}10\\ \mathrm{m}^{3} e V_{2}=0{,}25\\ \mathrm{m}^{3}:
W = \frac{1{,}5\times10^{6}}{2}\bigl(0{,}25^{2}-0{,}10^{2}\bigr) =0{,}5\times10^{6}\,(0{,}0625-0{,}0100) =0{,}5\times10^{6}\times0{,}0525 =3,9375\times10^{4}\\ \mathrm{J} \approx3,94\times10^{4}\\ \mathrm{J}.

Resposta

a) P_{2}=375\\ \mathrm{kPa}.
b) W\approx3,94\times10^{4}\\ \mathrm{J}.

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