Ar contido em uma configuração pistão-cilindro opera seguindo o ciclo de máquina térmica de Carnot, recebendo calor de uma fonte quente a 1200 K e rejeitando calor em uma fonte fria a 400 K . Para a comparação com o ciclo de motores de combustão interna a gasolina (ciclo Otto), que corresponde a dois processos adiabáticos quaseestáticos e dois processos isocóricos, adote as mesmas temperaturas extremas do Carnot e use como volumes extremos do Otto os volumes máximo e mínimo obtidos no ciclo de Carnot.
A razão de compressão do ciclo Otto (
) é definida por
.
(a) Esboce o ciclo de Carnot em um diagrama
, com indicação clara dos sentidos dos processos e a numeração dos estados (
e 4 ).
(b) Repita os esboços do item anterior, substituindo os processos isotérmicos por processos isocóricos, transformando a máquina térmica de Carnot em uma máquina térmica de Otto (usar
e
conforme descrito no enunciado).
(c) Determine a quantidade específica de trabalho líquido realizado pelo ar em ambas as configurações da máquina térmica, em
.
(d) Determine a quantidade específica de calor recebida em ambas as configurações da máquina térmica, em
.
(e) Determine a eficiência térmica (
) do ciclo de Carnot e do ciclo de Otto, em
.
(f) Determine a eficiência de segunda lei (
) para o ciclo de Otto, em %. Explique o motivo pelo qual não é de
.
(g) Determine a razão de compressão (
) tal que um novo ciclo Otto opere de forma que
.
A razão de compressão do ciclo Otto (
(a) Esboce o ciclo de Carnot em um diagrama
(b) Repita os esboços do item anterior, substituindo os processos isotérmicos por processos isocóricos, transformando a máquina térmica de Carnot em uma máquina térmica de Otto (usar
(c) Determine a quantidade específica de trabalho líquido realizado pelo ar em ambas as configurações da máquina térmica, em
(d) Determine a quantidade específica de calor recebida em ambas as configurações da máquina térmica, em
(e) Determine a eficiência térmica (
(f) Determine a eficiência de segunda lei (
(g) Determine a razão de compressão (
Passo 1
O enunciado pede várias coisas; vou listar o que foi dado e o que precisa ser encontrado, com calma e sem pular etapas.
Dados fornecidos (vou escrever cada número/variável em TeX, como você pediu):
a razão de compressão do ciclo Otto é
Devemos comparar dois ciclos usando ar ideal: um ciclo de Carnot (reversível, com isotérmicos e adiabáticos) e um ciclo Otto (dois adiabáticos e dois isocóricos). Os volumes extremos do Otto são os volumes máximo e mínimo obtidos no Carnot (portanto usamos o mesmo
para comparar). As perguntas são:
(a) Esboçar o ciclo de Carnot em -
com sentidos e numeração dos estados
.
(b) Esboçar o ciclo transformado em Otto (substituir isotérmicos por isocóricos), usando ,
e
.
(c) Determinar o trabalho específico (por kg) realizado pelo ar em ambos os ciclos, em .
(d) Determinar o calor específico recebido (por kg) em ambos os ciclos, em .
(e) Determinar a eficiência térmica de Carnot e Otto (em %).
(f) Determinar a eficiência de 2ª lei para o ciclo Otto (em %) e explicar por que não é
.
(g) Determinar o valor de tal que
.
(a) Esboçar o ciclo de Carnot em
(b) Esboçar o ciclo transformado em Otto (substituir isotérmicos por isocóricos), usando
(c) Determinar o trabalho específico (por kg) realizado pelo ar em ambos os ciclos, em
(d) Determinar o calor específico recebido (por kg) em ambos os ciclos, em
(e) Determinar a eficiência térmica
(f) Determinar a eficiência de 2ª lei
(g) Determinar o valor de
Observações importantes que vou usar implicitamente:
- Trabalho e calor serão calculados por unidade de massa (1 kg) usando a aproximação de ar perfeito com constantes típicas:
- Isso dá
- Vou assumir o ciclo Otto padrão com compressão adiabática de
para (razão ), calor fornecido a volume constante e expansão adiabática depois.
Agora começa a resolução passo a passo.
Passo 2
Conceitos essenciais que vou usar (explicação didática, para você poder aplicar na prova):
- Ideal-gas e processos isotérmicos reversíveis:
- Para uma expansão isotérmica reversível de um gás ideal a temperatura
entre volumes e , o calor trocado por unidade de massa é
Explicando: derivação rápida — para gás ideal
; trabalho infinitesimal
; integrar de
a
dá
. Num isotérmico
.
- Aduiabático reversível (isentrópico) para gás ideal:
- Relação entre temperatura e volume numa adiabática reversível:
Assim, se um processo adiabático liga estados 1 e 2,
Na prática, para compressão (volume diminui) a temperatura sobe.
- Ciclo Otto (padrão):
- Estados: 1 -> 2 compressão adiabática (volume
para ), 2 -> 3 aquecimento isocórico, 3 -> 4 expansão adiabática, 4 -> 1 resfriamento isocórico. - Razão de compressão
(atenção: no Otto usual , ). - Temperaturas nas adiabáticas relacionadas por
- Calor fornecido (isocórico 2->3) por unidade de massa:
- Calor rejeitado (isocórico 4->1):
- Trabalho por ciclo (por kg):
- Eficiência:
Explicação da fórmula da eficiência: usando relações adiabáticas e cancelamentos, a eficiência final depende só de
e
, não das temperaturas absolutas do queimador.
- Ciclo de Carnot (reversível entre
e ):
- Eficiência máxima termodinâmica:
- Para o gás ideal, se as isotérmicas do Carnot trocam calor entre volumes com razão igual (mesma razão nos isotérmicos), podemos escrever por unidade de massa:
e portanto
Observação didática: a razão logarítmica usada para os isotérmicos é a mesma, porque o ciclo reversível faz as isotérmicas com a mesma mudança relativa de volume (isso é uma simplificação padrão para comparar com Otto usando as mesmas extremidades de volume).
Passo 3
Desenho pedido (como esboçar, passo a passo):
- Trace eixos: pressão
no eixo vertical e volume específico no horizontal. - Estado 1: escolha um ponto no ramo superior esquerdo (volume pequeno). A partir de 1, o processo 1->2 é uma expansão isotérmica a
: desenhe uma curva isotérmica descendente (pressão decresce e volume aumenta). Marque a seta no sentido 1->2. - Estado 2: fim da isotérmica quente; a partir de 2 faça expansão adiabática reversível 2->3 descendo ainda mais na pressão e aumentando volume até o ramo inferior (temperatura cai de
para ). Marque 2->3 com seta. - Estado 3: no ramo de isotérmica fria a
. Processo 3->4 é compressão isotérmica (pressão aumenta, volume diminui). Marque 3->4. - Estado 4: por fim, adiabática reversível 4->1 compressiva volta ao estado inicial (temperatura sobe de
para ). Marque 4->1. - Numere os estados
no sentido horário se quiser trabalho positivo (motor). Indique claramente os sentidos das setas (1→2→3→4→1). - Observação: as isotérmicas são curvas suaves de
const para cada temperatura; as adiabáticas são mais inclinadas (em - ).
Passo 4
Como transformar para Otto (orientação e r=3):
- No Otto você terá dois processos adiabáticos (compressão e expansão) e dois processos isocóricos (adição e rejeição de calor).
- Esboço em
- : - Estado 1: volume grande
(ponto à direita). Processo 1->2: compressão adiabática até volume (seta 1→2 deslocando-se para esquerda; pressão sobe). - Estado 2: calor é adicionado a volume constante (2->3), vertical para cima (pressão sobe, volume permanece
). Aqui definimos . - Estado 3: expansão adiabática 3->4 até
(seta 3→4 para a direita; pressão decresce). - Estado 4: rejeição de calor isocórica 4->1 (vertical para baixo, volta ao
).
- Estado 1: volume grande
- Numere 1,2,3,4 no sentido horário (1→2→3→4→1) — isso produz trabalho positivo no ciclo.
- Observação: usar
, ou seja, o deslocamento horizontal entre os volumes extremos é tal que .
Passo 5
Para o Carnot, tomando a razão de volumes dos isotérmicos igual a
(assumimos que as isotérmicas trocam calor entre as mesmas razões de volume para permitir comparação direta), usamos:
Agora números (por kg):
- Primeiro calcule
. - Então
Verificação da eficiência:
Tudo coerente.
Passo 6
Agora o Otto, usando as convenções padrão e as temperaturas extremas dadas:
- No Otto tomamos
(estado antes da compressão) e (após a chama/isocórico de aquecimento). - Compressão adiabática 1->2 com razão
dá:
Com
e
,
Logo
- Pela adiabática de expansão 3->4:
- Calor recebido (isocórico 2->3):
Numericamente:
- Calor rejeitado (isocórico 4->1):
- Trabalho líquido por ciclo (por kg):
Confirme que
como sempre.
Passo 7
Já temos:
- Carnot:
- Otto (pela fórmula ou por
):
Numérico:
Verificação com
:
.
Passo 8
Definição prática (usada aqui): eficiência de segunda lei
= razão entre a eficiência real do ciclo e a eficiência máxima termodinâmica (Carnot) entre as mesmas temperaturas de fontes:
Numérico:
Explicação por que não é
(resumida e direta):
- O ciclo de Otto não é reversível: a adição de calor ocorre a volume constante, normalmente através de processos de combustão que geram irreversibilidades (geram entropia). Além disso, há diferenças de temperatura finitas durante transferência de calor entre a fonte e o fluido. O ciclo Carnot é a referência ideal reversível que extrai toda a “qualidade” do calor da fonte; ciclos reais (ou Otto idealizado com isocóricos) têm irreversibilidade interna e, portanto, não conseguem converter toda a energia térmica disponível em trabalho. Por isso
.
Passo 9
Igualando as eficiências:
Cancelando 1 e rearranjando:
Logo
Com
e
,
Interpretação: para que um Otto ideal (reversível nas adiabáticas e isocóricos) atinja a eficiência de Carnot entre as mesmas temperaturas, sua razão de compressão teria de ser muito alta (
com
). Isso explica o que vimos antes: somente se
for suficientemente grande a fórmula do Otto alcança a eficiência Carnot.
Resposta
(a) Ciclo de Carnot em
: 1→2 expansão isotérmica a
(curva
const), 2→3 expansão adiabática (resfria até
), 3→4 compressão isotérmica a
, 4→1 compressão adiabática (aumenta até
). Sentido 1→2→3→4→1 (trabalho positivo).\n
(b) Ciclo Otto em com
: 1→2 compressão adiabática
, 2→3 aquecimento isocórico (vertical para cima,
), 3→4 expansão adiabática
, 4→1 resfriamento isocórico (vertical para baixo,
). Sentido 1→2→3→4→1.\n
(c) Trabalho específico : Carnot:
Otto:
\n
(d) Calor recebido por kg : Carnot:
Otto:
\n
(e) Eficiência térmica : Carnot:
(ou
). Otto:
.\n
(f) Eficiência de 2ª lei para Otto: Não é
porque o ciclo Otto (inclusive no idealizado com isocóricos) envolve processos que não são totalmente reversíveis (transferências de calor a diferenças finitas de temperatura, irreversibilidades internas de combustão etc.), enquanto o Carnot é o ideal reversível máximo.\n
(g) Razão de compressão para :
(b) Ciclo Otto em
(c) Trabalho específico
(d) Calor recebido por kg
(e) Eficiência térmica
(f) Eficiência de 2ª lei para Otto:
(g) Razão de compressão para