Ar contido em uma configuração pistão-cilindro opera seguindo o ciclo de máquina térmica de Carnot, recebendo calor de uma fonte quente a 1200 K e rejeitando calor em uma fonte fria a 400 K . Para a comparação com o ciclo de motores de combustão interna a gasolina (ciclo Otto), que corresponde a dois processos adiabáticos quaseestáticos e dois processos isocóricos, adote as mesmas temperaturas extremas do Carnot e use como volumes extremos do Otto os volumes máximo e mínimo obtidos no ciclo de Carnot.
A razão de compressão do ciclo Otto ( r ) é definida por r=V_{\text {máx }} / V_{\text {mín }}áí.
(a) Esboce o ciclo de Carnot em um diagrama P-v, com indicação clara dos sentidos dos processos e a numeração dos estados ( 1,2,3 e 4 ).
(b) Repita os esboços do item anterior, substituindo os processos isotérmicos por processos isocóricos, transformando a máquina térmica de Carnot em uma máquina térmica de Otto (usar T_{\min }=400 \mathrm{~K}, T_{\max }=1200 \mathrm{~K} e r=3 conforme descrito no enunciado).
(c) Determine a quantidade específica de trabalho líquido realizado pelo ar em ambas as configurações da máquina térmica, em \mathrm{kJ} / \mathrm{kg}.
(d) Determine a quantidade específica de calor recebida em ambas as configurações da máquina térmica, em \mathrm{kJ} / \mathrm{kg}.
(e) Determine a eficiência térmica ( \eta_{\mathrm{th}} ) do ciclo de Carnot e do ciclo de Otto, em \%.
(f) Determine a eficiência de segunda lei ( \eta_{2 \text { nd }} ) para o ciclo de Otto, em %. Explique o motivo pelo qual não é de 100 \%.
(g) Determine a razão de compressão ( r ) tal que um novo ciclo Otto opere de forma que \eta_{\text {Otto }}(r)=\eta_{\text {Carnot }}.

Passo 1

O enunciado pede várias coisas; vou listar o que foi dado e o que precisa ser encontrado, com calma e sem pular etapas.
Dados fornecidos (vou escrever cada número/variável em TeX, como você pediu):
T_{\max}=T_H=1200\\ \text{K},\qquad T_{\min}=T_C=400\\ \text{K},
a razão de compressão do ciclo Otto é
r=\frac{V_{\text{máx}}}{V_{\text{mín}}}=3.áí
Devemos comparar dois ciclos usando ar ideal: um ciclo de Carnot (reversível, com isotérmicos e adiabáticos) e um ciclo Otto (dois adiabáticos e dois isocóricos). Os volumes extremos do Otto são os volumes máximo e mínimo obtidos no Carnot (portanto usamos o mesmo r para comparar). As perguntas são:
(a) Esboçar o ciclo de Carnot em P- v com sentidos e numeração dos estados 1,2,3,4.
(b) Esboçar o ciclo transformado em Otto (substituir isotérmicos por isocóricos), usando T_{\min}=400\\ \text{K}, T_{\max}=1200\\ \text{K} e r=3.
(c) Determinar o trabalho específico (por kg) realizado pelo ar em ambos os ciclos, em \mathrm{kJ/kg}.
(d) Determinar o calor específico recebido (por kg) em ambos os ciclos, em \mathrm{kJ/kg}.
(e) Determinar a eficiência térmica \eta_{\text{th}} de Carnot e Otto (em %).
(f) Determinar a eficiência de 2ª lei \eta_{2\text{nd}} para o ciclo Otto (em %) e explicar por que não é 100\%.
(g) Determinar o valor de r tal que \eta_{\text{Otto}}(r)=\eta_{\text{Carnot}}.
Observações importantes que vou usar implicitamente:
  • Trabalho e calor serão calculados por unidade de massa (1 kg) usando a aproximação de ar perfeito com constantes típicas:
R=0{,}287\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},\quad \gamma=\frac{c_p}{c_v}=1{,}4.
  • Isso dá
c_v=\frac{R}{\gamma-1}= \frac{0{,}287}{0{,}4}=0{,}7175\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},
c_p=c_v+R=0{,}7175+0{,}287=1{,}0045\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Vou assumir o ciclo Otto padrão com compressão adiabática de V_{\max} para V_{\min} (razão r), calor fornecido a volume constante e expansão adiabática depois.
Agora começa a resolução passo a passo.

Passo 2

Conceitos essenciais que vou usar (explicação didática, para você poder aplicar na prova):
  1. Ideal-gas e processos isotérmicos reversíveis:
  • Para uma expansão isotérmica reversível de um gás ideal a temperatura T entre volumes V_a e V_b, o calor trocado por unidade de massa é
Q_{\text{iso}} = R\,T\,\ln\!\left(\frac{V_b}{V_a}\right).
Explicando: derivação rápida — para gás ideal p v = R T; trabalho infinitesimal dW = p\,dv = \frac{R T}{v}\,dv; integrar de v_a a v_b W = R T \ln(v_b/v_a). Num isotérmico Q=W.
  1. Aduiabático reversível (isentrópico) para gás ideal:
  • Relação entre temperatura e volume numa adiabática reversível:
T\,v^{\gamma-1}=\text{const}.
Assim, se um processo adiabático liga estados 1 e 2,
T_2 = T_1\left(\frac{v_1}{v_2}\right)^{\gamma-1}.
Na prática, para compressão (volume diminui) a temperatura sobe.
  1. Ciclo Otto (padrão):
  • Estados: 1 -> 2 compressão adiabática (volume V_1=V_{\max} para V_2=V_{\min} ), 2 -> 3 aquecimento isocórico, 3 -> 4 expansão adiabática, 4 -> 1 resfriamento isocórico.
  • Razão de compressão r=\dfrac{V_1}{V_2} (atenção: no Otto usual V_1=V_{\max}, V_2=V_{\min}).
  • Temperaturas nas adiabáticas relacionadas por
T_2 = T_1\,r^{\gamma-1},\qquad T_4 = T_3\,r^{1-\gamma} = \frac{T_3}{r^{\gamma-1}}.
  • Calor fornecido (isocórico 2->3) por unidade de massa:
q_{\text{in,Otto}} = c_v\,(T_3-T_2).
  • Calor rejeitado (isocórico 4->1):
q_{\text{out,Otto}} = c_v\,(T_4-T_1).
  • Trabalho por ciclo (por kg):
w_{\text{net,Otto}} = q_{\text{in,Otto}} - q_{\text{out,Otto}}.
  • Eficiência:
\eta_{\text{Otto}} = 1 - \frac{q_{\text{out,Otto}}}{q_{\text{in,Otto}}} = 1 - \frac{1}{r^{\gamma-1}}.
Explicação da fórmula da eficiência: usando relações adiabáticas e cancelamentos, a eficiência final depende só de r e \gamma, não das temperaturas absolutas do queimador.
  1. Ciclo de Carnot (reversível entre T_H e T_C):
  • Eficiência máxima termodinâmica:
\eta_{\text{Carnot}} = 1 - \frac{T_C}{T_H}.
  • Para o gás ideal, se as isotérmicas do Carnot trocam calor entre volumes com razão igual (mesma razão nos isotérmicos), podemos escrever por unidade de massa:
q_{H,\text{Carnot}} = R\,T_H\,\ln\!\left(\frac{V_b}{V_a}\right),\qquad q_{C,\text{Carnot}} = R\,T_C\,\ln\!\left(\frac{V_b}{V_a}\right),
e portanto
w_{\text{net,Carnot}} = q_{H,\text{Carnot}}-q_{C,\text{Carnot}} = R\,(T_H-T_C)\,\ln\!\left(\frac{V_b}{V_a}\right).
Observação didática: a razão logarítmica usada para os isotérmicos é a mesma, porque o ciclo reversível faz as isotérmicas com a mesma mudança relativa de volume (isso é uma simplificação padrão para comparar com Otto usando as mesmas extremidades de volume).

Passo 3

Desenho pedido (como esboçar, passo a passo):
  • Trace eixos: pressão P no eixo vertical e volume específico v no horizontal.
  • Estado 1: escolha um ponto no ramo superior esquerdo (volume pequeno). A partir de 1, o processo 1->2 é uma expansão isotérmica a T_H=1200\\ \text{K}: desenhe uma curva isotérmica descendente (pressão decresce e volume aumenta). Marque a seta no sentido 1->2.
  • Estado 2: fim da isotérmica quente; a partir de 2 faça expansão adiabática reversível 2->3 descendo ainda mais na pressão e aumentando volume até o ramo inferior (temperatura cai de T_H para T_C). Marque 2->3 com seta.
  • Estado 3: no ramo de isotérmica fria a T_C=400\\ \text{K}. Processo 3->4 é compressão isotérmica (pressão aumenta, volume diminui). Marque 3->4.
  • Estado 4: por fim, adiabática reversível 4->1 compressiva volta ao estado inicial (temperatura sobe de T_C para T_H). Marque 4->1.
  • Numere os estados 1,2,3,4 no sentido horário se quiser trabalho positivo (motor). Indique claramente os sentidos das setas (1→2→3→4→1).
  • Observação: as isotérmicas são curvas suaves de Pv=const para cada temperatura; as adiabáticas são mais inclinadas (em P- v).

Passo 4

Como transformar para Otto (orientação e r=3):
  • No Otto você terá dois processos adiabáticos (compressão e expansão) e dois processos isocóricos (adição e rejeição de calor).
  • Esboço em P- v:
    • Estado 1: volume grande V_{\max} (ponto à direita). Processo 1->2: compressão adiabática até volume V_{\min} (seta 1→2 deslocando-se para esquerda; pressão sobe).
    • Estado 2: calor é adicionado a volume constante (2->3), vertical para cima (pressão sobe, volume permanece V_{\min}). Aqui definimos T_3=T_{\max}=1200\\ \text{K}.
    • Estado 3: expansão adiabática 3->4 até V_{\max} (seta 3→4 para a direita; pressão decresce).
    • Estado 4: rejeição de calor isocórica 4->1 (vertical para baixo, volta ao T_1=T_{\min}=400\\ \text{K}).
  • Numere 1,2,3,4 no sentido horário (1→2→3→4→1) — isso produz trabalho positivo no ciclo.
  • Observação: usar r=\dfrac{V_{\max}}{V_{\min}}=3, ou seja, o deslocamento horizontal entre os volumes extremos é tal que V_{\max}=3\,V_{\min}.

Passo 5

Para o Carnot, tomando a razão de volumes dos isotérmicos igual a r=\dfrac{V_{\max}}{V_{\min}}=3 (assumimos que as isotérmicas trocam calor entre as mesmas razões de volume para permitir comparação direta), usamos:
q_{H,\text{Carnot}} = R\,T_H\,\ln r, \qquad q_{C,\text{Carnot}} = R\,T_C\,\ln r,
w_{\text{net,Carnot}} = q_{H,\text{Carnot}} - q_{C,\text{Carnot}} = R\,(T_H-T_C)\,\ln r.
Agora números (por kg):
  • Primeiro calcule \ln r = \ln 3 = 1{,}098612289.
  • Então
q_{H,\text{Carnot}} = 0{,}287\cdot 1200\cdot 1{,}098612289 \approx 378{,}36\\ \mathrm{kJ/kg}.
q_{C,\text{Carnot}} = 0{,}287\cdot 400\cdot 1{,}098612289 \approx 126{,}12\\ \mathrm{kJ/kg}.
w_{\text{net,Carnot}} = 378{,}36 - 126{,}12 = 252{,}24\\ \mathrm{kJ/kg}.
Verificação da eficiência:
\eta_{\text{Carnot}} = 1-\frac{T_C}{T_H} = 1-\frac{400}{1200} = \frac{2}{3}=0{,}6666667,
\frac{w_{\text{net,Carnot}}}{q_{H,\text{Carnot}}} = \frac{252{,}24}{378{,}36}\approx0{,}6666667.
Tudo coerente.

Passo 6

Agora o Otto, usando as convenções padrão e as temperaturas extremas dadas:
  • No Otto tomamos T_1=T_{\min}=400\\ \text{K} (estado antes da compressão) e T_3=T_{\max}=1200\\ \text{K} (após a chama/isocórico de aquecimento).
  • Compressão adiabática 1->2 com razão r=V_1/V_2=3 dá:
T_2 = T_1\,r^{\gamma-1}.
Com \gamma-1=0{,}4 e r=3,
r^{\,\gamma-1}=3^{0{,}4}\approx 1{,}551845.
Logo
T_2 = 400\cdot 3^{0{,}4}\approx 400\cdot 1{,}551845 \approx 620{,}74\\ \text{K}.
  • Pela adiabática de expansão 3->4:
T_4 = \frac{T_3}{r^{\gamma-1}} = \frac{1200}{3^{0{,}4}} \approx \frac{1200}{1{,}551845} \approx 773{,}88\\ \text{K}.
  • Calor recebido (isocórico 2->3):
q_{H,\text{Otto}} = c_v\,(T_3-T_2) = 0{,}7175\,(1200-620{,}74)\\ \mathrm{kJ/kg}.
Numericamente:
q_{H,\text{Otto}} \approx 0{,}7175\cdot 579{,}26 \approx 415{,}6\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Calor rejeitado (isocórico 4->1):
q_{C,\text{Otto}} = c_v\,(T_4-T_1) = 0{,}7175\,(773{,}88-400)\\ \mathrm{kJ/kg},
q_{C,\text{Otto}} \approx 0{,}7175\cdot 373{,}88 \approx 268{,}1\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Trabalho líquido por ciclo (por kg):
w_{\text{net,Otto}} = q_{H,\text{Otto}} - q_{C,\text{Otto}} \approx 415{,}6 - 268{,}1 = 147{,}5\\ \mathrm{kJ/kg}.
Confirme que w=q_{\text{in}}-q_{\text{out}} como sempre.

Passo 7

Já temos:
  • Carnot:
\eta_{\text{Carnot}} = 1-\frac{400}{1200} = \frac{2}{3} = 66{,}6667\%.
  • Otto (pela fórmula ou por w/q_{H}):
\eta_{\text{Otto}} = 1 - \frac{1}{r^{\gamma-1}} = 1 - \frac{1}{3^{0{,}4}}.
Numérico:
3^{0{,}4}\approx 1{,}551845\quad\Rightarrow\quad \eta_{\text{Otto}} \approx 1 - \frac{1}{1{,}551845} \approx 1 - 0{,}6451 \approx 0{,}3549 = 35{,}49\%.
Verificação com w/q_H: 147{,}5/415{,}6\approx0{,}3549.

Passo 8

Definição prática (usada aqui): eficiência de segunda lei \eta_{2\text{nd}} = razão entre a eficiência real do ciclo e a eficiência máxima termodinâmica (Carnot) entre as mesmas temperaturas de fontes:
\eta_{2\text{nd}} = \frac{\eta_{\text{Otto}}}{\eta_{\text{Carnot}}}\times 100\%.
Numérico:
\eta_{2\text{nd}} = \frac{0{,}3549}{0{,}6666667}\times 100\% \approx 53{,}24\%.
Explicação por que não é 100\% (resumida e direta):
  • O ciclo de Otto não é reversível: a adição de calor ocorre a volume constante, normalmente através de processos de combustão que geram irreversibilidades (geram entropia). Além disso, há diferenças de temperatura finitas durante transferência de calor entre a fonte e o fluido. O ciclo Carnot é a referência ideal reversível que extrai toda a “qualidade” do calor da fonte; ciclos reais (ou Otto idealizado com isocóricos) têm irreversibilidade interna e, portanto, não conseguem converter toda a energia térmica disponível em trabalho. Por isso \eta_{2\text{nd}}<100\%.

Passo 9

Igualando as eficiências:
1-\frac{1}{r^{\gamma-1}} \;=\; 1-\frac{T_C}{T_H}.
Cancelando 1 e rearranjando:
\frac{1}{r^{\gamma-1}} = \frac{T_C}{T_H} \quad\Rightarrow\quad r^{\gamma-1}=\frac{T_H}{T_C}.
Logo
r = \left(\frac{T_H}{T_C}\right)^{\frac{1}{\gamma-1}}.
Com \gamma-1=0{,}4 e T_H/T_C=1200/400=3,
r = 3^{1/0{,}4} = 3^{2{,}5} \approx 15{,}588.
Interpretação: para que um Otto ideal (reversível nas adiabáticas e isocóricos) atinja a eficiência de Carnot entre as mesmas temperaturas, sua razão de compressão teria de ser muito alta ( \approx 15{,}6 com \gamma=1{,}4). Isso explica o que vimos antes: somente se r for suficientemente grande a fórmula do Otto alcança a eficiência Carnot.

Resposta

(a) Ciclo de Carnot em P\!-\!v: 1→2 expansão isotérmica a T_H=1200\\ \text{K} (curva Pv=const), 2→3 expansão adiabática (resfria até T_C), 3→4 compressão isotérmica a T_C=400\\ \text{K}, 4→1 compressão adiabática (aumenta até T_H). Sentido 1→2→3→4→1 (trabalho positivo).\n
(b) Ciclo Otto em P\!-\!v com r=3: 1→2 compressão adiabática V_{\max}\to V_{\min}, 2→3 aquecimento isocórico (vertical para cima, T_3=T_{\max}=1200\\ \text{K}), 3→4 expansão adiabática V_{\min}\to V_{\max}, 4→1 resfriamento isocórico (vertical para baixo, T_1=T_{\min}=400\\ \text{K}). Sentido 1→2→3→4→1.\n
(c) Trabalho específico w_{\text{net}}: Carnot: \;252{,}24\\ \mathrm{kJ/kg}. Otto: \;147{,}5\\ \mathrm{kJ/kg}.\n
(d) Calor recebido por kg q_H: Carnot: \;378{,}36\\ \mathrm{kJ/kg}. Otto: \;415{,}6\\ \mathrm{kJ/kg}.\n
(e) Eficiência térmica \eta_{\text{th}}: Carnot: \;66{,}6667\% (ou 2/3). Otto: \;35{,}49\%.\n
(f) Eficiência de 2ª lei para Otto: \eta_{2\text{nd}}=\dfrac{\eta_{\text{Otto}}}{\eta_{\text{Carnot}}}\times100\%\approx 53{,}24\%. Não é 100\% porque o ciclo Otto (inclusive no idealizado com isocóricos) envolve processos que não são totalmente reversíveis (transferências de calor a diferenças finitas de temperatura, irreversibilidades internas de combustão etc.), enquanto o Carnot é o ideal reversível máximo.\n
(g) Razão de compressão para \eta_{\text{Otto}}=\eta_{\text{Carnot}}:
r=\left(\frac{T_H}{T_C}\right)^{\!1/(\gamma-1)}=3^{2{,}5}\approx 15{,}588.

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