Considere um dispositivo pistão-cilindro em que o pistão contém 100 gramas de metano nas condições iniciais de 500 kPa e 150{ }^{\circ} \mathrm{C}. O metano é submetido a uma expansão politrópica com expoente n=1,2 até a pressão final de 250 kPa . Deduza a expressão do trabalho de fronteira para o processo politrópico e, em seguida, determine o trabalho realizado pelo metano e o calor transferido ao metano ao longo do processo de expansão.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas principais:
  1. Deduzir a expressão do trabalho de fronteira para um processo politrópico (expoente n).
  2. Calcular numericamente o trabalho realizado pelo metano e o calor transferido ao metano durante a expansão politrópica dada.
Dados fornecidos:
\begin{aligned} &\text{massa do metano: } m = 100\\ \text{g} = 0{,}100\\ \text{kg},\\\ &\text{pressão inicial: } p_1 = 500\\ \text{kPa} = 500\,000\\ \text{Pa},\\\ &\text{temperatura inicial: } T_1 = 150^\circ\mathrm{C} = 423{,}15\\ \text{K},\\\ &\text{processo: politrópico com expoente } n = 1{,}2,\\\ &\text{pressão final: } p_2 = 250\\ \text{kPa} = 250\,000\\ \text{Pa}. \end{aligned}ãóã
Não há figura adicional. Vou considerar o metano como gás ideal e assumir capacidades caloríficas constantes (valor típico de c_p que justificarei e usarei na conta). A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Definição e dedução da expressão do trabalho para processo politrópico.
  • Um processo politrópico é aquele que satisfaz, em todo instante, a relação
p\,V^{n} = \text{const} = C,
onde p é a pressão, V o volume e n o expoente politrópico (aqui n\neq 1). Essa é a condição do processo (quase-estático).
  • O trabalho de fronteira realizado pelo gás numa transformação quasi-estática é
W = \int_{V_1}^{V_2} p\,\mathrm{d}V.
  • Usando p = C\,V^{-n}, substituímos na integral:
W = \int_{V_1}^{V_2} C\,V^{-n}\,\mathrm{d}V.
  • Integramos (para n\neq 1):
W = C\left[\frac{V^{1-n}}{1-n}\right]_{V_1}^{V_2} = \frac{C}{1-n}\left(V_2^{1-n}-V_1^{1-n}\right).
  • Agora escrevemos C em termos de condições iniciais ou finais: C = p_1 V_1^{n} = p_2 V_2^{n}. Substituindo e simplificando (usando pV = pV para os termos), obtemos a forma prática
W = \frac{p_2 V_2 - p_1 V_1}{1-n}.
(Observação: para n=1 a integral dá o caso isotérmico W = p_1 V_1 \ln\!\dfrac{V_2}{V_1}, mas aqui n=1{,}2.)
Essa é a expressão pedida do trabalho de fronteira para um processo politrópico ( n\neq 1):
\boxed{W = \dfrac{p_2 V_2 - p_1 V_1}{1-n}.}

Passo 3

Agora vamos obter os volumes V_1 e V_2 usando o gás ideal.
  • Lei do gás ideal aplicada ao estado 1:
p_1 V_1 = m R T_1,
onde R é a constante específica do gás (energia por massa por temperatura).
  • Para o metano, a constante específica é R = \dfrac{R_u}{\overline{M}}, onde R_u = 8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\;K)} e a massa molar do metano é \overline{M}=16{,}04\\ \mathrm{g/mol}=0{,}01604\\ \mathrm{kg/mol}. Então
R = \frac{8{,}314462618}{0{,}01604}\\ \mathrm{J/(kg\;K)} \approx 518{,}3\\ \mathrm{J/(kg\;K)}.
  • Assim
V_1 = \frac{m R T_1}{p_1}.

Passo 4

Cálculo numérico de V_1.
Colocando os números:
V_1 = \frac{0{,}100\cdot 518{,}3 \cdot 423{,}15}{500\,000}\\ \mathrm{m^3}.
Calculemos passo a passo:
0{,}100\cdot 518{,}3 \cdot 423{,}15 \approx 21\,931{,}86\\ \mathrm{J},
portanto
V_1 \approx \frac{21\,931{,}86}{500\,000} \approx 0{,}0438637\\ \mathrm{m^3}.

Passo 5

Determinar V_2 usando a condição politrópica.
  • Da relação p_1 V_1^{n} = p_2 V_2^{n} vem
V_2 = V_1\left(\frac{p_1}{p_2}\right)^{1/n}.
  • Aqui \dfrac{p_1}{p_2} = \dfrac{500}{250} = 2 e 1/n = 1/1{,}2 \approx 0{,}833333. Então
V_2 = V_1 \cdot 2^{1/1{,}2}.
  • Numericamente,
2^{1/1{,}2} = 2^{0{,}833333\ldots} \approx 1{,}781797,
logo
V_2 \approx 0{,}0438637 \times 1{,}781797 \approx 0{,}0781617\\ \mathrm{m^3}.

Passo 6

Cálculo do trabalho W usando a expressão deduzida.
  • Primeiro calculemos p_1 V_1 e p_2 V_2:
p_1 V_1 \approx 500\,000 \times 0{,}0438637 \approx 21\,931{,}86\\ \mathrm{J},
p_2 V_2 \approx 250\,000 \times 0{,}0781617 \approx 19\,540{,}43\\ \mathrm{J}.
  • Substituindo em
W = \frac{p_2 V_2 - p_1 V_1}{1-n}
com n=1{,}2 (portanto 1-n=-0{,}2):
W = \frac{19\,540{,}43 - 21\,931{,}86}{-0{,}2} = \frac{-2\,391{,}43}{-0{,}2} \approx 11\,957{,}2\\ \mathrm{J}.
Portanto o trabalho realizado pelo metano (positivo indicando trabalho feito pelo sistema sobre o ambiente na expansão) é aproximadamente 11{,}96\\ \mathrm{kJ}.

Passo 7

Cálculo do calor Q transferido usando a Primeira Lei da Termodinâmica.
  • Para um sistema fechado,
\Delta U = Q - W,
onde \Delta U é a variação da energia interna do gás, Q é o calor transferido ao sistema (positivo quando entra) e W é o trabalho realizado pelo sistema (positivo quando sai).
  • Para gás ideal com capacidades específicas constantes,
\Delta U = m c_v (T_2 - T_1),
onde c_v é a capacidade térmica a volume constante (por massa).

Passo 8

Determinar T_2 e c_v.
  • Use o gás ideal no estado 2: T_2 = \dfrac{p_2 V_2}{m R}.
    Com os valores que já temos,
T_2 \approx \frac{19\,540{,}43}{0{,}100\cdot 518{,}3} \approx \frac{19\,540{,}43}{51{,}83} \approx 377{,}12\\ \mathrm{K}.
Logo T_2 \approx 377{,}12\\ \mathrm{K} e T_1 = 423{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Para c_v precisamos de c_p ou do \gamma. Vou usar um valor típico para metano na faixa de temperaturas envolvidas: c_p \approx 2{,}220\\ \mathrm{kJ/(kg\;K)} = 2\,220\\ \mathrm{J/(kg\;K)}. Isso é um valor padrão aproximado para metano como gás ideal a temperatura moderada. Então
c_v = c_p - R \approx 2\,220 - 518{,}3 \approx 1\,701{,}7\\ \mathrm{J/(kg\;K)}.
(Observação: esse procedimento é padrão: R = c_p - c_v.)

Passo 9

Calcular \Delta U e Q.
  • Variação de temperatura:
\Delta T = T_2 - T_1 \approx 377{,}12 - 423{,}15 = -46{,}03\\ \mathrm{K}.
  • Então
\Delta U = m c_v \Delta T \approx 0{,}100 \times 1\,701{,}7 \times (-46{,}03) \approx -7\,832{,}4\\ \mathrm{J}.
  • Aplicando a primeira lei Q = \Delta U + W:
Q \approx -7\,832{,}4 + 11\,957{,}2 \approx 4\,124{,}8\\ \mathrm{J}.
Portanto, aproximadamente 4{,}12\\ \mathrm{kJ} de calor foram transferidos ao metano durante a expansão (calor recebido pelo sistema).

Resposta

\text{Expressão: } \boxed{W = \dfrac{p_2 V_2 - p_1 V_1}{1-n}}ã
\text{Trabalho realizado pelo metano: } W \approx 11{,}957\\ \text{J} \\ (\approx 11{,}96\\ \mathrm{kJ})
\text{Calor transferido ao metano: } Q \approx 4{,}125\\ \text{J} \\ (\approx 4{,}13\\ \mathrm{kJ})

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