Considere um dispositivo pistão-cilindro em que o pistão contém 100 gramas de metano nas condições iniciais de 500 kPa e 150{ }^{\circ} \mathrm{C}. O metano é submetido a uma expansão politrópica com expoente n=1,2 até a pressão final de 250 kPa . Deduza a expressão do trabalho de fronteira para o processo politrópico e, em seguida, determine o trabalho realizado pelo metano e o calor transferido ao metano ao longo do processo de expansão.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas principais:
Deduzir a expressão do trabalho de fronteira para um processo politrópico (expoente n).
Calcular numericamente o trabalho realizado pelo metano e o calor transferido ao metano durante a expansão politrópica dada.
Não há figura adicional. Vou considerar o metano como gás ideal e assumir capacidades caloríficas constantes (valor típico de c_p que justificarei e usarei na conta). A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Definição e dedução da expressão do trabalho para processo politrópico.
Um processo politrópico é aquele que satisfaz, em todo instante, a relação
p\,V^{n} = \text{const} = C,
onde p é a pressão, V o volume e n o expoente politrópico (aqui n\neq 1). Essa é a condição do processo (quase-estático).
O trabalho de fronteira realizado pelo gás numa transformação quasi-estática é
W = \int_{V_1}^{V_2} p\,\mathrm{d}V.
Usando p = C\,V^{-n}, substituímos na integral:
W = \int_{V_1}^{V_2} C\,V^{-n}\,\mathrm{d}V.
Integramos (para n\neq 1):
W = C\left[\frac{V^{1-n}}{1-n}\right]_{V_1}^{V_2} = \frac{C}{1-n}\left(V_2^{1-n}-V_1^{1-n}\right).
Agora escrevemos C em termos de condições iniciais ou finais: C = p_1 V_1^{n} = p_2 V_2^{n}. Substituindo e simplificando (usando pV = pV para os termos), obtemos a forma prática
W = \frac{p_2 V_2 - p_1 V_1}{1-n}.
(Observação: para n=1 a integral dá o caso isotérmico W = p_1 V_1 \ln\!\dfrac{V_2}{V_1}, mas aqui n=1{,}2.)
Essa é a expressão pedida do trabalho de fronteira para um processo politrópico (n\neq 1):
\boxed{W = \dfrac{p_2 V_2 - p_1 V_1}{1-n}.}
Passo 3
Agora vamos obter os volumes V_1 e V_2 usando o gás ideal.
Lei do gás ideal aplicada ao estado 1:
p_1 V_1 = m R T_1,
onde R é a constante específica do gás (energia por massa por temperatura).
Para o metano, a constante específica é R = \dfrac{R_u}{\overline{M}}, onde R_u = 8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\;K)} e a massa molar do metano é \overline{M}=16{,}04\\ \mathrm{g/mol}=0{,}01604\\ \mathrm{kg/mol}. Então
R = \frac{8{,}314462618}{0{,}01604}\\ \mathrm{J/(kg\;K)} \approx 518{,}3\\ \mathrm{J/(kg\;K)}.
W = \frac{19\,540{,}43 - 21\,931{,}86}{-0{,}2} = \frac{-2\,391{,}43}{-0{,}2} \approx 11\,957{,}2\\ \mathrm{J}.
Portanto o trabalho realizado pelo metano (positivo indicando trabalho feito pelo sistema sobre o ambiente na expansão) é aproximadamente 11{,}96\\ \mathrm{kJ}.
Passo 7
Cálculo do calor Q transferido usando a Primeira Lei da Termodinâmica.
Para um sistema fechado,
\Delta U = Q - W,
onde \Delta U é a variação da energia interna do gás, Q é o calor transferido ao sistema (positivo quando entra) e W é o trabalho realizado pelo sistema (positivo quando sai).
Para gás ideal com capacidades específicas constantes,
\Delta U = m c_v (T_2 - T_1),
onde c_v é a capacidade térmica a volume constante (por massa).
Passo 8
Determinar T_2 e c_v.
Use o gás ideal no estado 2: T_2 = \dfrac{p_2 V_2}{m R}.
Com os valores que já temos,
Logo T_2 \approx 377{,}12\\ \mathrm{K} e T_1 = 423{,}15\\ \mathrm{K}.
Para c_v precisamos de c_p ou do \gamma. Vou usar um valor típico para metano na faixa de temperaturas envolvidas: c_p \approx 2{,}220\\ \mathrm{kJ/(kg\;K)} = 2\,220\\ \mathrm{J/(kg\;K)}. Isso é um valor padrão aproximado para metano como gás ideal a temperatura moderada. Então