Defina de forma precisa os seguintes conceitos:© Fronteira;

Passo 1

Beleza, então o exercício pede para a gente definir de forma precisa o conceito de fronteira. Isso está dentro da matéria de topologia, que trata das propriedades dos espaços que são preservadas através de deformações contínuas. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos como conjuntos, vizinhanças e como definir a fronteira de um conjunto dentro de um espaço topológico.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é um conjunto em topologia. Basicamente, um conjunto é qualquer coleção de pontos dentro de um espaço. Por exemplo, no espaço euclidiano , um círculo é um conjunto de pontos que estão a uma certa distância do centro.

Passo 3

Agora, vamos entender o que é uma vizinhança de um ponto. Uma vizinhança de um ponto é um conjunto que contém um “bairro” em torno desse ponto. Formalmente, uma vizinhança de um ponto é qualquer conjunto que inclui um aberto que contém .

Passo 4

Com esses conceitos, podemos definir a interior de um conjunto . A interior de , denotada por , é o conjunto de todos os pontos de que têm uma vizinhança totalmente contida em .

Passo 5

Também precisamos entender o que é o fecho de um conjunto . O fecho de , denotado por , é o menor conjunto fechado que contém . Ele inclui todos os pontos de e todos os pontos de acumulação de .

Passo 6

Finalmente, com esses conceitos em mente, podemos definir a fronteira de um conjunto . A fronteira é composta pelos pontos que estão no fecho de mas não na interior de . Ou seja, são os pontos onde todo “bairro” ao redor deles intersecta tanto quanto o complemento de .

Resposta

A fronteira de um conjunto partial A = A cap A^c em um espaço topológico é o conjunto de pontos que pertencem ao fecho de e ao fecho do complemento de . Formalmente, é definida por:
onde é o fecho de e é o complemento de .

Exercícios relacionados