a) Demonstre a integrabilidade de đQ para processos reversíveis entre duas adiabáticas, quando o sistema termodinâmico é função de somente duas variáveis independentes. É preciso lançar mão da validade da 2^a Lei da Termodinâmica para se garantir que existe um fator integrante que torna đQ integrável?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede pra demonstrar que a quantidade de calor $ \delta Q $ é integrável em processos reversíveis entre duas adiabáticas, considerando que o sistema termodinâmico depende de apenas duas variáveis independentes. A matéria que vamos usar aqui é Termodinâmica, especificamente sobre processos reversíveis, adiabáticos e integrais de calor. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser integrável e como os processos reversíveis e adiabáticos se relacionam com isso.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é um processo reversível. Um processo reversível é aquele que pode ser invertido sem deixar nenhuma alteração no sistema ou no ambiente. Basicamente, nada é perdido, tudo é conservado de forma ideal.

Passo 3

Agora, vamos entender o que é uma adiabática. Um processo adiabático é aquele em que não há troca de calor com o ambiente, ou seja, $ \delta Q = 0 $. Então, quando falamos de processos entre duas adiabáticas, estamos dizendo que o sistema passa de uma condição adiabática para outra sem troca de calor externa.

Passo 4

Vamos falar sobre a integrabilidade de $ \delta Q $. Uma função é integrável se existe uma função potencial cuja derivada total corresponde a $ \delta Q $. Em termos matemáticos, isso significa que $ \delta Q $ é uma diferencial exata. Para que $ \delta Q $ seja integrável, deve existir um fator integrante que a torna uma diferencial exata.

Passo 5

Agora, considerando que o sistema tem apenas duas variáveis independentes, podemos usar uma condição de integrabilidade simplificada. A condição de integrabilidade para duas variáveis exige que as derivadas cruzadas sejam iguais. Ou seja, se $ \delta Q $ pode ser expresso como $ \delta Q = M(x,y)dx + N(x,y)dy $, então precisamos que:
de

Passo 6

Em um processo reversível, a segunda lei da termodinâmica nos diz que a entropia $ S $ do sistema deve ser uma função de estado. Isso implica que existe uma função potencial, que nesse caso é a entropia, que torna $ \delta Q $ integrável. Portanto, a segunda lei é essencial para garantir que o fator integrante (que neste caso está relacionado à temperatura) exista e faça $ \delta Q $ ser uma diferencial exata.

Resposta

Então, demonstramos que $ \delta Q $ é integrável em processos reversíveis entre duas adiabáticas quando o sistema depende de apenas duas variáveis independentes. Além disso, precisamos usar a segunda lei da termodinâmica para garantir que existe um fator integrante que torna $ \delta Q $ integrável.

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