Os Três ciclos dados a seguir operam um gás perfeito, como todos os processos quaseestáticos e as capacidades calorificas constantes. Os diagramas PV são construídos com a sequência dos processos especificados para cada ciclo. Para cada ciclo, desenhe o diagrama PV, indique as entrada e saídas de calor e ache eficiência da máquina térmica operando com estes ciclos.
1-2 isobárico; 2-3 Isocórico; 3-1 isotérmico. Expresse a eficiência em função de
, e da razão
.
1-2 isobárico; 2-3 Isocórico; 3-1 isotérmico. Expresse a eficiência em função de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para analisarmos um ciclo termodinâmico que envolve três processos: isobárico (pressão constante) de 1 a 2, isocórico (volume constante) de 2 a 3, e isotérmico (temperatura constante) de 3 a 1. Nosso objetivo é desenhar o diagrama PV para esse ciclo, identificar as entradas e saídas de calor e calcular a eficiência da máquina térmica que opera com esse ciclo. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de processos termodinâmicos, leis dos gases perfeitos, e a fórmula de eficiência de máquinas térmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender cada um dos processos:
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Processo Isobárico (1-2): Aqui, a pressão $ P $ permanece constante enquanto o volume $ V $ e a temperatura $ T $ podem variar. De acordo com a Lei dos Gases Perfeitos $ PV = nRT $, se a pressão é constante, aumentos no volume correspondem a aumentos na temperatura.
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Processo Isocórico (2-3): Neste processo, o volume $ V $ é mantido constante. Assim, qualquer mudança na temperatura $ T $ resultará em uma mudança na pressão $ P $.
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Processo Isotérmico (3-1): Aqui, a temperatura $ T $ permanece constante. Pela Lei de Boyle $ PV = constante $, se a temperatura não muda, a pressão e o volume variam inversamente.
Passo 3
Agora, vamos desenhar o diagrama PV para visualizar o ciclo:
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No Processo 1-2 (Isobárico): A trajetória é uma linha horizontal, já que a pressão é constante. O volume aumenta de $ V_1 $ para $ V_2 $.
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No Processo 2-3 (Isocórico): A trajetória é uma linha vertical, pois o volume permanece $ V_2 = V_3 $, e a pressão diminui, já que a temperatura diminui.
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No Processo 3-1 (Isotérmico): A trajetória é uma curva hiperbólica, já que $ PV = constante $. O volume diminui de $ V_3 $ para $ V_1 $, e a pressão aumenta proporcionalmente.
Passo 4
Vamos identificar as entradas e saídas de calor em cada processo:
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Processo 1-2 (Isobárico): Como o volume aumenta, o sistema realiza trabalho sobre o ambiente. Nesse processo, há uma entrada de calor $ Q_{in} $ para compensar o trabalho realizado e aumentar a energia interna do gás.
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Processo 2-3 (Isocórico): O volume é constante, então não há trabalho realizado ($ W = 0 $). Se a temperatura diminui, significa que o sistema está liberando calor $ Q_{out} $.
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Processo 3-1 (Isotérmico): A temperatura é constante, mas o volume diminui, o que significa que o sistema realiza trabalho sobre o ambiente. Para manter a temperatura constante, o sistema deve liberar uma quantidade de calor $ Q_{out} $ igual ao trabalho realizado.
Passo 5
Vamos calcular as quantidades de calor em cada processo:
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Processo 1-2 (Isobárico):Onde $ C_p $ é a capacidade calorífica a pressão constante, e $ \Delta T = T_2 - T_1 $.
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Processo 2-3 (Isocórico):Onde $ C_v $ é a capacidade calorífica a volume constante, e $ \Delta T = T_3 - T_2 $.
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Processo 3-1 (Isotérmico):Como a temperatura é constante, utilizamos a expressão para o calor em processos isotérmicos.
Passo 6
Agora, vamos expressar a eficiência ($ \eta $) da máquina térmica. A eficiência é definida como a relação entre o trabalho líquido realizado pela máquina e o calor absorvido durante o ciclo:
O trabalho total ($ W_{total} $) é a soma dos trabalhos em cada processo. Porém, apenas os processos 1-2 e 3-1 envolvem trabalho:
Sabemos que:
- $ W_{1-2} = P \Delta V = nR \Delta T $ (isobárico)
- $ W_{3-1} = nRT \ln\left(\frac{V_1}{V_3}\right) $ (isotérmico)
E o calor absorvido $ Q_{in} $ ocorre somente no processo 1-2:
Passo 7
Vamos introduzir os termos da eficiência em função de $ \gamma $ (razão das capacidades caloríficas $ C_p / C_v $), $ \theta_C $ e $ \theta_H $ (temperaturas das reservas fria e quente), e a razão $ V_3 / V_1 $.
Considerando que:
Substituindo e reorganizando os termos, chegamos à expressão da eficiência:
Resposta
A eficiência da máquina térmica operando com o ciclo descrito é dada por: