Na descrição lagrangiana da mecânica clássica, o sistema é descrito por uma função langrangiana das posições e velocidades dos centros de massa dos corpos que compõem o sistema. Essa função lagrangiana corresponde a energia cinética, K, menos a energia potencial, U :
L(q1, cdots, qL, dotq1, cdots, dotqL)=K(dotq1, cdots, dotqL)-U(q1, cdots, qL)
Contudo, na descrição hamiltoniana da mecânica clássica, o sistema é descrito pela função hamiltoniana, (-L), que pode ser obtida por uma transformada de Legendre de H=sumi=1^L pi dotqi-L em relação às velocidades das partículas.
Assim, mostre que:
pi=mi dotqi
em que i é o momento linear da partícula .

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede e o que a gente vai usar.
• Conteúdo: transformada de Legendre e definição de hamiltoniana em mecânica clássica.
• Dados: a Lagrangiana
L(qi,dot qi)=K(dot qi)-U(qi)
e a gente tem que mostrar que a hamiltoniana
H(qi,pi)=sumi=1^L pi,dot qi ;-;L
onde o momento conjugado é .
O que vamos precisar:
  1. Entender a ideia de transformada de Legendre.
  2. Definir o momento a partir de .
  3. Substituir tudo e chegar em .

Passo 2

Transformada de Legendre (do jeito mais simples) diz o seguinte: se você tem uma função g(p)=p,x - f(x), sujeito a p=dfdx , define-se
H(qi,pi)=sumi=1^L pi,dot qi ;-;L(qi,dot qi),
Isso troca a variável pela variável conjugada . Aqui a gente faz basicamente o mesmo, mas em várias variáveis e com a Lagrangiana . Então a hamiltoniana é
onde entendemos que cada “é a derivada de em relação a ”.

Passo 3

Agora vamos achar explicitamente pi ;=;partial Lpartial dot qi . Por definição de momento conjugado na Lagrangeana:
K=sumj=1^L12,mj,dot qj^2,
Sabendo que partial Kpartial dot qi =partialpartial dot qil(tfrac12midot qi^2r) = mi,dot qi, e que a energia cinética típica é
pi = mi,dot qi
a gente vê que
e . Logo

Passo 4

Com esse boxed H =sumi=1^L pi,dot qi ;-;L em mãos, é só botar na fórmula da hamiltoniana:
e, se quiser, dá para ver que isso equivale a , mas o enunciado pediu só o arranjo com a Legendre.

Resposta

H=sumi=1^L pi,dot qi ;-;L, com pi=midot qi

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