Na descrição lagrangiana da mecânica clássica, o sistema é descrito por uma função langrangiana das posições e velocidades dos centros de massa dos corpos que compõem o sistema. Essa função lagrangiana corresponde a energia cinética,
, menos a energia potencial,
:
Contudo, na descrição hamiltoniana da mecânica clássica, o sistema é descrito pela função hamiltoniana,
, que pode ser obtida por uma transformada de Legendre de
em relação às velocidades das partículas.
Assim, mostre que:
em que
é o momento linear da partícula
.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede e o que a gente vai usar.
• Conteúdo: transformada de Legendre e definição de hamiltoniana em mecânica clássica.
• Dados: a Lagrangiana
• Conteúdo: transformada de Legendre e definição de hamiltoniana em mecânica clássica.
• Dados: a Lagrangiana
e a gente tem que mostrar que a hamiltoniana
onde o momento conjugado é
.
O que vamos precisar:
- Entender a ideia de transformada de Legendre.
- Definir o momento
a partir de . - Substituir tudo e chegar em
.
Passo 2
Transformada de Legendre (do jeito mais simples) diz o seguinte: se você tem uma função
, define-se
Isso troca a variável
pela variável conjugada
. Aqui a gente faz basicamente o mesmo, mas em várias variáveis e com a Lagrangiana
. Então a hamiltoniana é
onde entendemos que cada
“é a derivada de
em relação a
”.
Passo 3
Agora vamos achar explicitamente
. Por definição de momento conjugado na Lagrangeana:
Sabendo que
e que a energia cinética típica é
a gente vê que
e
. Logo
Passo 4
Com esse
em mãos, é só botar na fórmula da hamiltoniana:
e, se quiser, dá para ver que isso equivale a
, mas o enunciado pediu só o arranjo com a Legendre.