Suponha a seguinte função de distribuição de probabilidade:
H
em que partial fpartial t+f, H=0 é o hamiltoniano do sistema.
Mostre que tal função de distribuição é uma solução estacionária da equação de Liouville:

Passo 1

O enunciado nos dá uma densidade de probabilidade ln f = alpha - beta ,H(q,p) cuja logaritmo vale
partial fpartial t + f,H ;=;0
e pede para mostrarmos que ela é solução estacionária da equação de Liouville
O conteúdo aqui é Mecânica Estatística / Teoria de Hamilton, e a ferramenta principal é a equação de Liouville junto com as propriedades do colchete de Poisson. Para resolver, vamos:
  1. escrever explicitamente;
  2. ver que não há dependência explícita em (logo );
  3. calcular o colchete de Poisson usando que depende só de ;
  4. concluir que tudo anula.

Passo 2

Primeiro, reescrevendo f = expl(alpha - beta,Hr) a partir do logaritmo:
partial fpartial t = 0
Como não aparece explicitamente em , ou , imediatamente temos

Passo 3

Agora o colchete de Poisson em coordenadas canônicas é
f,H =sumi=1^Ll(partial fpartial qi,partial Hpartial pi -partial fpartial pi,partial Hpartial qir)
Como partial fpartial qi = fcdot(-beta),partial Hpartial qi, partial fpartial pi = fcdot(-beta),partial Hpartial pi , calculo as derivadas parciais:
f,H =sumil[f(-beta),partial Hpartial qi,partial Hpartial pi - f(-beta),partial Hpartial pi,partial Hpartial qir]
Substituindo no colchete:
-beta fl(partialqiH,partialpiH -partialpiH,partialqiHr)=0,
Cada termo dentro da soma é da forma
f,H=0
pois é igual a si mesmo trocando ordem. Então

Resposta

Somando tudo na equação de Liouville
partial fpartial t + f,H = 0 + 0 = 0,
logo é de fato uma solução estacionária da equação de Liouville.

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