Suponha a seguinte função de distribuição de probabilidade:
em que
é o hamiltoniano do sistema.
Mostre que tal função de distribuição é uma solução estacionária da equação de Liouville:
em que
Passo 1
O enunciado nos dá uma densidade de probabilidade
cuja logaritmo vale
e pede para mostrarmos que ela é solução estacionária da equação de Liouville
O conteúdo aqui é Mecânica Estatística / Teoria de Hamilton, e a ferramenta principal é a equação de Liouville junto com as propriedades do colchete de Poisson. Para resolver, vamos:
- escrever
explicitamente; - ver que não há dependência explícita em
(logo ); - calcular o colchete de Poisson
usando que depende só de ; - concluir que tudo anula.
Passo 2
Primeiro, reescrevendo
a partir do logaritmo:
Como não aparece
explicitamente em
,
ou
, imediatamente temos
Passo 3
Agora o colchete de Poisson em coordenadas canônicas é
Como
, calculo as derivadas parciais:
Substituindo no colchete:
Cada termo dentro da soma é da forma
pois
é igual a si mesmo trocando ordem. Então
Resposta
Somando tudo na equação de Liouville
logo
é de fato uma solução estacionária da equação de Liouville.