Um determinado balão suporta uma pressão interna igual a P=100 kPa até o volume atingir Vo=20 m^3. Acima deste valor tem-se: P=Po+C(V-Vo)^2. Esse balão contém o gás Hélio a 20^circ C e 100 kPa , com um volume de 15 m^3. O balão é aquecido até que o hélio atinja 400^circ C; Nesse ponto a pressão é 150 kPa . Calcular o Trabalho realizado pelo Hélio e o Calor transferido durante o processo.

Passo 1

Vamos dar uma resumida no que o exercício está pedindo. Temos um balão que suporta uma pressão interna de P = 100 kPa até que o volume atinja Vo = 20 m^3. Quando o volume ultrapassa esse valor, a pressão aumenta de acordo com a fórmula P = Po + C(V - Vo)^2.
O balão contém gás Hélio a 20^circ C e 100 kPa, com um volume inicial de 15 m^3. Ao aquecer o balão até o Hélio atingir 400^circ C, a pressão sobe para 150 kPa. Precisamos calcular o trabalho realizado pelo Hélio e o calor transferido durante esse processo.
Vamos precisar usar conceitos de Termodinâmica, especialmente das leis dos gases ideais, trabalho em processos de expansão e a primeira lei da termodinâmica para encontrar o calor transferido.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as condições iniciais e finais do gás.
  • Temperatura inicial, Ti = 20^circ C = 293 K (convertendo para Kelvin somando 273).
  • Pressão inicial, Pi = 100 kPa.
  • Volume inicial, Vi = 15 m^3.
  • Temperatura final, Tf = 400^circ C = 673 K.
  • Pressão final, Pf = 150 kPa.

Passo 3

Vamos usar a equação dos gases ideais para encontrar a quantidade de mols de Hélio no balão. A equação é:
PV = nRT
Onde:
  • P é a pressão,
  • V é o volume,
  • n é o número de mols,
  • R é a constante dos gases ( R = 8,314 J/(mol·K)),
  • T é a temperatura.
Rearranjando para encontrar n:
n = PVRT
Substituindo os valores iniciais:
n = 100 times 10^3 times 158,314 times 293 approx 1.500.0002.438.002 approx 0,615 times 10^3 approx 615 mols

Passo 4

Agora, para calcular o trabalho realizado pelo gás durante a expansão, usamos a fórmula do trabalho em um processo isotérmico ou outro processo específico. Porém, como a temperatura muda, precisamos usar a definição geral do trabalho:
W = integralVi^Vf P , dV
Mas precisamos da relação entre P e V. Usando a equação fornecida para pressões acima de Vo:
P = Po + C(V - Vo)^2
Sabemos que Po = 100 kPa e Vo = 20 m^3. Queremos encontrar C. Para isso, usamos a condição final Pf = 150 kPa quando o volume é Vf.
Vamos primeiro encontrar Vf usando a equação dos gases ideais na condição final:
Pf Vf = n R Tf
150 times 10^3 times Vf = 615 times 8,314 times 673
150.000 Vf = 615 times 8,314 times 673
Calculando o lado direito:
615 times 8,314 approx 5.115,11
5.115,11 times 673 approx 3.439.321 J
Então:
Vf = 3.439.321150.000 approx 22,928 m^3

Passo 5

Agora, substituímos Vf na equação da pressão:
150 = 100 + C(Vf - 20)^2
150 - 100 = C(22,928 - 20)^2
50 = C(2,928)^2
Calculando:
2,928^2 approx 8,576
Então:
C = 508,576 approx 5,829 kPa/m^6

Passo 6

Agora podemos calcular o trabalho:
W = integral15^22,928 (100 + 5,829 (V - 20)^2) , dV
Vamos dividir a integral em duas partes:
W = integral15^20 100 , dV + integral20^22,928 (100 + 5,829 (V - 20)^2) , dV
Calculando a primeira integral:
integral15^20 100 , dV = 100 (20 - 15) = 500 kJ
Agora, a segunda integral:
integral20^22,928 100 , dV + 5,829 integral20^22,928 (V - 20)^2 , dV
Primeira parte:
100 (22,928 - 20) = 100 times 2,928 = 292,8 kJ
Segunda parte:
5,829 times (V - 20)^33 |20^22,928 = 5,829 times 2,928^33 approx 5,829 times 25,0723 approx 5,829 times 8,357 approx 48,659 kJ
Somando as partes da segunda integral:
292,8 + 48,659 approx 341,459 kJ
Então, o trabalho total:
W = 500 + 341,459 approx 841,459 kJ

Resposta

O trabalho realizado pelo Hélio durante o processo é aproximadamente 841,46 kJ. O calor transferido durante o processo pode ser calculado usando a primeira lei da termodinâmica, mas requer informações adicionais sobre a variação de energia interna, que não foram fornecidas no enunciado.

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