Um tanque contém 1 m^3 de ar inicialmente a 100 kPa e 300 K . Um tubo por onde escoa ar a 1000 kPa e 300 K é conectado ao tanque e 0: escoa para seu interior lentamente até que se atinja a pressão interna de 1000 kPa . Determine a quantidade de calor que deve ser transferida para que a temperatura final do ar no tanque seja de 300 K .

Passo 1

Então, a gente tem um tanque que inicialmente contém 1 metro cúbico de ar a uma pressão de 100 kPa e temperatura de 300 K. Um tubo está conectado a esse tanque, por onde entra ar a uma pressão maior, de 1000 kPa, também a 300 K. O ar vai entrando lentamente até que a pressão interna do tanque chegue a 1000 kPa. Nosso objetivo aqui é descobrir quanta quantidade de calor precisa ser transferida para manter a temperatura final do ar no tanque em 300 K. Vamos usar conceitos de Termodinâmica, especificamente a Primeira Lei, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Primeira Lei da Termodinâmica, que basicamente diz que a energia interna de um sistema muda na quantidade de calor adicionada menos o trabalho feito pelo sistema. Como a temperatura é mantida constante, a variação da energia interna vai ser zero (pois, para um gás ideal, a energia interna depende só da temperatura). Então, a quantidade de calor adicionada vai ser igual ao trabalho feito para aumentar a pressão do ar no tanque.

Passo 3

Para calcular o trabalho, vamos considerar que o processo é isotérmico (temperatura constante). O trabalho W = nRT ln(PfPi) feito em um processo isotérmico para um gás ideal é dado pela fórmula:
onde:
  • é o número de mols de ar,
  • é a constante dos gases (8,314 J/mol·K),
  • é a temperatura,
  • é a pressão final,
  • é a pressão inicial.

Passo 4

Primeiro, precisamos calcular o número de mols de ar no tanque inicialmente. Usamos a equação dos gases ideais:
PV = nRT
Rearranjando para n = PVRT :
n = 100 times 10^3 times 18,314 times 300 approx 40,1 mol
Substituindo os valores:
  • Pa,
  • m³,
  • J/mol·K,
  • K,

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula do trabalho:
W = nRT ln(PfPi) = 40,1 times 8,314 times 300 times ln(1000100)
Calculando o logaritmo natural:
ln(10) approx 2,3026
Então:
W approx 40,1 times 8,314 times 300 times 2,3026 approx 2.298.000 J

Passo 6

Como a variação da energia interna é zero (temperatura constante), a quantidade de calor Q = W approx 2.298.000 J que precisa ser transferida para o sistema é igual ao trabalho realizado:

Resposta

A quantidade de calor que deve ser transferida para manter a temperatura final do ar no tanque em 300 K é de aproximadamente 2.298.000 joules.

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