Um tanque contém
de ar inicialmente a 100 kPa e 300 K . Um tubo por onde escoa ar a 1000 kPa e 300 K é conectado ao tanque e
escoa para seu interior lentamente até que se atinja a pressão interna de 1000 kPa . Determine a quantidade de calor que deve ser transferida para que a temperatura final do ar no tanque seja de 300 K .
Passo 1
Então, a gente tem um tanque que inicialmente contém 1 metro cúbico de ar a uma pressão de 100 kPa e temperatura de 300 K. Um tubo está conectado a esse tanque, por onde entra ar a uma pressão maior, de 1000 kPa, também a 300 K. O ar vai entrando lentamente até que a pressão interna do tanque chegue a 1000 kPa. Nosso objetivo aqui é descobrir quanta quantidade de calor precisa ser transferida para manter a temperatura final do ar no tanque em 300 K. Vamos usar conceitos de Termodinâmica, especificamente a Primeira Lei, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Primeira Lei da Termodinâmica, que basicamente diz que a energia interna de um sistema muda na quantidade de calor adicionada menos o trabalho feito pelo sistema. Como a temperatura é mantida constante, a variação da energia interna vai ser zero (pois, para um gás ideal, a energia interna depende só da temperatura). Então, a quantidade de calor adicionada vai ser igual ao trabalho feito para aumentar a pressão do ar no tanque.
Passo 3
Para calcular o trabalho, vamos considerar que o processo é isotérmico (temperatura constante). O trabalho
feito em um processo isotérmico para um gás ideal é dado pela fórmula:
onde:
-
é o número de mols de ar, -
é a constante dos gases (8,314 J/mol·K), -
é a temperatura, -
é a pressão final, -
é a pressão inicial.
Passo 4
Primeiro, precisamos calcular o número de mols de ar no tanque inicialmente. Usamos a equação dos gases ideais:
Rearranjando para
:
Substituindo os valores:
-
Pa, -
m³, -
J/mol·K, -
K,
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula do trabalho:
Calculando o logaritmo natural:
Então:
Passo 6
Como a variação da energia interna é zero (temperatura constante), a quantidade de calor
que precisa ser transferida para o sistema é igual ao trabalho realizado:
Resposta
A quantidade de calor que deve ser transferida para manter a temperatura final do ar no tanque em 300 K é de aproximadamente 2.298.000 joules.