Dizer quais são os processos que compõem o ciclo de refrigeração de Carnot e dar a expressão para o seu coeficiente de eficácia (COP).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Dizer quais são os processos que compõem o ciclo de refrigeração de Carnot.
  2. Dar a expressão para o seu coeficiente de eficácia (COP).
Informações relevantes que vamos usar (fornecidas implicitamente pelo enunciado): o ciclo de Carnot opera reversivelmente entre duas fontes térmicas a temperaturas constantes e diferentes, que vou chamar de \,T_L (reservatório frio) e \,T_H (reservatório quente). Vou chamar de \,Q_L o calor absorvido na temperatura \,T_L e de \,Q_H o calor rejeitado na temperatura \,T_H. O ciclo é reversível e cíclico, portanto conserva energia e tem variação total de entropia igual a zero.

Passo 2

Lista dos quatro processos que compõem o ciclo de refrigeração de Carnot (ordem típica ao operar como refrigerador — isto é, o ciclo reverso do motor de Carnot):
  1. Processo isoterma reversível à temperatura fria \,T_L: o fluido de trabalho absorve calor \,Q_L do ambiente frio (evaporador). “Isoterma” significa que a temperatura do fluido permanece constante durante esse processo; “reversível” implica que o processo pode ser invertido infinitesimalmente sem produção de entropia.
  2. Processo adiabático reversível (isentropico) que eleva a temperatura do fluido de \,T_L para \,T_H: este é um processo de compressão adiabática reversível (trabalho é fornecido ao fluido) e não há troca de calor com o ambiente. “Adiabático reversível” equivale a “isentropico” (entropia constante).
  3. Processo isoterma reversível à temperatura quente \,T_H: o fluido rejeita calor \,Q_H para o reservatório quente (condensador). A temperatura do fluido permanece \,T_H enquanto libera calor.
  4. Processo adiabático reversível (isentropico) que reduz a temperatura do fluido de \,T_H de volta para \,T_L: é uma expansão adiabática reversível que fecha o ciclo.
Comentário didático rápido sobre os termos:
  • “Isoterma reversível”: calor trocado a temperatura constante; a variação de entropia associada é \Delta S = Q/T.
  • “Adiabático reversível / isentrópico”: nenhuma troca de calor, logo a entropia do fluido não muda; serve para ligar as duas isotermas sem trocar entropia líquida com o ambiente.

Passo 3

Agora vamos usar a propriedade chave de ciclos reversíveis: a variação total de entropia do ciclo é zero. Durante as isotermas, a entropia trocada com os reservatórios é:
\frac{Q_L}{T_L} \quad\text{(entropia absorvida do reservatório frio)}ó
e
\frac{Q_H}{T_H} \quad\text{(entropia rejeitada para o reservatório quente).}ó
Como os dois processos adiabáticos são isentrópicos, eles não contribuem para variação de entropia. Como o ciclo é reversível e cíclico, a soma algébrica das trocas de entropia é zero, portanto:
\frac{Q_H}{T_H}-\frac{Q_L}{T_L}=0.
Dessa igualdade obtemos a relação importante
\frac{Q_H}{T_H}=\frac{Q_L}{T_L}.

Passo 4

Aplicamos a primeira lei da termodinâmica ao ciclo (conservação de energia): o trabalho fornecido ao ciclo W é a diferença entre o calor rejeitado e o calor absorvido:
W=Q_H-Q_L.
Definição do coeficiente de eficácia (COP) de um refrigerador: é a razão entre o calor extraído do reservatório frio e o trabalho fornecido:
\mathrm{COP}=\frac{Q_L}{W}.
Essa definição faz sentido fisicamente: quanto mais calor eu retiro do frio para cada unidade de trabalho que eu gasto, melhor o refrigerador.

Passo 5

Agora substituímos W e usamos a relação de entropia para eliminar Q_H. Começamos por substituir W:
\mathrm{COP}=\frac{Q_L}{Q_H-Q_L}.
Da relação de entropia \dfrac{Q_H}{T_H}=\dfrac{Q_L}{T_L} temos
Q_H = Q_L\,\frac{T_H}{T_L}.
Substituindo em \mathrm{COP}:
\mathrm{COP}=\frac{Q_L}{Q_L\left(\dfrac{T_H}{T_L}\right)-Q_L} =\frac{Q_L}{Q_L\left(\dfrac{T_H}{T_L}-1\right)}.
Cancelando Q_L (assumindo Q_L\neq 0):
\mathrm{COP}=\frac{1}{\dfrac{T_H}{T_L}-1}.
Colocando numa forma mais simples:
\mathrm{COP}=\frac{T_L}{T_H-T_L}.

Passo 6

Observações finais e interpretação (rápida):
  • Lembre que \,T_L e \,T_H devem ser usadas em temperatura absoluta (Kelvin).
  • A fórmula mostra que a COP aumenta quando a diferença \,T_H-T_L diminui: quanto menor o salto térmico que o refrigerador precisa fazer, menos trabalho é necessário para uma mesma refrigeração.
  • Para um bomba de calor (modo inverso em que o desejado é entregar calor ao reservatório quente), a COP correspondente é
\mathrm{COP}_{\text{hp}}=\frac{Q_H}{W}=\frac{T_H}{T_H-T_L}.

Resposta

Processos: isoterma reversível à temperatura fria \,T_L (absorve \,Q_L); adiabática reversível (isentrópica) que eleva a temperatura de \,T_L para \,T_H; isoterma reversível à temperatura quente \,T_H (rejeita \,Q_H); adiabática reversível (isentrópica) que reduz a temperatura de \,T_H para \,T_L.\n
\displaystyle \mathrm{COP}=\frac{T_L}{T_H-T_L}

Exercícios relacionados