- 4.6-9: Dois moles de um gás ideal monoatômico devem ser levados de um estado inicial (
) para um estado final (
), onde B é uma constante. Uma fonte de trabalho reversivel e um reservatório térmico de temperatura
estão disponiveis. Encontre o trabalho máximo que pode ser entregue à fonte de trabalho reversivel. Dados os valores de B,
e
, para quais valores de
o trabalho máximo entregue é positivo?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Encontrar o trabalho máximo que pode ser entregue à fonte de trabalho reversível quando
mols de um gás ideal monoatômico vão do estado inicial ao estado final , havendo disponível um reservatório térmico à temperatura . - Dado
, e , determinar para quais valores de esse trabalho máximo é positivo.
Informações relevantes dadas:
- Número de mols:
. - Gás ideal monoatômico (portanto
e ). - Estados inicial e final:
e . - Reservatório térmico à temperatura
e fonte de trabalho reversível disponível. - Queremos o trabalho máximo entregue à fonte (isto é, o maior trabalho reversível extraível).
Passo 2
Princípio que vamos usar para obter o trabalho máximo: energia e segunda lei para um processo global reversível entre o sistema e o reservatório.
Energia (primeira lei, com sinal convêncional:
trabalho feito pelo sistema):
Para um processo reversível que troca calor apenas com o reservatório a temperatura
, a transferência de calor reversível satisfaz
onde
é a variação de entropia do sistema (e a entropia total não aumenta porque assumimos processo reversível). Substituindo em energia:
Isolando
, obtemos o trabalho entregue pelo sistema:
Esse
é o máximo possível (porque assumimos processo global reversível). Outra forma útil é escrever
onde
é a energia de Helmholtz avaliada com a temperatura do reservatório
.
Passo 3
Agora precisamos de
e
para o gás ideal monoatômico entre os estados dados.
Fórmulas úteis para gás ideal monoatômico:
- Energia interna:
. Aqui é o número de mols, a constante dos gases e a temperatura absoluta. - Capacidade térmica molar a volume constante:
. - Variação de entropia entre dois estados para gás ideal:
Expliquei: a primeira parcela vem da variação de entropia ligada à mudança de temperatura (usando
), a segunda vem da mudança de volume (entropia volumétrica do gás ideal).
Passo 4
Relacionar temperaturas iniciais e finais com pressão e volume via equação dos gases ideais:
Para o estado final, usando
e
,
Portanto
Passo 5
Calcular
:
Usando
(da equação dos gases), simplifica-se:
Observação: a dependência em
e
cancelou — interessante que
fica em termos de
e
.
Passo 6
Calcular
usando a fórmula da entropia e
,
:
Agrupando termos:
Com
mols isso fica simples:
Passo 7
Agora calculamos o trabalho máximo usando
.
Substituindo
e
:
Com
isso simplifica para
Explicação prática: o primeiro termo é o ganho possível por troca de calor reversível com o reservatório (proporcional a
), o segundo termo é o aumento da energia interna (custo em trabalho quando a energia interna do gás aumenta).
Passo 8
Agora determinamos para quais
esse
é positivo.
Queremos
Reescrevendo para
:
Devemos tratar os casos conforme o sinal de
(e de
).
Caso A:
. Então
e
. Dividindo por
,
Portanto, para
o trabalho máximo é positivo se
for menor que essa cota positiva.
Caso B:
. Então
e
. Ao dividir por um número negativo a desigualdade troca de sentido:
Note que para
tanto
quanto
são negativos, de modo que a razão
é positiva (e tende a
quando
), portanto o lado direito é positivo. Assim existe um limite inferior positivo para
.
Caso C:
. Então
, não há mudança de estado e claramente
Lembre que sempre temos a condição física
.
Resposta
Para
Para
Para
(para todo
).