• 4.6-9: Dois moles de um gás ideal monoatômico devem ser levados de um estado inicial ( P_{i}, V_{i} ) para um estado final ( P_{f}=B^{2} P_{i}, V_{f}=V_{i} / B ), onde B é uma constante. Uma fonte de trabalho reversivel e um reservatório térmico de temperatura T_{c} estão disponiveis. Encontre o trabalho máximo que pode ser entregue à fonte de trabalho reversivel. Dados os valores de B, P_{i} e T_{c}, para quais valores de V_{i} o trabalho máximo entregue é positivo?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Encontrar o trabalho máximo que pode ser entregue à fonte de trabalho reversível quando 2 mols de um gás ideal monoatômico vão do estado inicial (P_{i},V_{i}) ao estado final (P_{f}=B^{2}P_{i},\,V_{f}=V_{i}/B), havendo disponível um reservatório térmico à temperatura T_{c}.
  2. Dado B, P_{i} e T_{c}, determinar para quais valores de V_{i} esse trabalho máximo é positivo.
Informações relevantes dadas:
  • Número de mols: n=2.
  • Gás ideal monoatômico (portanto c_{V}=\tfrac{3}{2}R e U=\tfrac{3}{2}nRT).
  • Estados inicial e final: P_{i},V_{i} e P_{f}=B^{2}P_{i},\,V_{f}=V_{i}/B.
  • Reservatório térmico à temperatura T_{c} e fonte de trabalho reversível disponível.
  • Queremos o trabalho máximo entregue à fonte (isto é, o maior trabalho reversível extraível).

Passo 2

Princípio que vamos usar para obter o trabalho máximo: energia e segunda lei para um processo global reversível entre o sistema e o reservatório.
Energia (primeira lei, com sinal convêncional: W trabalho feito pelo sistema):
\Delta U = Q - W.
Para um processo reversível que troca calor apenas com o reservatório a temperatura T_{c}, a transferência de calor reversível satisfaz
Q = T_{c}\,\Delta S,
onde \Delta S é a variação de entropia do sistema (e a entropia total não aumenta porque assumimos processo reversível). Substituindo em energia:
\Delta U = T_{c}\Delta S - W.
Isolando W, obtemos o trabalho entregue pelo sistema:
W = T_{c}\Delta S - \Delta U.
Esse W é o máximo possível (porque assumimos processo global reversível). Outra forma útil é escrever
W_{\text{max}} = -\Delta(F),
onde F=U-T_{c}S é a energia de Helmholtz avaliada com a temperatura do reservatório T_{c}.

Passo 3

Agora precisamos de \Delta U e \Delta S para o gás ideal monoatômico entre os estados dados.
Fórmulas úteis para gás ideal monoatômico:
  • Energia interna: \displaystyle U=\tfrac{3}{2}nRT. Aqui n é o número de mols, R a constante dos gases e T a temperatura absoluta.
  • Capacidade térmica molar a volume constante: \displaystyle c_{V}=\tfrac{3}{2}R.
  • Variação de entropia entre dois estados para gás ideal:
\Delta S = n c_{V}\ln\!\bigg(\frac{T_{f}}{T_{i}}\bigg) + nR\ln\!\bigg(\frac{V_{f}}{V_{i}}\bigg).
Expliquei: a primeira parcela vem da variação de entropia ligada à mudança de temperatura (usando c_{V}), a segunda vem da mudança de volume (entropia volumétrica do gás ideal).

Passo 4

Relacionar temperaturas iniciais e finais com pressão e volume via equação dos gases ideais:
P\,V = nR T \quad\Rightarrow\quad T = \frac{PV}{nR}.
Para o estado final, usando P_{f}=B^{2}P_{i} e V_{f}=V_{i}/B,
T_{f}=\frac{P_{f}V_{f}}{nR}=\frac{B^{2}P_{i}\cdot (V_{i}/B)}{nR}=\frac{B P_{i}V_{i}}{nR}=B\,T_{i}.
Portanto
\boxed{T_{f}=B\,T_{i}}.

Passo 5

Calcular \Delta U:
\Delta U = \tfrac{3}{2}nR(T_{f}-T_{i})=\tfrac{3}{2}nR(T_{i}(B-1))=\tfrac{3}{2}nR T_{i}(B-1).
Usando T_{i}=\dfrac{P_{i}V_{i}}{nR} (da equação dos gases), simplifica-se:
\Delta U = \tfrac{3}{2}nR\cdot\frac{P_{i}V_{i}}{nR}(B-1)=\tfrac{3}{2}P_{i}V_{i}(B-1).
Observação: a dependência em n e R cancelou — interessante que \Delta U fica em termos de P_{i}V_{i} e B.

Passo 6

Calcular \Delta S usando a fórmula da entropia e T_{f}=B T_{i}, V_{f}=V_{i}/B:
\Delta S = n c_{V}\ln\!\bigg(\frac{T_{f}}{T_{i}}\bigg) + nR\ln\!\bigg(\frac{V_{f}}{V_{i}}\bigg) = n\left(\tfrac{3}{2}R\right)\ln(B) + nR\ln\!\left(\frac{1}{B}\right).
Agrupando termos:
\Delta S = nR\left(\tfrac{3}{2}\ln B - \ln B\right) = nR\left(\tfrac{1}{2}\ln B\right)=\tfrac{nR}{2}\ln B.
Com n=2 mols isso fica simples:
\boxed{\Delta S = R\ln B.}

Passo 7

Agora calculamos o trabalho máximo usando W_{\text{max}}=T_{c}\Delta S-\Delta U.
Substituindo \Delta S e \Delta U:
W_{\text{max}} = T_{c}\cdot\left(\tfrac{nR}{2}\ln B\right) - \tfrac{3}{2}P_{i}V_{i}(B-1).
Com n=2 isso simplifica para
\boxed{W_{\text{max}} = R T_{c}\ln B \;-\; \tfrac{3}{2}P_{i}V_{i}(B-1).}
Explicação prática: o primeiro termo é o ganho possível por troca de calor reversível com o reservatório (proporcional a T_{c}\ln B), o segundo termo é o aumento da energia interna (custo em trabalho quando a energia interna do gás aumenta).

Passo 8

Agora determinamos para quais V_{i} esse W_{\text{max}} é positivo.
Queremos
W_{\text{max}}>0\quad\Longrightarrow\quad R T_{c}\ln B \;>\; \tfrac{3}{2}P_{i}V_{i}(B-1).
Reescrevendo para V_{i}:
\tfrac{3}{2}P_{i}V_{i}(B-1) < R T_{c}\ln B.
Devemos tratar os casos conforme o sinal de B-1 (e de \ln B).
Caso A: B>1. Então B-1>0 e \ln B>0. Dividindo por \tfrac{3}{2}P_{i}(B-1)>0,
V_{i} < \frac{2R T_{c}\ln B}{3P_{i}(B-1)}.
Portanto, para B>1 o trabalho máximo é positivo se V_{i} for menor que essa cota positiva.
Caso B: 0<B<1. Então B-1<0 e \ln B<0. Ao dividir por um número negativo a desigualdade troca de sentido:
V_{i} > \frac{2R T_{c}\ln B}{3P_{i}(B-1)}.
Note que para 0<B<1 tanto \ln B quanto (B-1) são negativos, de modo que a razão \dfrac{\ln B}{B-1} é positiva (e tende a 1 quando B\to 1), portanto o lado direito é positivo. Assim existe um limite inferior positivo para V_{i}.
Caso C: B=1. Então P_{f}=P_{i},V_{f}=V_{i}, não há mudança de estado e claramente
W_{\text{max}}=0\quad\text{(para todo \(V_{i}\)).}
Lembre que sempre temos a condição física V_{i}>0.

Resposta

W_{\text{max}} = R T_{c}\ln B \;-\; \tfrac{3}{2}P_{i}V_{i}(B-1).
Para B>1:\; V_{i} < \dfrac{2R T_{c}\ln B}{3P_{i}(B-1)}.
Para 0<B<1:\; V_{i} > \dfrac{2R T_{c}\ln B}{3P_{i}(B-1)}.
Para B=1:\; W_{\text{max}}=0 (para todo V_{i}).

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