Encontra-ae em uma refinaria uma unidade de destilaçāo constituída por um refervedor parcial, uma coluna com pratos e um condensador total. A eficiência global da coluna é de 80 \%, independente do refluxo adotado. A alimentação É uma mistura equimolar dos componentes A e B. Essa mistura está parcialmente vaporizada ( 25 \% em mol é vapor). A coluna deve produzar um destilado contendo 93 \% de A e fundo com 95 \% de B . Dados de pressão de saturação de A e B foram medidos nas condições de topo e fundo (conforme a Tabela 1). Considerando pressāo de operação de 1 bar, utilize o método de McCabe-Thiele e calcule:
a) Razăo de refluxo mínima ( 2,0 pontos).
b) Número mínimo de pratos (2,0 pontos).
c) Usando uma razão de refluxo 50 \% acima da mínima, estime o número de pratos necessários ( 2.0 pontos).
Obs. Mostre todas as etapas dos cálculos e considerações utilizadas.
Table 1: Tabela 1 - Pressão de saturação (bar) dos componentes nas condições de topo e fundo
\captionsetup{labelformat=empty}
Component
e
\mathrm{P}_{\text {str }} (topo) \mathrm{P}_{\text {sr }} (fundo)
A 19.1 27.4
B 7.1 11.8

Passo 1

Vou primeiro resumir exatamente o que o enunciado dá e o que pede (peguei os dados da Tabela 1 quando necessário). Perguntas: (a) razão de refluxo mínima; (b) número mínimo de pratos; (c) número de pratos com refluxo 50% acima da mínima. Dados relevantes do enunciado:
  • Alimentação é equimolar em A e B, logo fração molar de A na alimentação z_F = 0{,}5.
  • A alimentação está parcialmente vaporizada: 25\% em mol é vapor. Para McCabe–Thiele usamos q = fração de alimentação que entra como líquido, portanto q = 1 - 0{,}25 = 0{,}75.
  • Destilado deve ter 93\% de A, logo fração molar de A no destilado x_D = 0{,}93.
  • Fundo deve ter 95\% de B). Assim a fração molar de A no fundo é x_B = 1 - 0{,}95 = 0{,}05.
  • Pressão de operação P = 1\\ \text{bar} (informação dada).
  • Peguei da Tabela 1 as pressões de saturação (dados medidos) nas condições de topo e de fundo:
    • Para A: \;P_{A}^{\text{sat,top}} = 19{,}1\\ \text{bar},\quad P_{A}^{\text{sat,bot}} = 27{,}4\\ \text{bar}.
    • Para B: \;P_{B}^{\text{sat,top}} = 7{,}1\\ \text{bar},\quad P_{B}^{\text{sat,bot}} = 11{,}8\\ \text{bar}.
  • Observação metodológica (decisão de método, sem resolver ainda): para usar McCabe–Thiele precisamos da curva de equilíbrio y vs x. Com dados de pressões de saturação podemos estimar volatilidade relativa \alpha. Como as pressões de saturação variam entre topo e fundo, vou aproximar por uma volatilidade relativa constante usando a média geométrica entre topo e fundo (é um procedimento comum e razoável quando as variações não são extremas). Adoto também comportamento ideal (Lei de Raoult) e coluna com condensador total (já dito pelo enunciado).

Passo 2

Calcular a volatilidade relativa aproximada a partir dos dados da tabela e justificar:
  • Em equilíbrio ideal (Lei de Raoult) para binário a volatilidade relativa local é \alpha = \dfrac{P_A^{\text{sat}}}{P_B^{\text{sat}}} (já que y_i = \dfrac{P_i^{\text{sat}} x_i}{P_{\text{tot}}} e P_{\text{tot}} é comum).
  • Calculo em topo: \alpha_{\text{top}} = \dfrac{P_{A}^{\text{sat,top}}}{P_{B}^{\text{sat,top}}} = \dfrac{19{,}1}{7{,}1} \approx 2{,}69014.
  • Calculo em fundo: \alpha_{\text{bot}} = \dfrac{P_{A}^{\text{sat,bot}}}{P_{B}^{\text{sat,bot}}} = \dfrac{27{,}4}{11{,}8} \approx 2{,}32203.
  • Como a volatilidade varia com a temperatura, uma boa aproximação média é a média geométrica: \alpha \approx \sqrt{\alpha_{\text{top}}\cdot\alpha_{\text{bot}}} = \sqrt{2{,}69014\cdot 2{,}32203} \approx 2{,}5.
Justificativa curta: a média geométrica é adequada porque \ln\alpha tende a variar aproximadamente linearmente com temperatura; é uma escolha comum em problemas de prova quando \alpha varia pouco.

Passo 3

Escrever a expressão da curva de equilíbrio para volatilidade relativa constante e a equação da q‑line (linhas que usaremos).
  • Para volatilidade relativa constante \alpha a curva de equilíbrio (vapor em função do líquido) é y = \dfrac{\alpha\, x}{1 + (\alpha-1)\,x}.Aqui x é fração molar de A na fase líquida e y é fração molar de A na fase vapor (no topo do prato).
  • A q‑line (reta que representa o estado da alimentação) tem equação y = \dfrac{q}{q-1}\, x \;-\; \dfrac{z_F}{q-1}.Com q = 0{,}75 e z_F = 0{,}5 obtemos: \dfrac{q}{q-1} = \dfrac{0{,}75}{-0{,}25} = -3,\qquad -\dfrac{z_F}{q-1} = -\dfrac{0{,}5}{-0{,}25} = 2,logo a q‑line é y = -3x + 2.

Passo 4

Encontrar o ponto de interseção entre a q‑line e a curva de equilíbrio (esse ponto é o “pinch” que determina o refluxo mínimo). Resolver
\dfrac{\alpha x}{1 + (\alpha-1)x} = -3x + 2
com \alpha = 2{,}5. Desenvolvendo:
\dfrac{2{,}5\,x}{1 + 1{,}5x} = -3x + 2.
Multiplicando ambos os lados por 1 + 1{,}5x:
2{,}5x = (-3x + 2)(1 + 1{,}5x) = (-3x+2) + (-3x+2)(1{,}5x).
Expandindo o lado direito:
2{,}5x = -3x + 2 - 4{,}5x^2 + 3x,
observe -3x + 3x cancelam, sobrando
2{,}5x = 2 - 4{,}5x^2.
Reorganizando:
4{,}5x^2 + 2{,}5x - 2 = 0.
Resolver a quadrática: coeficientes a=4{,}5,\; b=2{,}5,\; c=-2. O discriminante é
\Delta = b^2 - 4ac = 2{,}5^2 - 4\cdot4{,}5\cdot(-2) = 6{,}25 + 36 = 42{,}25,
\sqrt{\Delta} = 6{,}5. As raízes:
x = \dfrac{-2{,}5 \pm 6{,}5}{2\cdot 4{,}5} \Rightarrow x = \dfrac{4}{9} \quad\text{ou}\quad x = -1\\ (\text{desprezar}).
Portanto o ponto de interseção fisicamente aceitável é
x_{\text{int}} = \dfrac{4}{9} \approx 0{,}444444,\qquad y_{\text{int}} = -3x_{\text{int}} + 2 = 0{,}666666\ldots = \dfrac{2}{3}.

Passo 5

Calcular a razão de refluxo mínima R_{\min}. A linha de operação da seção enriquecedora passa por (x_D,x_D) (condensador total) e pelo ponto de “pinch” (x_{\text{int}},y_{\text{int}}) quando o reflux é mínimo. A inclinação dessa reta é
m = \dfrac{y_{\text{int}} - x_D}{x_{\text{int}} - x_D}.
Substituindo números:
m = \dfrac{\tfrac{2}{3} - 0{,}93}{\tfrac{4}{9} - 0{,}93} = \dfrac{0{,}6666667 - 0{,}93}{0{,}4444444 - 0{,}93} \approx \dfrac{-0{,}2633333}{-0{,}4855556} \approx 0{,}542553.
A inclinação da reta de operação da seção enriquecedora é m = \dfrac{R}{R+1}. Assim
\dfrac{R_{\min}}{R_{\min}+1} = m \quad\Rightarrow\quad R_{\min} = \dfrac{m}{1-m}.
Portanto
R_{\min} \approx \dfrac{0{,}542553}{1 - 0{,}542553} = \dfrac{0{,}542553}{0{,}457447} \approx 1{,}18637.
Conclusão (a): a razão de refluxo mínima é aproximadamente
R_{\min} \approx 1{,}186.

Passo 6

Calcular o número mínimo de pratos (minimum number of theoretical stages) usando a equação de Fenske (válida para total reflux / condição que dá menor número de pratos):
  • A fórmula de Fenske para binário com volatilidade relativa constante é N_{\min} = \dfrac{\ln\!\left(\dfrac{x_D/(1-x_D)}{x_B/(1-x_B)}\right)}{\ln(\alpha)}.Outra forma equivalente: N_{\min} = \dfrac{\ln\!\left(\dfrac{x_D}{1-x_D}\cdot\dfrac{1-x_B}{x_B}\right)}{\ln(\alpha)}.
  • Substituindo x_D = 0{,}93,\; x_B = 0{,}05,\; \alpha = 2{,}5: \dfrac{x_D}{1-x_D} = \dfrac{0{,}93}{0{,}07} \approx 13{,}285714,\qquad \dfrac{1-x_B}{x_B} = \dfrac{0{,}95}{0{,}05} = 19.Produto = 13{,}285714\cdot 19 = 252{,}428571. N_{\min} = \dfrac{\ln(252{,}428571)}{\ln(2{,}5)} \approx \dfrac{5{,}533389}{0{,}916291} \approx 6{,}0417.
Interpretação e arredondamento: N_{\min}\approx 6{,}04 é o número mínimo de estágios teóricos (total reflux). Como o número de pratos deve ser inteiro e precisamos garantir a separação, devemos usar pelo menos 7 pratos teóricos. (Observação: muitas vezes conta‑se o “reboiler” como um estágio; a fórmula de Fenske retorna número de estágios termodinâmicos — para projeto prático arredonda‑se para cima.)

Passo 7

Estimar o número de pratos necessários quando a razão de refluxo é 50\% acima da mínima, ou seja
R = 1{,}5\,R_{\min} = 1{,}5\cdot 1{,}18637 \approx 1{,}77956.
Para estimar N para um R finito usamos a correlação empírica de Gilliland que relaciona
X = \dfrac{R - R_{\min}}{R + 1},\qquad Y = \dfrac{N - N_{\min}}{N + 1}.
Uma aproximação prática usada em prova é a forma empírica
Y \approx 1 - \exp\!\big(-1{,}33\sqrt{X}\,\big),
que fornece uma boa estimativa da curva de Gilliland. Procedimento:
  • Calcular X: X = \dfrac{1{,}77956 - 1{,}18637}{1{,}77956 + 1} = \dfrac{0{,}59319}{2{,}77956} \approx 0{,}213447.
  • Calcular \sqrt{X} \approx 0{,}462029. Então Y \approx 1 - \exp\!\big(-1{,}33\cdot 0{,}462029\big) = 1 - \exp(-0{,}6145) \approx 1 - 0{,}5406 = 0{,}4594.
  • Agora resolver Y = \dfrac{N - N_{\min}}{N + 1} para N: N(1 - Y) = N_{\min} + Y \quad\Rightarrow\quad N = \dfrac{N_{\min} + Y}{1 - Y}.Substituindo N_{\min} = 6{,}0417 e Y = 0{,}4594: N \approx \dfrac{6{,}0417 + 0{,}4594}{1 - 0{,}4594} = \dfrac{6{,}5011}{0{,}5406} \approx 12{,}028.
Arredondamento prático: N \approx 12{,}03 estágios teóricos; portanto, para garantir a separação, usa‑se pelo menos 13 pratos teóricos.

Resposta

(a) R_{\min} \approx 1{,}186.
(b) N_{\min} \approx 6{,}04 estágios teóricos \Rightarrow mínimo inteiro prático: 7 pratos.
(c) Com R = 1{,}5\,R_{\min} obtém‑se N \approx 12{,}03 estágios teóricos \Rightarrow necessário 13 pratos.

Exercícios relacionados