Uma esfera metálica de 15,2 \mathrm{~cm} de diâmetro interno é pesada numa balança de braço de precisão quando evacuada e, novamente, quando cheia com um gás desconhecido a 7,3 \mathrm{~kg} / \mathrm{cm}^{2}. A diferença em peso é de 2,25 \mathrm{gm}. A temperatura ambiente é de 27{ }^{\circ} \mathrm{C}. Qual é o gás, assumindo-se que seja uma substância pura?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: diâmetro interno da esfera =15{,}2\\ \mathrm{cm}.
  • Dado: diferença de peso entre esfera evacuada e cheia =2{,}25\\ \mathrm{g} (aparelho indica aumento de peso quando cheia).
  • Dado: pressão do gás dentro da esfera =7{,}3\\ \mathrm{kg}/\mathrm{cm}^2 (o enunciado fornece esse valor).
  • Dado: temperatura ambiente =27^\circ\mathrm{C}.
  • Pedido: identificar o gás, assumindo que seja substância pura.
Observação importante (assunção que vou usar): o valor de pressão dado é, tipicamente em problemas deste tipo, pressão manométrica (gauge). Portanto vou converter para pressão absoluta somando a pressão atmosférica padrão. Se a interpretação do enunciado fosse diferente (pressão já absoluta), a conclusão numérica muda pouco e será comentada.

Passo 2

Entender por que a diferença de peso dá a massa do gás dentro.
Quando se pesa a esfera em ar, o equilíbrio do peso aparente inclui a força de empuxo do ar exterior. Mas essa força de empuxo depende apenas do volume externo da esfera e não do conteúdo interno. Assim, a leitura de peso com a esfera evacuada e a leitura com a esfera cheia diferem apenas pela massa do gás que foi introduzido. Portanto a diferença de peso (em massa) é igual à massa do gás contido.
Logo, a massa do gás é
m = 2{,}25\\ \mathrm{g} = 0{,}00225\\ \mathrm{kg}.

Passo 3

Calcular o volume interno da esfera (passo-a-passo para poder usar a equação de gás ideal).
  • Diâmetro =15{,}2\\ \mathrm{cm}\Rightarrow raio interno
r=\frac{15{,}2}{2}\\ \mathrm{cm}=7{,}6\\ \mathrm{cm}=0{,}076\\ \mathrm{m}.
  • Volume da esfera:
V=\frac{4}{3}\pi r^3.
  • Calcular r^3:
r^3=(0{,}076)^3=0{,}000438976\\ \mathrm{m}^3.
  • Então
V=\frac{4}{3}\pi(0{,}000438976)\approx 4{,}188790\cdot 0{,}000438976\approx 0{,}00183874\\ \mathrm{m}^3.
Portanto
V\approx 1{,}83874\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}^3.

Passo 4

Converter a pressão para unidades SI e obter a pressão absoluta.
  • Unidade dada: 7{,}3\\ \mathrm{kg}/\mathrm{cm}^2. Aqui interpreta-se \mathrm{kg}/\mathrm{cm}^2 como \mathrm{kgf}/\mathrm{cm}^2 (quilograma-força por cm ^2). A conversão para pascal é
1\\ \mathrm{kgf}/\mathrm{cm}^2 = 98\,066{,}5\\ \mathrm{Pa}.
  • Pressão manométrica em pascal:
P_{\text{man}}=7{,}3\times 98\,066{,}5\\ \mathrm{Pa}=715\,885{,}45\\ \mathrm{Pa}.
  • Pressão atmosférica (assumida padrão):
P_{\text{atm}}=101\,325\\ \mathrm{Pa}.
  • Pressão absoluta (somando atmosfera):
P = P_{\text{man}}+P_{\text{atm}} = 715\,885{,}45 + 101\,325 = 817\,210{,}45\\ \mathrm{Pa}.
(Se, contrariamente, o enunciado tivesse dado já a pressão absoluta, usar P=715\,885{,}45\\ \mathrm{Pa}. Farei o cálculo com a hipótese mais comum: o valor dado é manométrico e portanto usei P\approx 8{,}17210\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.)

Passo 5

Converter a temperatura para kelvin e fixar a constante dos gases.
  • Temperatura 27^\circ\mathrm{C}\Rightarrow T=27+273{,}15=300{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Constante dos gases (universal):
R=8{,}314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.

Passo 6

Relacionar massa, volume, pressão e temperatura para obter a massa molar do gás.
Usamos a lei dos gases ideais:
PV=nRT,
onde n é o número de mols. Como n=\dfrac{m}{M} (com m massa em kg e M massa molar em kg·mol^{-1}), substituindo:
PV=\frac{m}{M}RT \quad\Rightarrow\quad M=\frac{mRT}{PV}.
Agora vamos calcular numericamente cada termo.

Passo 7

Calcular numericamente a massa molar M.
  • Numerador:
mRT = 0{,}00225\cdot 8{,}314\cdot 300{,}15.
Calcule passo a passo:
8{,}314\cdot 300{,}15 \approx 2\,495{,}45,
mRT \approx 0{,}00225\cdot 2\,495{,}45 \approx 5{,}61476.
  • Denominador:
PV = 817\,210{,}45\cdot 0{,}00183874 \approx 1\,502{,}65.
  • Então
M=\frac{5{,}61476}{1\,502{,}65}\\ \mathrm{kg\cdot mol^{-1}}\approx 0{,}003737\\ \mathrm{kg\cdot mol^{-1}}.
Converter para \mathrm{g\cdot mol^{-1}}:
M\approx 3{,}737\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}.

Passo 8

Interpretar o resultado e identificar o gás.
O valor calculado para a massa molar é aproximadamente 3{,}74\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}. Isso está muito próximo da massa molar do hélio, que é 4{,}00\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}. (Se tivesse assumido que o valor dado 7{,}3\\ \mathrm{kg}/\mathrm{cm}^2 já fosse absoluto, o cálculo daria M\approx 4{,}27\\ \mathrm{g\cdot mol^{-1}}, que também aponta para hélio dentro das incertezas e aproximações do problema.)
Portanto o gás é o hélio.

Resposta

Hélio.

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