Uma esfera metálica de
de diâmetro interno é pesada numa balança de braço de precisão quando evacuada e, novamente, quando cheia com um gás desconhecido a
. A diferença em peso é de
. A temperatura ambiente é de
. Qual é o gás, assumindo-se que seja uma substância pura?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado: diâmetro interno da esfera
. - Dado: diferença de peso entre esfera evacuada e cheia
(aparelho indica aumento de peso quando cheia). - Dado: pressão do gás dentro da esfera
(o enunciado fornece esse valor). - Dado: temperatura ambiente
. - Pedido: identificar o gás, assumindo que seja substância pura.
Observação importante (assunção que vou usar): o valor de pressão dado é, tipicamente em problemas deste tipo, pressão manométrica (gauge). Portanto vou converter para pressão absoluta somando a pressão atmosférica padrão. Se a interpretação do enunciado fosse diferente (pressão já absoluta), a conclusão numérica muda pouco e será comentada.
Passo 2
Entender por que a diferença de peso dá a massa do gás dentro.
Quando se pesa a esfera em ar, o equilíbrio do peso aparente inclui a força de empuxo do ar exterior. Mas essa força de empuxo depende apenas do volume externo da esfera e não do conteúdo interno. Assim, a leitura de peso com a esfera evacuada e a leitura com a esfera cheia diferem apenas pela massa do gás que foi introduzido. Portanto a diferença de peso (em massa) é igual à massa do gás contido.
Logo, a massa do gás é
Passo 3
Calcular o volume interno da esfera (passo-a-passo para poder usar a equação de gás ideal).
- Diâmetro
raio interno
- Volume da esfera:
- Calcular
:
- Então
Portanto
Passo 4
Converter a pressão para unidades SI e obter a pressão absoluta.
- Unidade dada:
. Aqui interpreta-se como (quilograma-força por cm ). A conversão para pascal é
- Pressão manométrica em pascal:
- Pressão atmosférica (assumida padrão):
- Pressão absoluta (somando atmosfera):
(Se, contrariamente, o enunciado tivesse dado já a pressão absoluta, usar
. Farei o cálculo com a hipótese mais comum: o valor dado é manométrico e portanto usei
.)
Passo 5
Converter a temperatura para kelvin e fixar a constante dos gases.
- Temperatura
. - Constante dos gases (universal):
Passo 6
Relacionar massa, volume, pressão e temperatura para obter a massa molar do gás.
Usamos a lei dos gases ideais:
onde
é o número de mols. Como
(com
massa em kg e
massa molar em kg·mol^{-1}), substituindo:
Agora vamos calcular numericamente cada termo.
Passo 7
Calcular numericamente a massa molar
.
- Numerador:
Calcule passo a passo:
- Denominador:
- Então
Converter para
:
Passo 8
Interpretar o resultado e identificar o gás.
O valor calculado para a massa molar é aproximadamente
. Isso está muito próximo da massa molar do hélio, que é
. (Se tivesse assumido que o valor dado
já fosse absoluto, o cálculo daria
, que também aponta para hélio dentro das incertezas e aproximações do problema.)
Portanto o gás é o hélio.
Resposta
Hélio.