Quando um trem está se deslocando a 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s} num trecho retilíneo da estrada, ele começa a acelerar segundo a expressão a=\left(60 v^{-4}\right) \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}, onde v é dado \mathrm{em} \mathrm{m} / \mathrm{s}. Determine sua velocidade e posição 3 s após o início da aceleração.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listá-las claramente):
Velocidade inicial: v(0)=2\\ \mathrm{m/s}.
A aceleração em função da velocidade é a=60\,v^{-4}\\ \mathrm{m/s^{2}}, onde v está em \mathrm{m/s}.
Queremos a velocidade e a posição após 3\\ \mathrm{s} do início da aceleração, ou seja em t=3\\ \mathrm{s}.
O enunciado não fornece a posição inicial x(0). Para obter um valor numérico para a posição, assumiremos x(0)=0 (assunção usual quando a posição inicial não é dada).
O que é pedido:
Calcular v(3).
Calcular x(3) (com a assunção x(0)=0).
Passo 2
Transformar a relação aceleração-velocidade em equação diferencial temporal. Lembrando que aceleração é derivada da velocidade em relação ao tempo, temos
a=\frac{dv}{dt}.
Portanto a equação dada torna-se
\frac{dv}{dt}=60\,v^{-4}.
Isto é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem que pode ser resolvida por separação de variáveis: agrupam-se termos com v num lado e termos com t no outro.
Passo 3
Separando variáveis e integrando:
v^{4}\,dv=60\,dt.
Integramos ambos os lados desde t=0 (onde v=v(0)=2) até tempo genérico t (onde v=v(t)):
\int_{2}^{v} u^{4}\,du=\int_{0}^{t} 60\,ds.
Usando a primitiva \int u^{4}\,du=\dfrac{u^{5}}{5}, obtemos
\left.\frac{u^{5}}{5}\right|_{2}^{v}=60t.
Isto dá
\frac{v^{5}-2^{5}}{5}=60t.
Multiplicando por 5,
v^{5}-2^{5}=300t.
Logo a solução explícita para v(t) é
v(t)=\bigl(2^{5}+300t\bigr)^{1/5}.
Passo 4
Aplicar t=3\\ \mathrm{s} para obter v(3). Primeiro calcule 2^{5}=32 e 300\cdot3=900. Assim
v(3)=\bigl(32+900\bigr)^{1/5}=932^{1/5}.
Para um valor numérico aproximado, calcula-se a raiz quinta de 932:
v(3)\approx 3,925\\ \mathrm{m/s}.
(Comentário prático: 3^{5}=243, 4^{5}=1024, portanto a raiz quinta está entre 3 e 4; avaliando com mais precisão chega-se a \approx 3,925.)
Passo 5
Agora precisamos da posição x(t). Sabendo que \dfrac{dx}{dt}=v(t), integramos v(t) para obter x(t). A expressão encontrada para v(t) é v(t)=\bigl(2^{5}+300t\bigr)^{1/5}. Então
Resumo final: a velocidade e a posição em t=3\\ \mathrm{s} são dadas exatamente pelas fórmulas encontradas e numericamente por aproximação como calculado acima. Boa notícia: o método foi só separar variáveis, integrar e usar uma substituição simples — técnica direta de aplicar em prova quando a aceleração aparece como função da velocidade. Força aí, você já preparou o passo a passo que dá pra reproduzir na hora!