Quando um trem está se deslocando a 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s} num trecho retilíneo da estrada, ele começa a acelerar segundo a expressão a=\left(60 v^{-4}\right) \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}, onde v é dado \mathrm{em} \mathrm{m} / \mathrm{s}. Determine sua velocidade e posição 3 s após o início da aceleração.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listá-las claramente):
  • Velocidade inicial: v(0)=2\\ \mathrm{m/s}.
  • A aceleração em função da velocidade é a=60\,v^{-4}\\ \mathrm{m/s^{2}}, onde v está em \mathrm{m/s}.
  • Queremos a velocidade e a posição após 3\\ \mathrm{s} do início da aceleração, ou seja em t=3\\ \mathrm{s}.
  • O enunciado não fornece a posição inicial x(0). Para obter um valor numérico para a posição, assumiremos x(0)=0 (assunção usual quando a posição inicial não é dada).
O que é pedido:
  • Calcular v(3).
  • Calcular x(3) (com a assunção x(0)=0).

Passo 2

Transformar a relação aceleração-velocidade em equação diferencial temporal. Lembrando que aceleração é derivada da velocidade em relação ao tempo, temos
a=\frac{dv}{dt}.
Portanto a equação dada torna-se
\frac{dv}{dt}=60\,v^{-4}.
Isto é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem que pode ser resolvida por separação de variáveis: agrupam-se termos com v num lado e termos com t no outro.

Passo 3

Separando variáveis e integrando:
v^{4}\,dv=60\,dt.
Integramos ambos os lados desde t=0 (onde v=v(0)=2) até tempo genérico t (onde v=v(t)):
\int_{2}^{v} u^{4}\,du=\int_{0}^{t} 60\,ds.
Usando a primitiva \int u^{4}\,du=\dfrac{u^{5}}{5}, obtemos
\left.\frac{u^{5}}{5}\right|_{2}^{v}=60t.
Isto dá
\frac{v^{5}-2^{5}}{5}=60t.
Multiplicando por 5,
v^{5}-2^{5}=300t.
Logo a solução explícita para v(t) é
v(t)=\bigl(2^{5}+300t\bigr)^{1/5}.

Passo 4

Aplicar t=3\\ \mathrm{s} para obter v(3). Primeiro calcule 2^{5}=32 e 300\cdot3=900. Assim
v(3)=\bigl(32+900\bigr)^{1/5}=932^{1/5}.
Para um valor numérico aproximado, calcula-se a raiz quinta de 932:
v(3)\approx 3,925\\ \mathrm{m/s}.
(Comentário prático: 3^{5}=243, 4^{5}=1024, portanto a raiz quinta está entre 3 e 4; avaliando com mais precisão chega-se a \approx 3,925.)

Passo 5

Agora precisamos da posição x(t). Sabendo que \dfrac{dx}{dt}=v(t), integramos v(t) para obter x(t). A expressão encontrada para v(t) é v(t)=\bigl(2^{5}+300t\bigr)^{1/5}. Então
x(t)-x(0)=\int_{0}^{t} \bigl(2^{5}+300s\bigr)^{1/5}\,ds.
Fazer a substituição u=2^{5}+300s implica du=300\,ds e ds=\dfrac{du}{300}. Os limites: quando s=0, u=2^{5}=32; quando s=t, u=32+300t. Assim
x(t)-x(0)=\int_{32}^{32+300t} u^{1/5}\frac{du}{300}=\frac{1}{300}\left.\frac{u^{6/5}}{6/5}\right|_{32}^{32+300t}.
Simplificando o fator constante \dfrac{1}{300}\cdot\dfrac{5}{6}=\dfrac{1}{360}, obtemos
x(t)-x(0)=\frac{1}{360}\Bigl[(32+300t)^{6/5}-32^{6/5}\Bigr].
Observando que 32^{6/5}=(2^{5})^{6/5}=2^{6}=64, e usando x(0)=0 pela assunção, temos
x(t)=\frac{1}{360}\Bigl[(32+300t)^{6/5}-64\Bigr].

Passo 6

Avaliar x(3). Para t=3 temos 32+300\cdot3=932. Então
x(3)=\frac{1}{360}\bigl(932^{6/5}-64\bigr).
Usando que 932^{6/5}=932\cdot932^{1/5}=932\cdot v(3) e o valor numérico de v(3)\approx3,925, obtemos
932^{6/5}\approx 932\cdot 3,925\approx 3658,26.
Portanto
x(3)\approx \frac{1}{360}\bigl(3658,26-64\bigr)=\frac{3594,26}{360}\approx 9,984\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Resumo final: a velocidade e a posição em t=3\\ \mathrm{s} são dadas exatamente pelas fórmulas encontradas e numericamente por aproximação como calculado acima. Boa notícia: o método foi só separar variáveis, integrar e usar uma substituição simples — técnica direta de aplicar em prova quando a aceleração aparece como função da velocidade. Força aí, você já preparou o passo a passo que dá pra reproduzir na hora!

Resposta

v(3)=932^{1/5}\approx 3,925\\ \mathrm{m/s}
x(3)=\dfrac{1}{360}\bigl(932^{6/5}-64\bigr)\approx 9,984\\ \mathrm{m}

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