Exerc. 3) Um dado rotor de bomba centrífuga opera à rotação de
. Os rendimentos hidráulico, volumétrico e mecânico são de
e
, respectivamente. Além disso, o mesmo possui as seguintes características:
na entrada do rotor:
- Entrada completamente axial antes do rotor;
- Diâmetro do rotor:
;
- Altura das pás:
;
- Ângulo construtivo:
.
- Espessura das pás:
;
Dado que o rotor possui
pás, determine:
- A altura ideal e sua respectiva potência, considerando que a bomba trabalha com água;
- A altura e a potência teóricas e corrigidas;
na entrada do rotor:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
Dados do enunciado:
- Rotação:
. - Rendimento hidráulico:
. - Rendimento volumétrico:
. - Rendimento mecânico:
. - Diâmetro do rotor:
. - Altura das pás (largura do canal):
. - Ângulo construtivo (assumido como ângulo da pá na saída do rotor):
. - Espessura das pás:
. - Número de pás:
. - Fluido: água (assumo
e ).
O enunciado pede:
- A altura ideal (ou seja, a altura manométrica ideal dada pela equação de Euler para bomba) e sua respectiva potência, considerando água.
- A altura e a potência teóricas e corrigidas.
Observação importante (assunções que vou usar porque o enunciado não informa um débito (vazão) de projeto):
- Não foi informada uma vazão de projeto. Vou derivar a equação característica
do rotor e apresentar um ponto de operação de referência para obter números concretos. Escolhi como ponto de referência , ou seja metade da vazão máxima onde a altura seria zero (justificativa: sem vazão informada, é comum apresentar a curva e um ponto representativo; meio da faixa é uma escolha razoável para exercícios didáticos). Vou explicitar todas as fórmulas para que você possa repetir com outra vazão se for necessário. - Para corrigir o efeito do número finito de pás (slip), vou usar um fator de escape (slip factor) empírico
. Como não foi especificada nenhuma expressão a usar, adoto a estimativa típica para e pequeno (é um valor aceitável em problemas didáticos). Vou deixar explícito onde aparece para você trocar se tiver outra fórmula.
Passo 2
Cálculo da velocidade periférica na borda do rotor (
) e da seção de escoamento na saída (levando em conta a espessura das pás).
- Velocidade periférica:
Substituindo:
- Seção útil de escoamento na periferia (circunferência total menos a parcela ocupada pelas lâminas, vezes a largura
):
Substituindo:
Explicação didática curta: a área por onde a água passa na periferia é (perímetro aberto) × largura. As pás ocupam comprimento total
na circunferência, assim subtraímos isso da circunferência
.
Passo 3
Montando o triângulo de velocidades na saída do rotor e deduzindo a expressão de Euler para a cabeça
em função da vazão
.
- Para entrada axial temos componente tangencial da velocidade absoluta na entrada
. Pela equação de Euler para máquinas rotodinâmicas:
Como
(entrada axial sem pre-rodízio), a cabeça ideal (altura ideal de Euler) vale:
- Relação com o triângulo de velocidades na saída:
- Velocidade relativa na saída:
. - Ângulo da pá na saída:
(assumo que é o ângulo entre a direção tangencial e , convensão comum). - Componentes:
(tangencial relativa) e (meridional/axial relativa). - A relação entre velocidade absoluta tangencial
, velocidade relativa tangencial e velocidade periférica é:
- Velocidade relativa na saída:
- A componente meridional absoluta
(axial) é igual a . Pela conservação de massa:
- Substituindo
em :
- Assim a expressão da cabeça ideal (sem slip) em função de
é:
Interpretação: é uma reta decrescente
vs
. O intercepto (vazão zero) é
(shut-off head ideal) e a vazão nula de cabeça (quando
) é
Passo 4
Calculemos os valores numéricos básicos (shut-off, vazão máxima e ponto de referência).
- Shut-off ideal (vazão zero):
- Vazão máxima (quando
):
Com
,
- Ponto de referência escolhido (metade da vazão máxima):
Agora usamos esse
para obter números concretos adiante. (Se você tiver outra vazão de projeto, basta substituir esse
nas fórmulas.)
Passo 5
Cálculo da altura ideal (Euler, sem slip) e da potência hidráulica ideal no ponto de referência.
- Calcular
em usando a fórmula do Passo 3:
Numéricamente:
- Potência hidráulica ideal associada a essa cabeça (usando a vazão real que efetivamente passa pelo rotor geométrico; mais adiante vamos aplicar a eficiência volumétrica):
onde por enquanto consideramos
(as fugas/leakages reduzem a vazão real).
Então:
Breve didática: potência hidráulica é energia por unidade de tempo que o fluido ganha:
. Aqui usamos a vazão efetiva
(já aplicando
).
Passo 6
Cálculo da altura e potência teóricas (incluindo slip) e corrigidas (incluindo rendimento hidráulico e eficiência mecânica).
- Efeito do slip: com número finito de pás a componente de torção cedida ao fluido é reduzida por um fator
(slip factor). A cabeça teórica com slip é:
Adotando
(estimativa típica para
e ângulos pequenos):
- Potência hidráulica teórica (usando vazão real
):
- Corrigindo por perdas hidráulicas (rendimento hidráulico
): - A altura prática (corrigida) é menor:
.
- A altura prática (corrigida) é menor:
- A potência hidráulica real (entregue ao fluido) passa a ser:
- Potência no eixo (a potência elétrica/ mecânica a ser fornecida ao eixo, considerando perdas mecânicas):
Resumo conceitual das eficiências (para fixar):
-
: reduz a vazão efetiva (leakage, folgas). Usei . -
: reduz a componente tangencial efetiva cedida ao fluido (slip devido às pás finitas). -
: relaciona a cabeça teórica (disponível) com a cabeça realmente transmissível ao fluido (perdas hidráulicas internas). -
: perdas mecânicas (rolamentos, atrito), afetam potência no eixo.
Passo 7
Verificação rápida de coerência numérica e interpretação final (ânimo!):
- Shut-off ideal
é o valor máximo que o rotor poderia gerar sem fluxo. - No ponto de referência escolhido (metade da vazão máxima geométrica), a altura ideal caiu para
; o efeito do slip diminuiu para ; as perdas hidráulicas reduziram para . A potência no eixo necessária para manter esse ponto é cerca de . - Se quiser outro ponto de operação, basta usar a fórmula do Passo 3 e repetir os cálculos substituindo
.
Resposta
-
Altura ideal (Euler, sem slip) em
: .
Potência hidráulica ideal (comaplicada): . -
Altura teórica (com
): .
Potência teórica (hidráulica):.
Altura corrigida (com): .
Potência corrigida (hidráulica):.
Potência no eixo (considerando): .