Exerc. 3) Um dado rotor de bomba centrífuga opera à rotação de 1450[\mathrm{rpm}]. Os rendimentos hidráulico, volumétrico e mecânico são de \eta_{h}=0,8, \eta_{v}=0,91 e \eta_{m}=0,98, respectivamente. Além disso, o mesmo possui as seguintes características:
na entrada do rotor:
  • Entrada completamente axial antes do rotor;
  • Diâmetro do rotor: 150[\mathrm{~mm}];
  • Altura das pás: 75[\mathrm{~mm}];
  • Ângulo construtivo: 20^{\circ}.
  • Espessura das pás: 5[\mathrm{~mm}];
Dado que o rotor possui Z=6 pás, determine:
  1. A altura ideal e sua respectiva potência, considerando que a bomba trabalha com água;
  2. A altura e a potência teóricas e corrigidas;

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
Dados do enunciado:
  • Rotação: n=1450\,[\mathrm{rpm}].
  • Rendimento hidráulico: \eta_{h}=0{,}80.
  • Rendimento volumétrico: \eta_{v}=0{,}91.
  • Rendimento mecânico: \eta_{m}=0{,}98.
  • Diâmetro do rotor: D=150\,[\mathrm{mm}]=0{,}150\,[\mathrm{m}].
  • Altura das pás (largura do canal): b=75\,[\mathrm{mm}]=0{,}075\,[\mathrm{m}].
  • Ângulo construtivo (assumido como ângulo da pá na saída do rotor): \beta_{2}=20^\circ.
  • Espessura das pás: s=5\,[\mathrm{mm}]=0{,}005\,[\mathrm{m}].
  • Número de pás: Z=6.
  • Fluido: água (assumo \rho=1000\,[\mathrm{kg/m^3}] e g=9{,}81\,[\mathrm{m/s^2}]).
O enunciado pede:
  1. A altura ideal (ou seja, a altura manométrica ideal dada pela equação de Euler para bomba) e sua respectiva potência, considerando água.
  2. A altura e a potência teóricas e corrigidas.
Observação importante (assunções que vou usar porque o enunciado não informa um débito (vazão) de projeto):
  • Não foi informada uma vazão de projeto. Vou derivar a equação característica H(Q) do rotor e apresentar um ponto de operação de referência para obter números concretos. Escolhi como ponto de referência Q_\text{ref} = \dfrac{Q_{\max}}{2}, ou seja metade da vazão máxima onde a altura seria zero (justificativa: sem vazão informada, é comum apresentar a curva e um ponto representativo; meio da faixa é uma escolha razoável para exercícios didáticos). Vou explicitar todas as fórmulas para que você possa repetir com outra vazão se for necessário.
  • Para corrigir o efeito do número finito de pás (slip), vou usar um fator de escape (slip factor) empírico \sigma. Como não foi especificada nenhuma expressão a usar, adoto a estimativa típica \sigma\approx0{,}92 para Z=6 e \beta_{2} pequeno (é um valor aceitável em problemas didáticos). Vou deixar explícito onde \sigma aparece para você trocar se tiver outra fórmula.

Passo 2

Cálculo da velocidade periférica na borda do rotor ( u_2) e da seção de escoamento na saída (levando em conta a espessura das pás).
  • Velocidade periférica:
u_2 = \omega r_2 = \frac{2\pi n}{60}\cdot\frac{D}{2} = \pi \frac{D n}{60}.
Substituindo:
u_2 = \pi\cdot\frac{0{,}150\cdot1450}{60} \approx 11{,}387\\ [\mathrm{m/s}].
  • Seção útil de escoamento na periferia (circunferência total menos a parcela ocupada pelas lâminas, vezes a largura b):
A = \bigl(\pi D - Z s\bigr)\,b.
Substituindo:
A = \bigl(\pi\cdot0{,}150 - 6\cdot0{,}005\bigr)\cdot0{,}075 \approx 0{,}033093\\ [\mathrm{m^2}].
Explicação didática curta: a área por onde a água passa na periferia é (perímetro aberto) × largura. As pás ocupam comprimento total Zs na circunferência, assim subtraímos isso da circunferência \pi D.

Passo 3

Montando o triângulo de velocidades na saída do rotor e deduzindo a expressão de Euler para a cabeça H em função da vazão Q.
  • Para entrada axial temos componente tangencial da velocidade absoluta na entrada c_{u1}=0. Pela equação de Euler para máquinas rotodinâmicas:
\Delta E_{\text{por massa}} = u_2 c_{u2} - u_1 c_{u1}.
Como u_1 c_{u1}=0 (entrada axial sem pre-rodízio), a cabeça ideal (altura ideal de Euler) vale:
H_{\text{id}} = \frac{u_2 c_{u2}}{g}.
  • Relação com o triângulo de velocidades na saída:
    • Velocidade relativa na saída: w_2.
    • Ângulo da pá na saída: \beta_{2} (assumo que é o ângulo entre a direção tangencial e w_2, convensão comum).
    • Componentes: w_{u2}=w_2\cos\beta_2 (tangencial relativa) e w_{m2}=w_2\sin\beta_2 (meridional/axial relativa).
    • A relação entre velocidade absoluta tangencial c_{u2}, velocidade relativa tangencial w_{u2} e velocidade periférica u_2 é:
c_{u2} = u_2 - w_{u2} = u_2 - w_2\cos\beta_2.
  • A componente meridional absoluta c_{m2} (axial) é igual a w_2\sin\beta_2. Pela conservação de massa:
c_{m2} = \frac{Q}{A} \quad\Rightarrow\quad w_2 = \frac{c_{m2}}{\sin\beta_2}=\frac{Q}{A\sin\beta_2}.
  • Substituindo w_2 em c_{u2}:
c_{u2} = u_2 - \frac{Q}{A}\cdot\frac{\cos\beta_2}{\sin\beta_2} = u_2 - \frac{Q}{A}\cot\beta_2.
  • Assim a expressão da cabeça ideal (sem slip) em função de Q é:
\boxed{H_{\text{id}}(Q)=\frac{u_2}{g}\left(u_2 - \frac{Q}{A}\cot\beta_2\right)=\frac{u_2^{2}}{g}-\frac{u_2}{g}\cdot\frac{Q}{A}\cot\beta_2.}
Interpretação: é uma reta decrescente H vs Q. O intercepto (vazão zero) é H_{0}=\dfrac{u_2^{2}}{g} (shut-off head ideal) e a vazão nula de cabeça (quando H=0) é
Q_{\max}=A\,u_2\tan\beta_2.

Passo 4

Calculemos os valores numéricos básicos (shut-off, vazão máxima e ponto de referência).
  • Shut-off ideal (vazão zero):
H_{0}=\frac{u_2^{2}}{g}=\frac{(11{,}387)^2}{9{,}81}\approx 13{,}22\\ [\mathrm{m}].
  • Vazão máxima (quando H=0):
Q_{\max}=A\,u_2\tan\beta_2.
Com \tan20^\circ\approx0{,}36397,
Q_{\max}=0{,}033093\cdot11{,}387\cdot0{,}36397\approx 0{,}13717\\ [\mathrm{m^3/s}]\\ (\approx137{,}2\\ \mathrm{L/s}).
  • Ponto de referência escolhido (metade da vazão máxima):
Q_{\text{ref}}=\frac{Q_{\max}}{2}\approx 0{,}068586\\ [\mathrm{m^3/s}].
Agora usamos esse Q_{\text{ref}} para obter números concretos adiante. (Se você tiver outra vazão de projeto, basta substituir esse Q nas fórmulas.)

Passo 5

Cálculo da altura ideal (Euler, sem slip) e da potência hidráulica ideal no ponto de referência.
  • Calcular H_{\text{id}} em Q_{\text{ref}} usando a fórmula do Passo 3:
H_{\text{id}}(Q_{\text{ref}})=\frac{u_2^{2}}{g}-\frac{u_2}{g}\cdot\frac{Q_{\text{ref}}}{A}\cot\beta_2.
Numéricamente:
\frac{Q_{\text{ref}}}{A}\approx\frac{0{,}068586}{0{,}033093}\approx 2{,}0729\\ [\mathrm{m/s}], \qquad \cot20^\circ\approx2{,}74748.
H_{\text{id}}(Q_{\text{ref}})\approx\frac{(11{,}387)^2}{9{,}81}-\frac{11{,}387}{9{,}81}\cdot2{,}0729\cdot2{,}74748\approx 6{,}610\\ [\mathrm{m}].
  • Potência hidráulica ideal associada a essa cabeça (usando a vazão real que efetivamente passa pelo rotor geométrico; mais adiante vamos aplicar a eficiência volumétrica):
P_{\text{id,h}}=\rho g Q_{\text{actual}} H_{\text{id}},
onde por enquanto consideramos Q_{\text{actual}}=\eta_{v}Q_{\text{ref}} (as fugas/leakages reduzem a vazão real).
Q_{\text{actual}}=\eta_v Q_{\text{ref}}=0{,}91\cdot0{,}068586\approx0{,}062379\\ [\mathrm{m^3/s}].
Então:
P_{\text{id,h}}=1000\cdot9{,}81\cdot0{,}062379\cdot6{,}610\approx 4{,}046\\ [\mathrm{kW}].
Breve didática: potência hidráulica é energia por unidade de tempo que o fluido ganha: P=\rho g Q H. Aqui usamos a vazão efetiva Q_{\text{actual}} (já aplicando \eta_v).

Passo 6

Cálculo da altura e potência teóricas (incluindo slip) e corrigidas (incluindo rendimento hidráulico e eficiência mecânica).
  • Efeito do slip: com número finito de pás a componente de torção cedida ao fluido é reduzida por um fator \sigma (slip factor). A cabeça teórica com slip é:
\boxed{H_{\text{teo}}(Q)=\sigma\,H_{\text{id}}(Q).}
Adotando \sigma=0{,}92 (estimativa típica para Z=6 e ângulos pequenos):
H_{\text{teo}}(Q_{\text{ref}})=0{,}92\cdot6{,}610\approx 6{,}079\\ [\mathrm{m}].
  • Potência hidráulica teórica (usando vazão real Q_{\text{actual}}):
P_{\text{teo,h}}=\rho g Q_{\text{actual}} H_{\text{teo}} \approx 1000\cdot9{,}81\cdot0{,}062379\cdot6{,}079\approx 3{,}724\\ [\mathrm{kW}].
  • Corrigindo por perdas hidráulicas (rendimento hidráulico \eta_h):
    • A altura prática (corrigida) é menor: H_{\text{corr}}=\eta_h\,H_{\text{teo}}.
H_{\text{corr}}=0{,}80\cdot6{,}079\approx 4{,}863\\ [\mathrm{m}].
  • A potência hidráulica real (entregue ao fluido) passa a ser:
P_{\text{corr,h}}=\rho g Q_{\text{actual}} H_{\text{corr}} \approx 1000\cdot9{,}81\cdot0{,}062379\cdot4{,}863\approx 2{,}977\\ [\mathrm{kW}].
  • Potência no eixo (a potência elétrica/ mecânica a ser fornecida ao eixo, considerando perdas mecânicas):
P_{\text{eixo}}=\frac{P_{\text{corr,h}}}{\eta_m}\approx\frac{2{,}977}{0{,}98}\approx 3{,}037\\ [\mathrm{kW}].
Resumo conceitual das eficiências (para fixar):
  • \eta_v: reduz a vazão efetiva (leakage, folgas). Usei Q_{\text{actual}}=\eta_v Q_{\text{geom}}.
  • \sigma: reduz a componente tangencial efetiva cedida ao fluido (slip devido às pás finitas).
  • \eta_h: relaciona a cabeça teórica (disponível) com a cabeça realmente transmissível ao fluido (perdas hidráulicas internas).
  • \eta_m: perdas mecânicas (rolamentos, atrito), afetam potência no eixo.

Passo 7

Verificação rápida de coerência numérica e interpretação final (ânimo!):
  • Shut-off ideal 13{,}22\\ \mathrm{m} é o valor máximo que o rotor poderia gerar sem fluxo.
  • No ponto de referência escolhido (metade da vazão máxima geométrica), a altura ideal caiu para 6{,}61\\ \mathrm{m}; o efeito do slip diminuiu para 6{,}08\\ \mathrm{m}; as perdas hidráulicas reduziram para 4{,}86\\ \mathrm{m}. A potência no eixo necessária para manter esse ponto é cerca de 3{,}04\\ \mathrm{kW}.
  • Se quiser outro ponto de operação, basta usar a fórmula do Passo 3 e repetir os cálculos substituindo Q.

Resposta

  1. Altura ideal (Euler, sem slip) em Q_{\text{ref}}=Q_{\max}/2: H_{\text{id}}=6{,}610\\ \mathrm{m}.
    Potência hidráulica ideal (com \eta_v aplicada): P_{\text{id,h}}=4{,}046\\ \mathrm{kW}.
  2. Altura teórica (com \sigma=0{,}92): H_{\text{teo}}=6{,}079\\ \mathrm{m}.
    Potência teórica (hidráulica): P_{\text{teo,h}}=3{,}724\\ \mathrm{kW}.
    Altura corrigida (com \eta_h=0{,}80): H_{\text{corr}}=4{,}863\\ \mathrm{m}.
    Potência corrigida (hidráulica): P_{\text{corr,h}}=2{,}977\\ \mathrm{kW}.
    Potência no eixo (considerando \eta_m=0{,}98): P_{\text{eixo}}=3{,}037\\ \mathrm{kW}.

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