Exercício ( \mathbf{2 , 5} pontos): Um sistema de refrigeração a gás que usa o ar como fluido de trabalho tem uma razão de pressão igual a 5.0 ar entra no compressor a 0^{\circ} \mathrm{C}, enquanto o ar a alta pressão é resfriado até 35^{\circ} \mathrm{C} pela rejeição do calor para a vizinhança. O refrigerante sai da turbina a -80^{\circ} \mathrm{C} e, em seguida, absorve calor do espaço refrigerado antes de entrar no regenerador. A vazão mássica do ar é 0,4 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. Considerando eficiências isentrópicas de 80 \% para o compressor e de 85 \% para a turbina, e utilizando calores específicos à temperatura ambiente, determine:
(a)a eficácia do regenerador;
(b)a taxa de remoção de calor do espaço refrigerado;
(c)o COP do ciclo;
(d)a carga de refrigeração (em TR);
(e)Monte a tabela com as propriedades ( entropia, entalpia, pressão e temperatura) em todos os estados do ciclo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede várias coisas. Vou listar com calma tudo que temos, valores e as incógnitas que vamos encontrar.
Dados fornecidos:
\begin{aligned} &\text{Razão de pressão: } r = \frac{P_2}{P_1} = 5{,}0.\\\ &\text{Temperatura na entrada do compressor: } T_1 = 0^\circ\mathrm{C} = 273{,}15\\ \mathrm{K}.\\\ &\text{Temperatura do ar de alta pressão após rejeição de calor: } T_3 = 35^\circ\mathrm{C} = 308{,}15\\ \mathrm{K}.\\\ &\text{Temperatura de saída da turbina: } T_4 = -80^\circ\mathrm{C} = 193{,}15\\ \mathrm{K}.\\\ &\text{Vazão mássica: } \dot{m} = 0{,}4\\ \mathrm{kg/s}.\\\ &\text{Eficiência isentrópica do compressor: } \eta_c = 0{,}80.\\\ &\text{Eficiência isentrópica da turbina: } \eta_t = 0{,}85. \end{aligned}ãããóçãíãáêóêó
Constantes e suposições (necessárias porque o enunciado não dá pressão absoluta nem propriedades dependentes de T):
\begin{aligned} &\text{Tomarei }P_1 = 100\\ \mathrm{kPa}\\ \text{(pressão baixa de referência).}\\\ &\text{Logo }P_2 = P_3 = P_6 = rP_1 = 500\\ \mathrm{kPa},\quad P_4 = P_5 = P_1 = 100\\ \mathrm{kPa}.\\\ &\text{Propriedades do ar (temperatura ambiente): } c_p = 1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},\; R = 0{,}287\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},\; k=1{,}4. \end{aligned}ãê
O que nos pedem:
(a) eficácia do regenerador \varepsilon.\n
(b) taxa de remoção de calor do espaço refrigerado \dot{Q}_L.\n
(c) \mathrm{COP} do ciclo (razão entre refrigeração e trabalho líquido).\n
(d) carga de refrigeração em TR (toneladas de refrigeração, 1\\ \mathrm{TR}=3{,}517\\ \mathrm{kW}).\n
(e) tabela com as propriedades T,\;P,\;h,\;s em todos os estados do ciclo (estados 1 a 6 conforme o circuito descrito).
Observações importantes do enunciado que guiam a montagem do ciclo:
  • O ar sai da turbina à T_4=-80^\circ\mathrm{C} e depois absorve calor do espaço refrigerado (passa para T_5), então entra no regenerador e é aquecido até T_1 antes do compressor.
  • No lado de alta pressão: compressor (1→2), depois resfriamento até T_3=35^\circ\mathrm{C}, depois passa pelo regenerador (saindo a T_6) e em seguida expande na turbina (6→4).
  • Usaremos relações isentrópicas para calcular temperaturas de referência e as eficiências para ajustar as temperaturas reais quando necessário.
A partir daqui começo a desenvolver passo a passo os cálculos.

Passo 2

Cálculo da compressão (compressor): lembrar a teoria e a fórmula que vamos usar.
Breve explicação didática:
  • Para um gás ideal com c_p constante e razão de calores k, a compressão isentrópica tem a relação de temperatura:
T_{2s} = T_1 \, r^{\frac{k-1}{k}}.
Aqui T_{2s} é a temperatura de saída do compressor se a compressão fosse isentrópica (sem irreversibilidades). \
  • A eficiência isentrópica do compressor é definida por:
\eta_c = \frac{T_{2s}-T_1}{T_2-T_1},
onde T_2 é a temperatura real de saída do compressor. Reorganizando:
T_2 = T_1 + \frac{T_{2s}-T_1}{\eta_c}.
Aplicando com os números:
\frac{k-1}{k} = \frac{0{,}4}{1{,}4}=0{,}285714\ldots
r^{\frac{k-1}{k}} = 5^{0{,}285714} \approx 1{,}5836.
T_{2s} = T_1 \cdot 1{,}5836 = 273{,}15\cdot 1{,}5836 \approx 432{,}50\\ \mathrm{K}.
T_2 = 273{,}15 + \frac{432{,}50 - 273{,}15}{0{,}80} =273{,}15 + \frac{159{,}35}{0{,}8} \approx 473{,}34\\ \mathrm{K}.
(Arredondei para duas casas decimais; mantenho valores com precisão adequada nas contas seguintes.)
Comentário prático: o compressor eleva bastante a temperatura; depois esse ar comprimido é resfriado até T_3=308{,}15\\ \mathrm{K} antes da expansão.

Passo 3

Resfriamento até T_3 e posição do regenerador; explicação do que é o regenerator e como o vamos modelar.
Didática do regenerador:
  • Um regenerador troca calor entre o fluido quente (lado de alta pressão, que sai do resfriador em T_3) e o fluido frio (lado de baixa pressão, que vem da turbina e entra no compressor depois de ser aquecido no regenerador).
  • Se as vazões mássicas e c_p forem iguais (aqui o mesmo fluido ar com mesma vazão), as capacidades térmicas das duas correntes são iguais: C = \dot{m} c_p (mesmo C para ambas). Para esse caso a eficácia do regenerador é dada por:
\varepsilon = \frac{T_{\text{cold,out}}-T_{\text{cold,in}}}{T_{\text{hot,in}}-T_{\text{cold,in}}},
onde:
  • T_{\text{hot,in}} = T_3 (ar quente chegando ao regenerador),
  • T_{\text{cold,in}} = T_5 (ar frio saindo da câmara fria e entrando no regenerador),
  • T_{\text{cold,out}} = T_1 (o ar sai do regenerador já aquecido até a temperatura de entrada do compressor, que é T_1 por construção do ciclo).
Além disso, balanço de energia no regenerador (com mesmas capacidades térmicas) dá:
\dot{m}c_p (T_3 - T_6) = \dot{m}c_p (T_1 - T_5) \quad\Rightarrow\quad T_3 - T_6 = T_1 - T_5.
Essa relação será útil depois.
No entanto, ainda precisamos determinar T_6 (temperatura antes da turbina) e T_5 (temperatura após o aquecimento pela câmara fria e antes do regenerador). Para achar T_6 usamos a informação da turbina (próximo passo).

Passo 4

Cálculo da expansão na turbina (usar a temperatura conhecida de saída T_4 para achar T_6).
Teoria aplicada:
  • Para expansão isentrópica de 6 até 4_s (ideal), vale
T_{4s} = T_6\, \left(\frac{P_4}{P_6}\right)^{\frac{k-1}{k}} = T_6 \, r^{-\frac{k-1}{k}}.
  • A eficiência isentrópica da turbina é
\eta_t = \frac{T_6 - T_{4\text{s}}}{T_6 - T_4},
onde T_4 é a temperatura real de saída (dada: -80^\circ\mathrm{C}). Reorganizando para T_6:
T_4 = T_6 - \eta_t\,(T_6 - T_{4s}) = T_6\big[1 - \eta_t(1 - r^{-\frac{k-1}{k}})\big].
Portanto
T_6 = \frac{T_4}{1 - \eta_t\big(1 - r^{-\frac{k-1}{k}}\big)}.
Aplicando números:
r^{-\frac{k-1}{k}} = 1/1{,}5836 \approx 0{,}6314.
1 - \eta_t(1 - r^{-\frac{k-1}{k}}) = 1 - 0{,}85(1 - 0{,}6314) = 1 - 0{,}85(0{,}3686) \approx 0{,}68669.
T_6 = \frac{T_4}{0{,}68669} = \frac{193{,}15}{0{,}68669} \approx 281{,}39\\ \mathrm{K}.
Interpretação: a temperatura antes da turbina (após o regenerador) é T_6\approx 281{,}39\\ \mathrm{K} ( \approx 8{,}24^\circ\mathrm{C}).

Passo 5

Agora usamos o balanço do regenerador para obter T_5 e a eficácia \varepsilon.
Da relação de balanço (Passo 3):
T_3 - T_6 = T_1 - T_5 \quad\Rightarrow\quad T_5 = T_1 - (T_3 - T_6).
Substituindo:
T_5 = 273{,}15 - (308{,}15 - 281{,}39) = 273{,}15 - 26{,}76 = 246{,}39\\ \mathrm{K}.
Em graus Celsius T_5 \approx -26{,}76^\circ\mathrm{C}.
Agora a eficácia do regenerador, usando a fórmula explicada:
\varepsilon = \frac{T_1 - T_5}{T_3 - T_5} = \frac{273{,}15 - 246{,}39}{308{,}15 - 246{,}39} = \frac{26{,}76}{61{,}76} \approx 0{,}4333.
Portanto a eficácia do regenerador é \varepsilon \approx 0{,}433 (43,3%).

Passo 6

Cálculo da taxa de remoção de calor do espaço refrigerado \dot{Q}_L.
Teoria e fórmula:
  • O ar sai da turbina a T_4 e entra no espaço refrigerado; ao atravessar a câmara fria (absorvendo calor) sua temperatura aumenta de T_4 até T_5. A taxa de calor absorvida é:
\dot{Q}_L = \dot{m}\, c_p\,(T_5 - T_4).
Aplicando números:
T_5 - T_4 = 246{,}39 - 193{,}15 = 53{,}24\\ \mathrm{K}.
\dot{Q}_L = 0{,}4\cdot 1{,}005 \cdot 53{,}24 \approx 21{,}4025\\ \mathrm{kW}.
Arredondando razoavelmente: \dot{Q}_L \approx 21{,}40\\ \mathrm{kW}.

Passo 7

Cálculo do trabalho do compressor, trabalho da turbina, trabalho líquido e COP.
Fórmulas (teoria):
  • Trabalho do compressor por unidade de massa (energia específica) aproximado por w_c = c_p (T_2 - T_1), logo potência:
\dot{W}_c = \dot{m} c_p (T_2 - T_1).
  • Trabalho produzido pela turbina por unidade de massa: w_t = c_p (T_6 - T_4), portanto:
\dot{W}_t = \dot{m} c_p (T_6 - T_4).
  • Trabalho líquido fornecido ao ciclo (entrada de potência) é \dot{W}_{net} = \dot{W}_c - \dot{W}_t.
  • Coeficiente de desempenho do refrigerador:
\mathrm{COP} = \frac{\dot{Q}_L}{\dot{W}_{net}}.
Aplicando números:
\dot{W}_c = 0{,}4 \cdot 1{,}005 \cdot (472{,}34 - 273{,}15) =0{,}4\cdot 1{,}005 \cdot 199{,}19 \approx 80{,}074\\ \mathrm{kW}.
\dot{W}_t = 0{,}4 \cdot 1{,}005 \cdot (281{,}39 - 193{,}15) =0{,}4\cdot 1{,}005 \cdot 88{,}24 \approx 35{,}473\\ \mathrm{kW}.
\dot{W}_{net} = 80{,}074 - 35{,}473 \approx 44{,}602\\ \mathrm{kW}.
\mathrm{COP} = \frac{21{,}4025}{44{,}602} \approx 0{,}4800.
Portanto \mathrm{COP} \approx 0{,}480.

Passo 8

Conversão da carga de refrigeração para toneladas de refrigeração (TR).
Fórmula:
1\\ \mathrm{TR} = 3{,}517\\ \mathrm{kW}.
\text{Carga (TR)} = \frac{\dot{Q}_L}{3{,}517} = \frac{21{,}4025}{3{,}517} \approx 6{,}08\\ \mathrm{TR}.

Passo 9

Montagem da tabela com as propriedades T,\;P,\;h,\;s em todos os estados (1 a 6).
Explico como calculei h e s:
  • Para ar tratado como gás ideal com c_p constante:
h = c_p\, T \quad (\text{em kJ/kg}),
com T em K. (É a variação de entalpia em relação a zero hipotético; o importante são as diferenças.)
  • Para a entropia específica relativa a s_1=0 (escolhi essa referência para simplificar cálculos):
s - s_1 = c_p \ln\!\left(\frac{T}{T_1}\right) - R \ln\!\left(\frac{P}{P_1}\right).
Escolhi s_1=0 (referência) o que torna s de cada estado dado por esta expressão.
Agora a tabela (valores calculados; unidades: T em K e ^\circ\mathrm{C}, P em kPa, h em kJ/kg, s em kJ/(kg·K)):
Estado 1 (entrada compressor):
T_1 = 273{,}15\\ \mathrm{K}\\ (0{,}0^\circ\mathrm{C}),\quad P_1 = 100\\ \mathrm{kPa}
h_1 = c_p T_1 = 1{,}005\cdot 273{,}15 \approx 274{,}516\\ \mathrm{kJ/kg}
s_1 \equiv 0{,}000\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}\quad(\text{referência})ê
Estado 2 (saída compressor, real):
T_2 \approx 472{,}34\\ \mathrm{K}\\ (\approx 199{,}19^\circ\mathrm{C}),\quad P_2 = 500\\ \mathrm{kPa}
h_2 = 1{,}005\cdot 472{,}34 \approx 474{,}702\\ \mathrm{kJ/kg}
s_2 = c_p\ln\frac{T_2}{T_1} - R\ln\frac{P_2}{P_1} \approx 0{,}0883\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}
Estado 3 (após resfriador, alta pressão):
T_3 = 308{,}15\\ \mathrm{K}\\ (35{,}0^\circ\mathrm{C}),\quad P_3 = 500\\ \mathrm{kPa}
h_3 = 1{,}005\cdot 308{,}15 \approx 309{,}691\\ \mathrm{kJ/kg}
s_3 = c_p\ln\frac{T_3}{T_1} - R\ln\frac{P_3}{P_1} \approx -0{,}3404\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}
Estado 6 (entrada da turbina, após regenerador):
T_6 \approx 281{,}39\\ \mathrm{K}\\ (\approx 8{,}24^\circ\mathrm{C}),\quad P_6 = 500\\ \mathrm{kPa}
h_6 = 1{,}005\cdot 281{,}39 \approx 282{,}797\\ \mathrm{kJ/kg}
s_6 = c_p\ln\frac{T_6}{T_1} - R\ln\frac{P_6}{P_1} \approx -0{,}4314\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}
Estado 4 (saída da turbina, baixa pressão):
T_4 = 193{,}15\\ \mathrm{K}\\ (-80{,}0^\circ\mathrm{C}),\quad P_4 = 100\\ \mathrm{kPa}
h_4 = 1{,}005\cdot 193{,}15 \approx 194{,}116\\ \mathrm{kJ/kg}
s_4 = c_p\ln\frac{T_4}{T_1} - R\ln\frac{P_4}{P_1} \approx -0{,}3484\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}
Estado 5 (após o espaço refrigerado, antes do regenerador):
T_5 \approx 246{,}39\\ \mathrm{K}\\ (\approx -26{,}76^\circ\mathrm{C}),\quad P_5 = 100\\ \mathrm{kPa}
h_5 = 1{,}005\cdot 246{,}39 \approx 247{,}637\\ \mathrm{kJ/kg}
s_5 = c_p\ln\frac{T_5}{T_1} - R\ln\frac{P_5}{P_1} \approx -0{,}1034\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}
(Verificação: balanço de energia do regenerador: h_3-h_6 \approx h_1-h_5 \approx 26{,}89\\ \mathrm{kJ/kg}, consistente com as contas.)

Passo 10

Resumo numérico final (valores arredondados para apresentação):
  • Eficácia do regenerador: \varepsilon \approx 0{,}433.
  • Taxa de remoção de calor do espaço frio: \dot{Q}_L \approx 21{,}40\\ \mathrm{kW}.
  • COP do ciclo: \mathrm{COP} \approx 0{,}480.
  • Carga de refrigeração: \approx 6{,}08\\ \mathrm{TR}.
Agora deixo só as respostas finais conforme pedido.

Resposta

(a) \varepsilon \approx 0{,}433
(b) \dot{Q}_L \approx 21{,}40\\ \mathrm{kW}
(c) \mathrm{COP} \approx 0{,}480
(d) Carga de refrigeração \approx 6{,}08\\ \mathrm{TR}
(e) Tabela de propriedades (valores aproximados):\n
Estado 1: T_1=273{,}15\\ \mathrm{K}\\ (0{,}0^\circ\mathrm{C}),\; P_1=100\\ \mathrm{kPa},\; h_1\approx 274{,}516\\ \mathrm{kJ/kg},\; s_1=0{,}000\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}\n
Estado 2: T_2\approx 472{,}34\\ \mathrm{K}\\ (199{,}2^\circ\mathrm{C}),\; P_2=500\\ \mathrm{kPa},\; h_2\approx 474{,}702\\ \mathrm{kJ/kg},\; s_2\approx 0{,}0883\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}\n
Estado 3: T_3=308{,}15\\ \mathrm{K}\\ (35{,}0^\circ\mathrm{C}),\; P_3=500\\ \mathrm{kPa},\; h_3\approx 309{,}691\\ \mathrm{kJ/kg},\; s_3\approx -0{,}3404\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}\n
Estado 6: T_6\approx 281{,}39\\ \mathrm{K}\\ (8{,}24^\circ\mathrm{C}),\; P_6=500\\ \mathrm{kPa},\; h_6\approx 282{,}797\\ \mathrm{kJ/kg},\; s_6\approx -0{,}4314\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}\n
Estado 4: T_4=193{,}15\\ \mathrm{K}\\ (-80{,}0^\circ\mathrm{C}),\; P_4=100\\ \mathrm{kPa},\; h_4\approx 194{,}116\\ \mathrm{kJ/kg},\; s_4\approx -0{,}3484\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}\n
Estado 5: T_5\approx 246{,}39\\ \mathrm{K}\\ (-26{,}76^\circ\mathrm{C}),\; P_5=100\\ \mathrm{kPa},\; h_5\approx 247{,}637\\ \mathrm{kJ/kg},\; s_5\approx -0{,}1034\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}

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