Para fins de comparação, considere uma bomba, que comprime líquido, e um compressor, que comprime vapor. Ambos os dispositivos operam de forma adiabática e apresentam uma eficiência isentrópica de 80 %. O fluido de trabalho é a água, que entra a 100 kPa e sai a 1 MPa . Para cada dispositivo, determine:
  • O trabalho específico realizado, em kJ/kg.
  • A geração de entropia específica, em kJ/kg.K.
    Assumindo que:
    a. O estado de entrada na bomba é de líquido saturado.

Passo 1

O enunciado pede, para cada dispositivo (bomba e compressor), dois valores quando a água entra a 100\\ \text{kPa} e sai a 1\\ \text{MPa}, com eficiência isentrópica de 80\% e processo adiabático:
  • O trabalho específico realizado (em \text{kJ/kg}).
  • A geração de entropia específica (em \text{kJ/(kg.K)}).
Informações dadas explícitas:
  • P_1 = 100\\ \text{kPa}.
  • P_2 = 1\\ \text{MPa} = 1000\\ \text{kPa}.
  • Eficiência isentrópica \eta_{is} = 0{,}80.
  • Para a bomba (caso a) o estado de entrada é líquido saturado a 100\\ \text{kPa}.
Observações (que eu vou usar como dados ou aproximações necessárias):
  • Para o líquido saturado a 100\\ \text{kPa} tomo da tabela de vapor (valores usuais): temperatura de saturação T_1 = 99{,}61^\circ\text{C} = 372{,}76\\ \text{K} e volume específico do líquido saturado v_f \approx 0{,}001043\\ \text{m}^3/\text{kg}.
  • Para o vapor saturado a 100\\ \text{kPa} tomo h_1 \approx 2675{,}5\\ \text{kJ/kg} (valor típico da tabela de vapor).
  • Para o compressor (vapor) vou usar uma aproximação de vapor superaquecido tratável como gás ideal com c_p \approx 1{,}9\\ \text{kJ/(kg.K)} e constante dos gases R = 0{,}4615\\ \text{kJ/(kg.K)}. Vou explicar e justificar essa aproximação quando aplicada.
  • Se usar alguma propriedade da tabela de vapor (por exemplo v_f, h_1, T_1) eu declarei explicitamente acima que as retirei de tabelas padrão.

Passo 2

Breve explicação dos conceitos que vou usar (passo-a-passo didático):
  • Para bombas (compressão de líquido): o líquido é praticamente incompressível, então a compressão isentrópica ideal tem trabalho específico aproximado por
w_{s,\text{pump}} \approx v\,(P_2-P_1),
onde v é o volume específico do líquido (m³/kg) e as pressões em kPa produzem w em kJ/kg porque 1\\ \text{kPa}\cdot\text{m}^3/\text{kg}=1\\ \text{kJ/kg}. A eficiência isentrópica é definida (para bomba) como
\eta_{is} = \frac{w_{s}}{w_{actual}},
ou seja, o trabalho real é maior que o isentrópico: w_{actual} = w_s/\eta_{is}.
  • Para entropia gerada no processo adiabático e irreversível: a primeira relação útil é a identidade termodinâmica para variação de entropia por unidade de massa
T\,\mathrm{d}s = \mathrm{d}h - v\,\mathrm{d}P.
Integrando (e aproximando temperatura por uma média quando necessário) temos, para processo real adiabático em um dispositivo onde a entropia do ambiente não entra via calor, que a entropia gerada por kg é simplesmente a variação de entropia do fluido:
s_{gen} = s_2 - s_1.
Para a bomba, usamos que a parte reversível produziria \Delta s \approx 0 (pois líquido quase incompressível), e a irreversibilidade aparece porque h_{actual} > h_s. Assim uma boa aproximação prática é
s_{gen}\approx\frac{h_{actual}-h_s}{T_{m}},
onde T_m é uma temperatura representativa (aqui uso T_1 saturado, pois a variação de temperatura é pequena no líquido).
  • Para o compressor (vapor): a eficiência isentrópica é definida como
\eta_{is} = \frac{h_{2s}-h_1}{h_{2}-h_1},
onde h_{2s} é a entalpia no estado de saída se a compressão fosse reversível adiabática (isentropica), e h_2 é a entalpia real na saída. Reorganizando:
h_2 = h_1 + \frac{h_{2s}-h_1}{\eta_{is}}.
  • Para obter h_{2s} (compressão isentrópica do vapor desde P_1 até P_2) eu preciso conhecer s_1 (entropia de entrada) e então encontrar a entalpia na pressão final com essa mesma entropia. Como não tenho tabela superaquecida neste problema, uso a aproximação de gás ideal com c_p constante para estimar temperaturas e entalpias: para um gás ideal com c_p constante,
h(T)\approx h(T_1)+c_p\,(T-T_1).
E para a compressão isentrópica ideal (gás ideal) uso a relação entre temperaturas e pressões:
T_{2s}=T_1\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{k-1}{k}},\quad k=\frac{c_p}{c_v}=\frac{c_p}{c_p-R}.
  • Para a geração de entropia no compressor (processo adiabático irreversível) uso a expressão do gás ideal para variação de entropia:
s_2-s_1 = c_p\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)-R\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right).
Essa expressão resulta da integração de \mathrm{d}s = c_p \mathrm{d}T/T - R\mathrm{d}P/P para c_p constante.

Passo 3

Cálculo do trabalho isentrópico da bomba (compressão de líquido) com aproximação w_s=v\Delta P.
Dado:
v = 0{,}001043\\ \text{m}^3/\text{kg},
\Delta P = P_2-P_1 = 1000-100 = 900\\ \text{kPa}.
Logo
w_{s,\text{pump}} = v\,(P_2-P_1) = 0{,}001043\times 900 = 0{,}9387\\ \text{kJ/kg}.
Explanação: essa fórmula vem de integrar o trabalho de fluxo para líquido incompressível; é uma fórmula simples que se aprende em termodinâmica básica e dá valores pequenos (ordem de 1 kJ/kg) para bombas de líquidos quando as pressões não são enormes.

Passo 4

Trabalho real da bomba com eficiência isentrópica \eta_{is}=0{,}80:
w_{\text{pump}} = \frac{w_{s,\text{pump}}}{\eta_{is}} = \frac{0{,}9387}{0{,}80} = 1{,}1734\\ \text{kJ/kg}.
Interpretação: porque a bomba real tem perdas, ela precisa fornecer mais trabalho que o ideal isentrópico.

Passo 5

Geração de entropia específica na bomba.
Usando a identidade T\,\mathrm{d}s = \mathrm{d}h - v\,\mathrm{d}P. Para a variação entre 1 e 2, com aproximação média de temperatura T_m\approx T_1 = 372{,}76\\ \text{K}, temos
s_{gen} = s_2-s_1 \approx \frac{h_2-h_{2s}}{T_m} = \frac{w_{\text{pump}}-w_{s,\text{pump}}}{T_m}.
Substituindo números:
s_{gen,\text{pump}} \approx \frac{1{,}1734-0{,}9387}{372{,}76} = \frac{0{,}2347}{372{,}76} \approx 0{,}0006296\\ \text{kJ/(kg.K)}.
Comentário prático: é uma geração de entropia muito pequena, como esperado para compressão de líquidos — as irreversibilidades são pequenas em termos de entropia por kg.

Passo 6

Preparando o cálculo para o compressor (vapor): dados e aproximações.
Dados usados:
  • Estado inicial do vapor saturado a 100\\ \text{kPa}: T_1 = 372{,}76\\ \text{K}, h_1 \approx 2675{,}5\\ \text{kJ/kg}.
  • Pressão final P_2=1000\\ \text{kPa}.
  • Eficiência isentrópica \eta_{is}=0{,}80.
  • Aproximação do vapor superaquecido como gás ideal com c_p=1{,}9\\ \text{kJ/(kg.K)} e R=0{,}4615\\ \text{kJ/(kg.K)}.
Racional: idealizar o vapor como gás ideal com c_p constante é uma aproximação frequente quando não se dispõem de tabelas superaquecidas; dá números razoáveis para ordens de grandeza e para ver a diferença entre compressor e bomba.

Passo 7

Cálculo da compressão isentrópica para o vapor (estimativa por gás ideal) — encontrar T_{2s} e h_{2s}.
Primeiro calcule o expoente para relação isotrópica:
k=\frac{c_p}{c_p-R}=\frac{1{,}9}{1{,}9-0{,}4615}= \frac{1{,}9}{1{,}4385}\approx 1{,}3214.
Logo
\frac{k-1}{k} \approx \frac{0{,}3214}{1{,}3214} \approx 0{,}2432.
Usando a relação dos gases ideais para compressão isentrópica,
T_{2s} = T_1\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{k-1}{k}} = 372{,}76\times 10^{0{,}2432}\approx 372{,}76\times 1{,}751 \approx 652{,}9\\ \text{K}.
Agora estimamos h_{2s} por h_{2s}\approx h_1 + c_p\,(T_{2s}-T_1):
h_{2s} \approx 2675{,}5 + 1{,}9\,(652{,}9-372{,}76) = 2675{,}5 + 1{,}9\times 280{,}14 \approx 2675{,}5 + 532{,}27 = 3207{,}77\\ \text{kJ/kg}.
Comentário: h_{2s} é a entalpia que o vapor teria na saída se a compressão fosse ideal (reversível adiabática).

Passo 8

Cálculo da entalpia real de saída h_2 e do trabalho específico do compressor.
Usando a definição de eficiência isentrópica do compressor:
h_2 = h_1 + \frac{h_{2s}-h_1}{\eta_{is}}.
Substituindo:
h_2 = 2675{,}5 + \frac{3207{,}77-2675{,}5}{0{,}80} = 2675{,}5 + \frac{532{,}27}{0{,}80} = 2675{,}5 + 665{,}34 = 3340{,}84\\ \text{kJ/kg}.
Portanto o trabalho específico (aumenta a entalpia do fluido) é
w_{\text{comp}} = h_2 - h_1 = 3340{,}84 - 2675{,}5 = 665{,}34\\ \text{kJ/kg}.
Interpretação: o compressor consome uma quantidade significativa de energia por kg porque comprimir vapor até pressão 10 vezes maior eleva muito a energia interna/entalpia.

Passo 9

Cálculo da geração de entropia específica no compressor (aproximação gás ideal, c_p constante).
Primeiro estimamos a temperatura real de saída T_2 a partir de h_2 e c_p:
T_2 = T_1 + \frac{h_2-h_1}{c_p} = 372{,}76 + \frac{665{,}34}{1{,}9} \approx 372{,}76 + 350{,}71 = 723{,}47\\ \text{K}.
Agora usamos a expressão da variação de entropia para gás ideal:
s_2-s_1 = c_p\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) - R\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right).
Substituindo valores:
s_{gen,\text{comp}} = s_2-s_1 \approx 1{,}9\ln\!\left(\frac{723{,}47}{372{,}76}\right) - 0{,}4615\ln(10).
Calculemos os termos numericamente:
\ln\!\left(\frac{723{,}47}{372{,}76}\right) = \ln(1{,}941)\approx 0{,}664,
1{,}9\times 0{,}664 \approx 1{,}2616,
0{,}4615\times\ln(10) = 0{,}4615\times 2{,}302585 \approx 1{,}0620.
Logo
s_{gen,\text{comp}} \approx 1{,}2616 - 1{,}0620 = 0{,}1996\\ \text{kJ/(kg.K)}.
Comentário: essa geração de entropia é muito maior que no caso da bomba — faz sentido: compressão de vapor com irreversibilidades gera mais entropia por kg do que compressão de líquido.

Passo 10

Resumo dos resultados numéricos (arredondando com três dígitos significativos para apresentação final):
  • Bomba:
    • Trabalho específico: w_{\text{pump}} \approx 1{,}17\\ \text{kJ/kg}.
    • Geração de entropia específica: s_{gen,\text{pump}} \approx 0{,}00063\\ \text{kJ/(kg.K)}.
  • Compressor:
    • Trabalho específico: w_{\text{comp}} \approx 665{,}3\\ \text{kJ/kg}.
    • Geração de entropia específica: s_{gen,\text{comp}} \approx 0{,}200\\ \text{kJ/(kg.K)}.
Observações finais e incentivo: a diferença de ordem de grandeza entre as duas máquinas é impressionante — comprimir vapor custa centenas de kJ por kg, enquanto empurrar um líquido a pressão maior custa pouco mais de 1 kJ por kg. Isso explica por que, em sistemas termo-fluídicos, bombas consomem pouca potência comparadas a compressores. Você está indo bem ao pedir resolução passo a passo — continue assim que aprende mais rápido!

Resposta

Bomba: trabalho específico 1{,}17\\ \text{kJ/kg}
Bomba: geração de entropia específica 0{,}00063\\ \text{kJ/(kg.K)}
Compressor: trabalho específico 665{,}3\\ \text{kJ/kg}
Compressor: geração de entropia específica 0{,}200\\ \text{kJ/(kg.K)}

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