Para fins de comparação, considere uma bomba, que comprime líquido, e um compressor, que comprime vapor. Ambos os dispositivos operam de forma adiabática e apresentam uma eficiência isentrópica de 80 %. O fluido de trabalho é a água, que entra a 100 kPa e sai a 1 MPa . Para cada dispositivo, determine:
  • O trabalho específico realizado, em kJ/kg.
  • A geração de entropia específica, em kJ/kg.K.
    Assumindo que:
    b. O estado de entrada no compressor é de vapor saturado.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado (resumão bobo, mas preciso).
  • Pedem, para cada dispositivo (bomba e compressor), duas quantidades por unidade de massa do fluido: o trabalho específico realizado (em \mathrm{kJ/kg}) e a geração de entropia específica (em \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}).
  • Dados comuns: pressão de entrada \,p_1 = 100\\ \mathrm{kPa} e pressão de saída \,p_2 = 1\\ \mathrm{MPa}. A eficiência isentrópica de ambos é \eta_{s}=80\% = 0{,}80. Os processos são adiabáticos.
  • Informação adicional (assunção do item b): a entrada no compressor é vapor saturado à 100\\ \mathrm{kPa}. Para a bomba (compressão de líquido) assumimos o líquido saturado na entrada a 100\\ \mathrm{kPa} (padrão em exercícios desse tipo).
  • Vou usar propriedades da água a partir de tabelas de vapor (valores padrão): para vapor saturado a 0{,}1\\ \mathrm{MPa} tomo \,h_1 = 2675{,}5\\ \mathrm{kJ/kg} e \,s_1 = 7{,}3599\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}; para líquido saturado a 0{,}1\\ \mathrm{MPa} tomo o volume específico \,v_f = 0{,}001043\\ \mathrm{m^3/kg} e a temperatura saturada \,T_1 = 372{,}76\\ \mathrm{K}. (Estou explicitando esses números retirados das tabelas padrão de água/vapor.)
  • Observação sobre método: para a bomba uso a aproximação de líquido incompressível (fórmula direta w_s = v\Delta p). Para o compressor (vapores superaquecidos no final) vou aproximar o vapor superaquecido por um gás perfeito com cp constante para conseguir estimar h_{2s} e depois h_2 (isso é rotina quando não temos tabela superaquecida à mão). Vou explicar cada fórmula usada passo a passo.

Passo 2

Resolvendo a bomba — dados e fórmula isentrópica simples.
  • Dados específicos para a bomba: entrada líquido saturado a p_1 = 100\\ \mathrm{kPa}, saída p_2 = 1\\ \mathrm{MPa}. Volume específico do líquido (da tabela): \,v = 0{,}001043\\ \mathrm{m^3/kg}. Eficiência isentrópica \eta_s = 0{,}80. Temperatura de entrada (satur.) \,T_1 = 372{,}76\\ \mathrm{K}.
  • Teoria / fórmula usada (explicação didática): para líquidos quase incompressíveis a variação de entalpia aproximase por \,dh \approx v\,dp. O trabalho isentrópico específico (ideal) requerido pela bomba é então \,w_s = v (p_2 - p_1). Como a bomba real tem eficiência isentrópica \eta_s, a relação entre trabalho ideal e trabalho real é
\eta_s = \frac{w_s}{w_{\text{act}}}\quad\Rightarrow\quad w_{\text{act}}=\frac{w_s}{\eta_s}.
Aqui w tem sinal positivo para trabalho de entrada sobre o fluido (kJ/kg).

Passo 3

Cálculo numérico da bomba (detalhando contas para tu copiar na prova).
  • Primeiro o trabalho isentrópico:
w_s = v\,(p_2-p_1) = 0{,}001043\\ \mathrm{m^3/kg}\times(1000-100)\\ \mathrm{kPa} = 0{,}001043\times900\\ \mathrm{kJ/kg}=0{,}9387\\ \mathrm{kJ/kg}.
(Usei aqui 1\\ \mathrm{MPa}=1000\\ \mathrm{kPa} e 1\\ \mathrm{kPa\cdot m^3/kg}=1\\ \mathrm{kJ/kg}.)
  • Trabalho real (com eficiência 0{,}80):
w_{\text{act}}=\frac{0{,}9387}{0{,}80}=1{,}1734\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Agora a geração de entropia específica. Explicação física e fórmula: para um dispositivo adiabático em regime permanente, da segunda lei aplicada por unidade de massa temos s_{\text{gen}} = s_2 - s_1. Para o caso líquido, podemos usar a relação diferencial de Gibbs T\,ds = dh - v\,dp. Integrando aproximadamente e tomando T\approx T_1 (válido porque a temperatura do líquido muda muito pouco), obtemos
s_{\text{gen}} \approx \frac{h_2 - h_1 - (h_{2s}-h_1)}{T_1} = \frac{w_{\text{act}} - w_s}{T_1}.
Isto é intuitivo: a irreversibilidade gera um excesso de energia (diferença entre trabalho real e isentrópico) que, dividido pela temperatura, é a entropia criada.
  • Cálculo numérico:
s_{\text{gen}} = \frac{1{,}1734 - 0{,}9387}{372{,}76} = \frac{0{,}2347}{372{,}76}=6{,}30\times10^{-4}\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.

Passo 4

Resolvendo o compressor — definição de eficiência e estratégia.
  • Dados para o compressor: entrada vapor saturado a p_1=100\\ \mathrm{kPa} com h_1=2675{,}5\\ \mathrm{kJ/kg} e s_1=7{,}3599\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} (valores da tabela). Saída p_2=1\\ \mathrm{MPa}. Eficiência isentrópica \eta_s=0{,}80. Processo adiabático.
  • Teoria / estratégia explicada: para um compressor definimos a eficiência isentrópica como
\eta_s=\frac{h_{2s}-h_1}{h_2-h_1},
onde h_{2s} é a entalpia na saída no processo isentrópico (mesmo s de entrada, mas à pressão p_2), e h_2 é a entalpia real na saída. Rearranjando:
h_2 = h_1 + \frac{h_{2s}-h_1}{\eta_s}.
O trabalho específico de entrada (por kg) é w_{\text{act}} = h_2 - h_1. Para encontrar h_{2s} precisamos do estado no final do processo isentrópico: no nosso caso esse estado fica geralmente em vapor superaquecido (porque s_1 é maior que o s do vapor saturado a 1\\ \mathrm{MPa}), então precisaríamos de tabela superaquecida para achar h_{2s}. Como não estamos usando a tabela superaquecida completa aqui, vou aplicar a aproximação do vapor como gás perfeito com calor específico constante (método comum quando se faz estimativa): adoto R=0{,}4615\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} e c_p \approx 2{,}001\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}. Vou mostrar por que isso é razoável e como aplicar.
Explicação rápida da aproximação: para um gás perfeito com c_p constante e razão de capacidades \,k, o processo isentrópico satisfaz
\frac{T_{2s}}{T_1}=\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{(k-1)/k}.
Também vale (com c_p constante) \Delta h = c_p (T_{2s}-T_1). Usando essas fórmulas consigo estimar h_{2s}. Depois aplico a definição de eficiência para achar h_2 e, finalmente, posso calcular a geração de entropia com a relação de gás perfeito (fórmula explícita apresentada no passo seguinte).

Passo 5

Cálculos isentrópicos estimados para o compressor (detalhado).
  • Primeiro calculo a temperatura isentrópica de saída aproximada. Tomo T_1 igual à temperatura de saturação a 100\\ \mathrm{kPa}, ou seja T_1 = 372{,}76\\ \mathrm{K}. A razão p_2/p_1 = 10. Com R/c_p = 0{,}4615/2{,}001 = 0{,}2306 (este número corresponde a (k-1)/k para o gás aproximado), obtemos:
T_{2s} = T_1\,(p_2/p_1)^{0{,}2306} = 372{,}76\times 10^{0{,}2306} \approx 633{,}6\\ \mathrm{K}.
  • Variação de entalpia isentrópica (aprox.):
h_{2s}-h_1 \approx c_p (T_{2s}-T_1) = 2{,}001\times(633{,}6-372{,}76)=2{,}001\times260{,}84\approx 521{,}9\\ \mathrm{kJ/kg}.
Então
h_{2s}\approx 2675{,}5 + 521{,}9 = 3197{,}4\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 6

Cálculo do trabalho do compressor (a partir de \eta_s) e do estado real de saída.
  • Usando a definição de eficiência:
h_2 = h_1 + \frac{h_{2s}-h_1}{\eta_s} = 2675{,}5 + \frac{521{,}9}{0{,}80}=2675{,}5 + 652{,}4 = 3327{,}9\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Então o trabalho específico de entrada (energia por massa que o compressor fornece) é
w_{\text{act}} = h_2 - h_1 = 3327{,}9 - 2675{,}5 = 652{,}4\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 7

Cálculo da geração de entropia do compressor (explicando a fórmula usada).
  • Para o vapor tratado como gás perfeito com c_p constante temos a expressão para variação de entropia entre estados (1 → 2) em que se conhece temperatura e pressão:
s_2 - s_1 = c_p \ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right) - R\ln\!\left(\frac{p_2}{p_1}\right).
Essa é a forma integrada de ds = c_p \frac{dT}{T} - R\frac{dp}{p} (válida para gás perfeito com c_p constante). Vou usar essa expressão tomando T_2 associada ao h_2 por h_2-h_1 = c_p (T_2-T_1) (consistência interna da aproximação).
  • Calculando T_2 aproximado a partir de h_2:
T_2 = T_1 + \frac{h_2-h_1}{c_p} = 372{,}76 + \frac{652{,}4}{2{,}001} \approx 372{,}76 + 326{,}02 = 698{,}78\\ \mathrm{K}.
  • Agora a variação de entropia:
s_2 - s_1 = 2{,}001\ln\!\left(\frac{698{,}78}{372{,}76}\right) - 0{,}4615\ln(10).
Vou calcular os termos: \ln(698{,}78/372{,}76)=\ln(1{,}8748)\approx 0{,}6284; então 2{,}001\times0{,}6284\approx1{,}257. E 0{,}4615\ln(10)=0{,}4615\times2{,}3026\approx1{,}0623. Assim
s_2 - s_1 \approx 1{,}257 - 1{,}0623 = 0{,}1947\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Como o processo é adiabático, a geração de entropia específica é justamente
s_{\text{gen}} = s_2 - s_1 \approx 0{,}1947\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.

Passo 8

Interpretação rápida e checagens (pra te dar confiança).
  • Ordem de grandeza: o trabalho da bomba é muito pequeno (daí que bombas consomem pouca energia comparadas a compressores de vapor), e a geração de entropia na bomba é também muito pequena porque as irreversibilidades são pequenas quando se comprime líquido pouco compressível em pequena diferença de pressão. O compressor exige centenas de \mathrm{kJ/kg} e gera uma entropia notavelmente maior, o que está coerente.
  • Observação sobre aproximações: para o compressor usei aproximação de gás perfeito com c_p constante; se você tivesse tabela superaquecida poderia obter h_{2s} e s_2 com mais precisão. Mesmo assim, a estimativa é boa para exercícios de prova quando tabelas completas não são fornecidas.

Resposta

\text{Bomba: } w_{\text{act}} = 1{,}173\\ \mathrm{kJ/kg}
\text{Bomba: } s_{\text{gen}} = 6{,}30\times 10^{-4}\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}
\text{Compressor: } w_{\text{act}} = 652{,}4\\ \mathrm{kJ/kg}
\text{Compressor: } s_{\text{gen}} = 0{,}1947\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}

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