Um gás ideal monoatômico, a
e a 2 atm , realiza uma expansão na qual o seu volume duplica. Determine o trabalho que pode ser realizado, considerando a expansão:
adiabática e realizada contra uma pressão externa constante e igual à pressão final do gás.
adiabática e realizada contra uma pressão externa constante e igual à pressão final do gás.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido (peguei todos os dados do enunciado).
- Dados:
- Pressão inicial:
. - Temperatura inicial:
. - O volume duplica:
. - O gás é ideal e monoatômico.
- Pressão inicial:
- O enunciado pede o trabalho realizado pela expansão nos dois casos:
- Expansão adiabática (assumimos reversível adiabática padrão).
- Expansão realizada contra pressão externa constante e igual à pressão final do gás (vou tomar
, onde é a pressão final do gás).
- Informação ausente: a quantidade de gás
(número de mols) não foi fornecida. Vou calcular o trabalho por mol (isto é, para ). Se houver mols, multiplica-se o resultado por .
Passo 2
Relembrando fórmulas e constantes que vou usar (explicações didáticas passo a passo).
-
Constantes do gás monoatômico:
- Para um gás ideal monoatômico, a capacidade térmica molar a volume constante é
. Isso vem dos três graus de liberdade de translação (cada grau contribui ). - A razão dos calores é
. Para monoatômico . - Valor da constante dos gases:
.
- Para um gás ideal monoatômico, a capacidade térmica molar a volume constante é
-
Leis úteis:
- Equação de estado do gás ideal:
. Para mol, . - Para uma transformação adiabática reversível de um gás ideal vale:
- Energia interna de um gás ideal (por mol):
. Logo a variação é . - Convenção de sinais que vou usar:
positivo significa trabalho realizado pelo gás. A primeira lei é . Para adiabática então (por mol).
- Equação de estado do gás ideal:
Passo 3
Cálculo de parâmetros fixos e relações iniciais.
- Valores numéricos:
- Como
, a relação adiabática const dá: Aqui , então o fator é .
Passo 4
Cálculo da temperatura final na expansão adiabática (por mol).
- Aplicando a fórmula:
- Calcular
. Uma forma prática: , então . - Portanto
Passo 5
Trabalho realizado na expansão adiabática (por mol).
- Usando
(derivado de e ): - Diferença de temperaturas:
- Então
(Arredondei para três algarismos significativos: .)
Passo 6
Determinar a pressão final
(usar para o caso de pressão externa constante).
- A partir da relação adiabática
constante: - Com
e , - Converter para pascal (SI):
, logo
(Observação: escolhi
calculado a partir da expansão adiabática, porque o enunciado pede comparar com a expansão contra uma pressão externa igual à “pressão final do gás” — assim uso o
obtido no caso adiabático. Se a intenção fosse outra, a diferença é que para a expansão irreversível precisa-se de
numérico; aqui estou fixando
obtido acima.)
Passo 7
Trabalho realizado na expansão contra pressão externa constante igual a
.
- Para uma expansão irreversível contra pressão externa constante vale, por mol:
- Precisamos de
(por mol): usar com em pascal. - Calcular numericamente:
Então e . - Agora calcular
: (Arredondei para três algarismos significativos: .)
Resposta
Adiabática (reversível), por mol:
Contra pressão externa constante
, por mol: