Um gás ideal monoatômico, a 35^{\circ} \mathrm{C} e a 2 atm , realiza uma expansão na qual o seu volume duplica. Determine o trabalho que pode ser realizado, considerando a expansão:
adiabática e realizada contra uma pressão externa constante e igual à pressão final do gás.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido (peguei todos os dados do enunciado).
  • Dados:
    • Pressão inicial: P_1 = 2\\ \text{atm}.
    • Temperatura inicial: T_1 = 35^\circ\mathrm{C} = 308{,}15\\ \mathrm{K}.
    • O volume duplica: V_2 = 2V_1.
    • O gás é ideal e monoatômico.
  • O enunciado pede o trabalho realizado pela expansão nos dois casos:
    1. Expansão adiabática (assumimos reversível adiabática padrão).
    2. Expansão realizada contra pressão externa constante e igual à pressão final do gás (vou tomar P_{\text{ext}}=P_2, onde P_2 é a pressão final do gás).
  • Informação ausente: a quantidade de gás n (número de mols) não foi fornecida. Vou calcular o trabalho por mol (isto é, para n=1\\ \text{mol}). Se houver n mols, multiplica-se o resultado por n.

Passo 2

Relembrando fórmulas e constantes que vou usar (explicações didáticas passo a passo).
  • Constantes do gás monoatômico:
    • Para um gás ideal monoatômico, a capacidade térmica molar a volume constante é \,C_V=\tfrac{3}{2}R. Isso vem dos três graus de liberdade de translação (cada grau contribui \tfrac{1}{2}R).
    • A razão dos calores é \gamma=\dfrac{C_P}{C_V}= \dfrac{C_V+R}{C_V}=1+\dfrac{R}{C_V}. Para monoatômico \gamma=\dfrac{5}{3}.
    • Valor da constante dos gases: R=8{,}3145\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
  • Leis úteis:
    • Equação de estado do gás ideal: P V = n R T. Para n=1 mol, P V = R T.
    • Para uma transformação adiabática reversível de um gás ideal vale: P V^{\gamma}=\text{constante},\qquad T V^{\gamma-1}=\text{constante}.
    • Energia interna de um gás ideal (por mol): U = C_V T. Logo a variação é \Delta U = C_V (T_2-T_1).
    • Convenção de sinais que vou usar: W positivo significa trabalho realizado pelo gás. A primeira lei é \Delta U = Q - W. Para adiabática Q=0 então W = -\Delta U = C_V (T_1-T_2) (por mol).

Passo 3

Cálculo de parâmetros fixos e relações iniciais.
  • Valores numéricos: \gamma=\frac{5}{3},\qquad C_V=\frac{3}{2}R=\frac{3}{2}\cdot8{,}3145=12{,}47175\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
  • Como V_2=2V_1, a relação adiabática T V^{\gamma-1}= const dá: T_2 = T_1\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1} = T_1\left(\frac{1}{2}\right)^{\gamma-1}.Aqui \gamma-1=\tfrac{2}{3}, então o fator é \left(\tfrac{1}{2}\right)^{2/3}.

Passo 4

Cálculo da temperatura final na expansão adiabática (por mol).
  • Aplicando a fórmula: T_2 = 308{,}15\\ \mathrm{K}\times\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2/3}.
  • Calcular \left(\tfrac{1}{2}\right)^{2/3}. Uma forma prática: 2^{2/3}\approx1{,}5874, então \left(\tfrac{1}{2}\right)^{2/3}=2^{-2/3}\approx0{,}62996.
  • Portanto T_2 \approx 308{,}15\times0{,}62996 \approx 194{,}10\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Trabalho realizado na expansão adiabática (por mol).
  • Usando W_{\text{ad}}=C_V\,(T_1-T_2) (derivado de Q=0 e \Delta U = C_V(T_2-T_1)): W_{\text{ad}} = 12{,}47175\\ \mathrm{J\,K^{-1}}\times(308{,}15-194{,}10)\\ \mathrm{K}.
  • Diferença de temperaturas: T_1-T_2 \approx 308{,}15-194{,}10 = 114{,}05\\ \mathrm{K}.
  • Então W_{\text{ad}} \approx 12{,}47175\times114{,}05 \approx 1\,422{,}2\\ \mathrm{J\\ per\\ mol}.(Arredondei para três algarismos significativos: 1{,}42\times10^{3}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.)

Passo 6

Determinar a pressão final P_2 (usar para o caso de pressão externa constante).
  • A partir da relação adiabática P V^{\gamma}= constante: P_2 = P_1\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma} = P_1\left(\frac{1}{2}\right)^{5/3}.
  • Com P_1=2\\ \text{atm} e \left(\tfrac{1}{2}\right)^{5/3}=2^{-5/3}\approx0{,}31498, P_2 \approx 2\times0{,}31498=0{,}62996\\ \text{atm}.
  • Converter para pascal (SI): 1\\ \text{atm}=101\,325\\ \mathrm{Pa}, logo P_2 \approx 0{,}62996\times101\,325 \approx 63\,803\\ \mathrm{Pa}.
(Observação: escolhi P_2 calculado a partir da expansão adiabática, porque o enunciado pede comparar com a expansão contra uma pressão externa igual à “pressão final do gás” — assim uso o P_2 obtido no caso adiabático. Se a intenção fosse outra, a diferença é que para a expansão irreversível precisa-se de P_{\text{ext}} numérico; aqui estou fixando P_{\text{ext}}=P_2 obtido acima.)

Passo 7

Trabalho realizado na expansão contra pressão externa constante igual a P_2.
  • Para uma expansão irreversível contra pressão externa constante vale, por mol: W_{\text{const}} = P_{\text{ext}}\,(V_2-V_1) = P_2\,(V_2-V_1).
  • Precisamos de V_1 (por mol): usar P_1 V_1 = R T_1 com P_1 em pascal. V_1 = \frac{R T_1}{P_1} = \frac{8{,}3145\times308{,}15}{2\times101\,325}.
  • Calcular numericamente: V_1 \approx \frac{8{,}3145\times308{,}15}{202\,650} \approx \frac{2\,562{,}11}{202\,650} \approx 0{,}01264\\ \mathrm{m^3}.Então V_2 = 2V_1 \approx 0{,}02528\\ \mathrm{m^3} e \Delta V = V_2-V_1\approx0{,}01264\\ \mathrm{m^3}.
  • Agora calcular W_{\text{const}}: W_{\text{const}} \approx 63\,803\\ \mathrm{Pa}\times0{,}01264\\ \mathrm{m^3} \approx 806{,}4\\ \mathrm{J\\ per\\ mol}.(Arredondei para três algarismos significativos: 8{,}06\times10^{2}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.)

Resposta

Adiabática (reversível), por mol: W_{\text{ad}}\approx 1\,422{,}2\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}
Contra pressão externa constante P_{\text{ext}}=P_2, por mol: W_{\text{const}}\approx 806{,}4\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}

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