Um gás ideal monoatômico, a 35^{\circ} \mathrm{C} e a 2 atm , realiza uma expansão na qual o seu volume duplica. Determine o trabalho que pode ser realizado, considerando a expansão:
isotérmica e realizada contra uma pressão externa constante e igual à pressão final do gás;

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Um gás ideal monoatômico está a 35^\circ\mathrm{C} e a 2\\ \mathrm{atm}.
  • O gás sofre uma expansão cujo volume duplica: \displaystyle V_f = 2V_i.
    O enunciado pede que se determine o trabalho que pode ser realizado na expansão, nos dois casos:
  1. expansão isotérmica;
  2. expansão realizada contra uma pressão externa constante e igual à pressão final do gás.
Observações úteis que vou usar (peguei os dados do enunciado):
  • Temperatura absoluta: T = 35^\circ\mathrm{C} = 35 + 273{,}15 = 308{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Pressão inicial: P_i = 2\\ \mathrm{atm}.
  • Como a quantidade de gás n não foi dada, vou dar as expressões gerais em função de n e calcular os valores numéricos por mol ( n=1).
  • Constante dos gases: R = 8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.

Passo 2

Conceito e fórmula para trabalho em processo isotérmico (expansão de gás ideal):
  • Trabalho realizado pelo gás ao expandir de V_i até V_f é, em geral,
W=\int_{V_i}^{V_f} P\,dV,
onde aqui, para uma expansão isotérmica reversível, a pressão externa acompanha a pressão do gás e P(V)=\dfrac{nRT}{V} (lei dos gases ideais).
  • Substituindo na integral:
W=\int_{V_i}^{V_f} \frac{nRT}{V}\,dV = nRT\int_{V_i}^{V_f}\frac{dV}{V}=nRT\ln\!\frac{V_f}{V_i}.
Aqui: W é o trabalho realizado pelo gás (positivo se o gás realiza trabalho), n é o número de mols, R a constante dos gases, T a temperatura absoluta, e \ln o logaritmo natural.

Passo 3

Aplicando ao caso: \dfrac{V_f}{V_i}=2. Portanto
W_{\text{isotérmico}}=nRT\ln 2.é
Agora substituo valores (por mol, isto é n=1):
R T = 8{,}314\cdot 308{,}15 \approx 2\,562{,}10\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}},
W_{\text{isotérmico}} = (1)\cdot 2\,562{,}10\cdot \ln 2 \approx 2\,562{,}10\cdot 0{,}693147 \approx 1\,776\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}.é
Logo a expressão geral é \displaystyle W_{\text{isotérmico}}=nRT\ln 2é e, por mol, W_{\text{isotérmico}}\approx 1{,}776\times10^{3}\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}é.

Passo 4

Conceito e fórmula para trabalho contra pressão externa constante:
  • Se a expansão ocorre contra uma pressão externa constante P_{\text{ext}}, o trabalho realizado pelo gás é
W=\int_{V_i}^{V_f} P_{\text{ext}}\,dV = P_{\text{ext}}(V_f-V_i).
No enunciado este caso é quando P_{\text{ext}} é igual à pressão final do gás P_f.
  • Como a temperatura é constante, a pressão final do gás (pela lei dos gases ideais) é P_f = P_i\frac{V_i}{V_f}=P_i\cdot\frac{1}{2}=\dfrac{P_i}{2}. Então P_{\text{ext}}=P_f=\dfrac{P_i}{2}.
  • Substituindo V_i por V_i=\dfrac{nRT}{P_i} (lei dos gases no estado inicial) obtemos:
W = P_{\text{ext}}(V_f-V_i)=P_{\text{ext}}(2V_i-V_i)=P_{\text{ext}}V_i = \frac{P_{\text{ext}}}{P_i}\,nRT.
Com P_{\text{ext}}/P_i = 1/2 isso dá
W_{\text{const}}=\frac{1}{2} n R T.

Passo 5

Cálculo numérico por mol ( n=1):
W_{\text{const}}=\frac{1}{2}\,R T \approx \frac{1}{2}\cdot 2\,562{,}10 \approx 1\,281\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}.
Comparação rápida (intuição útil para prova): o trabalho isotérmico reversível ( nRT\ln2) é maior que o trabalho contra uma pressão externa fixa igual à pressão final. Isso é consistente com o fato de que processos reversíveis extraem mais trabalho útil que expansões irreversíveis contra uma pressão fixa.

Resposta

W_{\text{isotérmico}}=nRT\ln 2 \approx 1{,}776\times10^{3}\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}é\n
W_{\text{contra }P_{\text{ext}}=P_f}=\dfrac{1}{2}nRT \approx 1{,}281\times10^{3}\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}

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