Um gás ideal monoatômico, a
e a 2 atm , realiza uma expansão na qual o seu volume duplica. Determine o trabalho que pode ser realizado, considerando a expansão:
isotérmica e realizada contra uma pressão externa constante e igual à pressão final do gás;
isotérmica e realizada contra uma pressão externa constante e igual à pressão final do gás;
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Um gás ideal monoatômico está a
e a . - O gás sofre uma expansão cujo volume duplica:
.
O enunciado pede que se determine o trabalho que pode ser realizado na expansão, nos dois casos:
- expansão isotérmica;
- expansão realizada contra uma pressão externa constante e igual à pressão final do gás.
Observações úteis que vou usar (peguei os dados do enunciado):
- Temperatura absoluta:
. - Pressão inicial:
. - Como a quantidade de gás
não foi dada, vou dar as expressões gerais em função de e calcular os valores numéricos por mol ( ). - Constante dos gases:
.
Passo 2
Conceito e fórmula para trabalho em processo isotérmico (expansão de gás ideal):
- Trabalho realizado pelo gás ao expandir de
até é, em geral,
onde aqui, para uma expansão isotérmica reversível, a pressão externa acompanha a pressão do gás e
(lei dos gases ideais).
- Substituindo na integral:
Aqui:
é o trabalho realizado pelo gás (positivo se o gás realiza trabalho),
é o número de mols,
a constante dos gases,
a temperatura absoluta, e
o logaritmo natural.
Passo 3
Aplicando ao caso:
. Portanto
Agora substituo valores (por mol, isto é
):
Logo a expressão geral é
e, por mol,
.
Passo 4
Conceito e fórmula para trabalho contra pressão externa constante:
- Se a expansão ocorre contra uma pressão externa constante
, o trabalho realizado pelo gás é
No enunciado este caso é quando
é igual à pressão final do gás
.
- Como a temperatura é constante, a pressão final do gás (pela lei dos gases ideais) é
. Então . - Substituindo
por (lei dos gases no estado inicial) obtemos:
Com
isso dá
Passo 5
Cálculo numérico por mol (
):
Comparação rápida (intuição útil para prova): o trabalho isotérmico reversível (
) é maior que o trabalho contra uma pressão externa fixa igual à pressão final. Isso é consistente com o fato de que processos reversíveis extraem mais trabalho útil que expansões irreversíveis contra uma pressão fixa.