Um gás ideal (n mol) inicialmente a uma temperatura T1 e pressão P1 é comprimido de forma reversível por um pistão até um volume final igual à metade de seu volume original. A temperatura do gás é variada durante a compressão de forma que a cada instante a relação P=A V é satisfeita, onde A é uma constante.
(b) Calcule o trabalho realizado sobre o gás, em termos de n, R e T1.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um gás ideal com $ n $ mols, temperatura inicial $ T_{1} $ e pressão inicial $ P_{1} $. Esse gás é comprimido de forma reversível até que seu volume final seja metade do original. Durante essa compressão, a relação $ P = A V $ é mantida, onde $ A $ é uma constante. Nosso objetivo é calcular o trabalho realizado sobre o gás em termos de $ n $, $ R $ e $ T_{1} $.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que estamos lidando com um processo de compressão reversível de um gás ideal. Para gases ideais, a equação de estado é $ PV = nRT $, onde $ P $ é pressão, $ V $ é volume, $ n $ é o número de mols, $ R $ é a constante dos gases ideais e $ T $ é a temperatura.

Passo 3

Sabemos que durante a compressão, a relação $ P = A V $ é mantida. Isso nos diz que a pressão é diretamente proporcional ao volume durante o processo. Vamos usar essa relação para substituir $ P $ na equação de estado dos gases ideais.

Passo 4

Substituindo $ P = A V $ na equação $ PV = nRT $, temos:
P = A V
Isso nos mostra como a temperatura $ T $ varia com o volume $ V $ durante o processo.

Passo 5

Agora, para calcular o trabalho realizado sobre o gás durante a compressão reversível, usamos a fórmula do trabalho para processos que não são necessariamente isotérmicos:
W = -integralV1^V2 P , dV
O sinal negativo indica que o trabalho é realizado sobre o sistema (gás).

Passo 6

Substituindo $ P = A V $ na integral, temos:
P = A V
Aqui, $ V_{1} $ é o volume inicial e $ \frac{V_{1}}{2} $ é o volume final.

Passo 7

Vamos resolver a integral:
W = -A integralV1^V12 V , dV = -A [ V^22 ]V1^V12 = -A ( (V12)^22 - V1^22 )

Passo 8

Simplificando a expressão:
W = -A ( V1^28 - V1^22 ) = -A ( -3 V1^28 ) = 3 A V1^28

Passo 9

Lembrando que da Passo 4, temos $ A V_{1}^{2} = n R T_{1} $. Substituindo isso na expressão do trabalho:
A V1^2 = n R T1

Resposta

O trabalho realizado sobre o gás é $ W = \dfrac{3,n,R,T_{1}}{8} $.

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