Um gás ideal (n mol) inicialmente a uma temperatura
e pressão
é comprimido de forma reversível por um pistão até um volume final igual à metade de seu volume original. A temperatura do gás é variada durante a compressão de forma que a cada instante a relação
é satisfeita, onde A é uma constante.
(b) Calcule o trabalho realizado sobre o gás, em termos de n, R e
.
(b) Calcule o trabalho realizado sobre o gás, em termos de n, R e
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um gás ideal com $ n $ mols, temperatura inicial $ T_{1} $ e pressão inicial $ P_{1} $. Esse gás é comprimido de forma reversível até que seu volume final seja metade do original. Durante essa compressão, a relação $ P = A V $ é mantida, onde $ A $ é uma constante. Nosso objetivo é calcular o trabalho realizado sobre o gás em termos de $ n $, $ R $ e $ T_{1} $.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que estamos lidando com um processo de compressão reversível de um gás ideal. Para gases ideais, a equação de estado é $ PV = nRT $, onde $ P $ é pressão, $ V $ é volume, $ n $ é o número de mols, $ R $ é a constante dos gases ideais e $ T $ é a temperatura.
Passo 3
Sabemos que durante a compressão, a relação $ P = A V $ é mantida. Isso nos diz que a pressão é diretamente proporcional ao volume durante o processo. Vamos usar essa relação para substituir $ P $ na equação de estado dos gases ideais.
Passo 4
Substituindo $ P = A V $ na equação $ PV = nRT $, temos:
Isso nos mostra como a temperatura $ T $ varia com o volume $ V $ durante o processo.
Passo 5
Agora, para calcular o trabalho realizado sobre o gás durante a compressão reversível, usamos a fórmula do trabalho para processos que não são necessariamente isotérmicos:
O sinal negativo indica que o trabalho é realizado sobre o sistema (gás).
Passo 6
Substituindo $ P = A V $ na integral, temos:
Aqui, $ V_{1} $ é o volume inicial e $ \frac{V_{1}}{2} $ é o volume final.
Passo 7
Vamos resolver a integral:
Passo 8
Simplificando a expressão:
Passo 9
Lembrando que da Passo 4, temos $ A V_{1}^{2} = n R T_{1} $. Substituindo isso na expressão do trabalho:
Resposta
O trabalho realizado sobre o gás é $ W = \dfrac{3,n,R,T_{1}}{8} $.