(G1 - IFSUL 2017) Uma chapa retangular, de lados 20 cm e 10 cm , feita de um material cujo coeficiente de dilatação linear é igual a
, tem um furo circular no seu centro, cujo diâmetro é 5 cm , à
. Se a chapa for aquecida até
, afirma-se que a área do furo
a) diminui e que o diâmetro passa a ser
.
b) não se altera e que o diâmetro continua sendo
.
c) aumenta e que o diâmetro passa a ser
.
d) diminui e que o diâmetro passa a ser
.
a) diminui e que o diâmetro passa a ser
b) não se altera e que o diâmetro continua sendo
c) aumenta e que o diâmetro passa a ser
d) diminui e que o diâmetro passa a ser
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pergunta.
-
Dados que peguei do enunciado:
- A chapa tem um furo circular cujo diâmetro inicial é
à temperatura inicial . - A chapa é feita de um material com coeficiente de dilatação linear
. - A chapa é aquecida até
.
- A chapa tem um furo circular cujo diâmetro inicial é
-
O que se pede:
- Determinar se a área do furo diminui, não se altera ou aumenta quando a chapa é aquecida de
para . - Calcular o novo diâmetro do furo depois do aquecimento e comparar com as alternativas dadas.
- Determinar se a área do furo diminui, não se altera ou aumenta quando a chapa é aquecida de
-
Informação útil que já posso extrair (não estou resolvendo ainda):
- Variação de temperatura
.
- Variação de temperatura
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática, passo a passo).
-
O coeficiente de dilatação linear
é definido por como muda um comprimento quando a temperatura varia. Se um comprimento inicial é à temperatura , e a temperatura aumenta em , a variação do comprimento é aproximadamente Isso quer dizer que o comprimento final éExplicação simples:diz a fração de comprimento que se ganha por grau; multiplicando por obtemos a fração total, multiplicando por obtemos o aumento absoluto. -
Aplicação ao furo circular: o diâmetro do furo é um comprimento linear presente no material (é como se o material ao redor “se afastasse” aumentando o espaço do furo). Portanto o diâmetro do furo também escala pelo mesmo fator linear. Ou seja, se
é o diâmetro inicial, o diâmetro final será Observação intuitiva: por simetria de dilatação isotrópica, todos comprimentos na chapa crescem na mesma proporção — inclusive as dimensões do furo. -
E a área do furo, que depende do quadrado do comprimento (área de um círculo
), vai variar aproximadamente como o quadrado do fator linear. Assim Parapequeno (como aqui), pode-se aproximar porquequando é pequeno.
Passo 3
Calcular o fator de dilatação e o novo diâmetro (contas passo a passo sem pular etapas).
-
Primeiro calculemos
: Logo o fator linear é -
Agora aplicamos ao diâmetro inicial
: Multiplicando:então
Passo 4
Conclusão sobre o sinal da variação da área e cálculo aproximado da nova área (para reforçar o entendimento).
-
Como o diâmetro aumentou (de
para ), a área do furo também aumenta. Portanto a área do furo aumenta — não diminui nem fica igual. -
Se quiser ver o quanto de aumento em porcentagem da área: a razão aproximada é
, ou seja cerca de de aumento da área. -
Para ter uma noção numérica da nova área:
- Área inicial
- Área final
- Confirmação: aumento de aproximadamente
, isto é, cerca de .
- Área inicial
Resposta
(c)