(G1 - IFSUL 2017) Uma chapa retangular, de lados 20 cm e 10 cm , feita de um material cujo coeficiente de dilatação linear é igual a 22 x 10^{-6}{ }^{\circ} C^{-1}, tem um furo circular no seu centro, cujo diâmetro é 5 cm , à 25^{\circ} \mathrm{C}. Se a chapa for aquecida até 125^{\circ} \mathrm{C}, afirma-se que a área do furo
a) diminui e que o diâmetro passa a ser 4,985 \mathrm{~cm}.
b) não se altera e que o diâmetro continua sendo 5,000 \mathrm{~cm}.
c) aumenta e que o diâmetro passa a ser 5,011 \mathrm{~cm}.
d) diminui e que o diâmetro passa a ser 4,890 \mathrm{~cm}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pergunta.
  • Dados que peguei do enunciado:
    • A chapa tem um furo circular cujo diâmetro inicial é d_0 = 5{,}00\\ \mathrm{cm} à temperatura inicial T_0 = 25^\circ\mathrm{C}.
    • A chapa é feita de um material com coeficiente de dilatação linear \alpha = 22 \times 10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
    • A chapa é aquecida até T_f = 125^\circ\mathrm{C}.
  • O que se pede:
    • Determinar se a área do furo diminui, não se altera ou aumenta quando a chapa é aquecida de 25^\circ\mathrm{C} para 125^\circ\mathrm{C}.
    • Calcular o novo diâmetro do furo depois do aquecimento e comparar com as alternativas dadas.
  • Informação útil que já posso extrair (não estou resolvendo ainda):
    • Variação de temperatura \Delta T = T_f - T_0 = 125 - 25 = 100^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática, passo a passo).
  • O coeficiente de dilatação linear \alpha é definido por como muda um comprimento quando a temperatura varia. Se um comprimento inicial é L_0 à temperatura T_0, e a temperatura aumenta em \Delta T, a variação do comprimento é aproximadamente
    \Delta L = \alpha L_0 \Delta T.
    Isso quer dizer que o comprimento final é
    L = L_0 + \Delta L = L_0\bigl(1 + \alpha \Delta T\bigr).
    Explicação simples: \alpha diz a fração de comprimento que se ganha por grau; multiplicando por \Delta T obtemos a fração total, multiplicando por L_0 obtemos o aumento absoluto.
  • Aplicação ao furo circular: o diâmetro do furo é um comprimento linear presente no material (é como se o material ao redor “se afastasse” aumentando o espaço do furo). Portanto o diâmetro do furo também escala pelo mesmo fator linear. Ou seja, se d_0 é o diâmetro inicial, o diâmetro final d será
    d = d_0\bigl(1 + \alpha \Delta T\bigr).
    Observação intuitiva: por simetria de dilatação isotrópica, todos comprimentos na chapa crescem na mesma proporção — inclusive as dimensões do furo.
  • E a área do furo, que depende do quadrado do comprimento (área de um círculo \!A=\pi (d/2)^2), vai variar aproximadamente como o quadrado do fator linear. Assim
    A = A_0\bigl(1 + \alpha \Delta T\bigr)^2.
    Para \alpha\Delta T pequeno (como aqui), pode-se aproximar
    A \approx A_0\bigl(1 + 2\alpha \Delta T\bigr),
    porque (1+x)^2 \approx 1+2x quando x é pequeno.

Passo 3

Calcular o fator de dilatação e o novo diâmetro (contas passo a passo sem pular etapas).
  • Primeiro calculemos \alpha \Delta T:
    \alpha \Delta T = \bigl(22 \times 10^{-6}\bigr)\cdot 100 = 22 \times 10^{-4} = 0,0022.
    Logo o fator linear é
    1 + \alpha \Delta T = 1 + 0,0022 = 1,0022.
  • Agora aplicamos ao diâmetro inicial d_0 = 5{,}00\\ \mathrm{cm}:
    d = d_0\bigl(1 + \alpha \Delta T\bigr) = 5{,}00 \times 1{,}0022.
    Multiplicando:
    5{,}00 \times 0{,}0022 = 0{,}011,
    então
    d = 5{,}00 + 0{,}011 = 5{,}011\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

Conclusão sobre o sinal da variação da área e cálculo aproximado da nova área (para reforçar o entendimento).
  • Como o diâmetro aumentou (de 5{,}00 para 5{,}011\\ \mathrm{cm}), a área do furo também aumenta. Portanto a área do furo aumenta — não diminui nem fica igual.
  • Se quiser ver o quanto de aumento em porcentagem da área: a razão aproximada é 2\alpha\Delta T = 2 \times 0,0022 = 0,0044, ou seja cerca de 0,44\% de aumento da área.
  • Para ter uma noção numérica da nova área:
    • Área inicial A_0 = \pi\bigl(\tfrac{d_0}{2}\bigr)^2 = \pi\cdot 2{,}5^2 = 6{,}25\pi \approx 19{,}635\\ \mathrm{cm}^2.
    • Área final A = A_0(1+\alpha\Delta T)^2 = 6{,}25\pi \times 1{,}0022^2 \approx 6{,}27753025\pi \approx 19{,}721\\ \mathrm{cm}^2.
    • Confirmação: aumento de aproximadamente 0{,}086\\ \mathrm{cm}^2, isto é, cerca de 0{,}44\%.

Resposta

(c)

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