Uma indústria utiliza bobinas em sua linha de produção. As bobinas possuem uma vida útil média de 22000 horas, seguindo uma distribuição exponencial para seu tempo de falha. Determine a confiabilidade e a taxa de falha, utilizando as relações:
h(t)=f(t)R(t) R(t)=e^-t / theta f(t)=1theta e^-t / theta

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado é o seguinte: uma bobina tem vida média de 22 000 horas e o tempo de falha segue a distribuição exponencial. A gente precisa encontrar duas coisas:
  • a confiabilidade R(t)=e^-t/theta, f(t)=1theta e^-t/theta, h(t)=f(t)R(t) (probabilidade de a bobina ainda estar funcionando até o tempo ),
  • a taxa de falha (também chamada de hazard rate).
Matéria envolvida: distribuição exponencial em confiabilidade. Vamos usar as fórmulas dadas:
Aqui é a vida média, que vale 22 000 horas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender por que a distribuição é exponencial e como essas fórmulas surgem.
  • A distribuição exponencial é usada quando o risco de falha é constante ao longo do tempo.
  • A densidade de probabilidade é R(t)=integralt^infty f(x),dx = e^-t/theta .
  • A confiabilidade, que é h(t)=f(t)R(t) , é dada pelo complemento da função de distribuição acumulada, resultando em
  • A taxa de falha mede a probabilidade instantânea de falhar no instante , dado que atingiu sem falhar. Por definição,

Passo 3

Agora substituímos R(t) = e^-t/22000 horas nas fórmulas:
  1. Confiabilidade:
Isso quer dizer que, quanto maior , menor a probabilidade de ainda estar funcionando.

Passo 4

  1. Taxa de falha:
h(t) = f(t)R(t) = 122000e^-t/22000e^-t/22000 = 122000
Repara que é constante (característica da exponencial): a cada hora que passa, a “chance instantânea” de falha não muda e vale por hora.

Resposta

Confiabilidade:
boxedR(t)=e^-t/22000
Taxa de falha (constante):
boxedh(t)=122000 (h^-1)

Exercícios relacionados