Uma massa de 1 kg de hélio, com pressão de 800 kPa e volume de 0,5 m^3, sofre uma expansão isotérmica até a pressão de 350 kPa . Na sequência, passa por uma expansão adiabática até a pressão de 150 kPa . Por último, é comprimido isotermicamente até a pressão de 220 kPa . Determine:
Dados: k=1,667 / R=2,077 kJ / kg cdot K
b) 0 volume e a temperatura final do gás.
Respostas: b) V4=1,30 m^3 / T4=137,70 K

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Temos uma massa de 1 kg de hélio que começa com uma pressão de 800 kPa e um volume de . Essa massa passa por três processos diferentes:
  1. Expansão isotérmica até a pressão de 350 kPa.
  2. Expansão adiabática até a pressão de 150 kPa.
  3. Compressão isotérmica até a pressão de 220 kPa.
Queremos descobrir o volume final ( ) e a temperatura final ( ) do gás após esses processos. Para resolver isso, vamos usar as leis dos gases ideais e as equações que descrevem os processos isotérmico e adiabático. As fórmulas que vamos precisar estão representadas em LaTeX para facilitar a visualização.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a expansão isotérmica. Nesse tipo de processo, a temperatura permanece constante. A equação que usamos é:
P1 V1 = P2 V2
Onde:
  • V2 = P1 V1P2 = 800, kPa times 0,5, m^3350, kPa approx 1,14, m^3
  • é o volume após a expansão isotérmica que queremos encontrar.
Vamos rearranjar a equação para encontrar :

Passo 3

Agora, vamos para a expansão adiabática. Nesse processo, não há troca de calor com o ambiente, e a relação entre pressão e volume é dada por:
P2 V2^k = P3 V3^k
Onde:
  • V3 = V2 ( P2P3 )^1k = 1,14, m^3 ( 350150 )^11,667 approx 2,34, m^3
  • é o volume após a expansão adiabática que queremos encontrar.
Rearranjando para :

Passo 4

Finalmente, temos a compressão isotérmica onde a temperatura novamente permanece constante. Usamos a mesma equação da expansão isotérmica:
P3 V3 = P4 V4
Onde:
  • V4 = P3 V3P4 = 150, kPa times 2,34, m^3220, kPa approx 1,59, m^3
  • é o volume final que queremos encontrar.
Resolvendo para :

Passo 5

Agora, vamos encontrar a temperatura final ( T3 = T2 ( V2V3 )^k - 1 ). Como a última compressão foi isotérmica, a temperatura P1 V1 = m R T1 permanece igual à temperatura após a expansão adiabática ( T1 = P1 V1m R = 800 times 0,51 times 2,077 approx 192,62, K ). Para encontrar T3 = 192,62, K ( 1,142,34 )^1,667 - 1 approx 137,70, K , usamos a relação da expansão adiabática:
Mas primeiro, precisamos encontrar a temperatura inicial usando a equação dos gases ideais:
Onde:
Rearranjando para :
Como a primeira expansão foi isotérmica, .
Agora, calculando :

Resposta

b)

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