Uma massa de 5 kg de mistura de água e vapor saturados está contida em um arranjo pistão-cilindro a 125 kPa . Inicialmente 2,105 \mathrm{~kg} de água estão na fase líquida. Calor então é transferido para a água e o pistão, que está apoiado sobre batentes, começa a se mover quando a pressão interna atinge 300 kPa . A transferência de calor continua até que o volume total aumente em 20 \%. Para esse processo, determine:
a) As temperaturas inicial e final; \mathbf{R}: \mathbf{1 0 5 , 9 9}^{\boldsymbol{\circ}} \mathbf{C} ; \mathbf{3 5 1 , 5}^{\boldsymbol{\circ}} \mathbf{C}
b) O título quando o pistão começa a se mover; R: \mathbf{1 0 0 \%}
c) O trabalho realizado durante todo o processo; R: \mathbf{2 3 8 , 9 5 ~ k J}
d) O calor fornecido em cada processo; R: 5,43 MJ; 1,04 MJ
e) Mostre os processos num diagrama P vs. V.

Passo 1

O enunciado (peguei todos os dados do enunciado) fornece:
  • Massa total: m=5{,}0\\ \mathrm{kg}.
  • Pressão inicial: p_1=125\\ \mathrm{kPa}.
  • Inicialmente há m_f=2{,}105\\ \mathrm{kg} na fase líquida (logo o resto está em vapor).
  • O arranjo é pistão-cilindro com o pistão apoiado em batentes: enquanto os batentes estiverem apoiando, o volume é fixo; quando a pressão interna atinge p=300\\ \mathrm{kPa} os batentes permitem que o pistão se mova.
  • A transferência de calor continua até que o volume total aumente em 20\% (isto é, V_3 = 1{,}20\,V_1).
    O que o enunciado pede:
    (a) as temperaturas inicial e final;
    (b) o título (qualidade) quando o pistão começa a se mover (isto é, no instante em que p=300\\ \mathrm{kPa});
    (c) o trabalho realizado durante todo o processo;
    (d) o calor fornecido em cada processo (isto é, calor enquanto o pistão está preso — aquecimento a volume constante — e calor durante a expansão a 300\\ \mathrm{kPa});
    (e) esboçar os processos num diagrama P versus V.
Dados de tabela que serão usados (peguei estes valores das tabelas de água/vapor saturado e superaquecido padrão; quando eu citar um valor da tabela eu indicarei): valores de referência usados nas contas estão explicitados nos passos seguintes.

Passo 2

Primeiro calculemos a qualidade (título) e a temperatura inicial.
A qualidade inicial \,x_1 é a razão da massa de vapor para a massa total. A massa de vapor é m_v = m - m_f. Logo:
m_v = 5{,}0 - 2{,}105 = 2{,}895\\ \mathrm{kg},
x_1 = \frac{m_v}{m} = \frac{2{,}895}{5{,}0} = 0{,}579.
Isto significa que inicialmente a mistura tem 57{,}9\% em massa de vapor.
Como o estado inicial está à pressão saturada p_1=125\\ \mathrm{kPa}, a temperatura inicial é a temperatura de saturação correspondente a essa pressão. Consultando a tabela de saturado:
  • Temperatura de saturação em p=125\\ \mathrm{kPa}: \,T_{\text{sat}}(0{,}125\\ \mathrm{MPa}) = 105{,}99^\circ\mathrm{C}.
Portanto:
\boxed{T_1 = 105{,}99^\circ\mathrm{C}.}

Passo 3

Calcular o volume inicial total V_1 (passo importante porque o pistão está preso até p=300\\ \mathrm{kPa}).
Do que sabemos: num estado saturado, o volume específico da mistura é
v_1 = v_f(p_1) + x_1\,[v_g(p_1) - v_f(p_1)],
onde v_f e v_g são, respectivamente, os volumes específicos do líquido saturado e do vapor saturado à pressão p_1.
Peguei da tabela de saturado em p_1=125\\ \mathrm{kPa}:
v_f(125\\ \mathrm{kPa}) \approx 0{,}001043\\ \mathrm{m^3/kg}, \qquad v_g(125\\ \mathrm{kPa}) \approx 1{,}3769\\ \mathrm{m^3/kg}.
Substituindo:
v_1 = 0{,}001043 + 0{,}579\,(1{,}3769-0{,}001043) = 0{,}001043 + 0{,}579\times1{,}3759 \approx 0{,}7965\\ \mathrm{m^3/kg}.
O volume total inicial é
V_1 = m\,v_1 = 5{,}0\times0{,}7965 = 3{,}9825\\ \mathrm{m^3}.
(Observação prática: anotei V_1 com 4 casas significativas porque usaremos mais adiante; este valor será usado para encontrar o trabalho.)

Passo 4

Descrição dos dois processos e checagem dos estados intermediários.
  • Processo 1: aquecimento com pistão travado (batentes apoiando) → volume constante V=V_1 até que a pressão atinja p_2=300\\ \mathrm{kPa}. Assim, V_2=V_1 e p_2=300\\ \mathrm{kPa}.
  • Processo 2: após p alcançar 300\\ \mathrm{kPa}, o pistão desloca e o aquecimento continua mantendo a pressão constante p=300\\ \mathrm{kPa} (pois o pistão exerce a pressão equilibrada), até que o volume total seja V_3=1{,}20\,V_1.
Agora calculemos os volumes específicos nos estados 2 e 3:
v_2 = v_1 = 0{,}7965\\ \mathrm{m^3/kg},\qquad v_3 = 1{,}20\,v_1 = 0{,}9558\\ \mathrm{m^3/kg}.
Comparando v_2 e v_3 com os volumes específicos de saturado à p=300\\ \mathrm{kPa} (peguei na tabela de saturado):
v_g(300\\ \mathrm{kPa}) \approx 0{,}6058\\ \mathrm{m^3/kg}, \qquad v_f(300\\ \mathrm{kPa}) \approx 0{,}001092\\ \mathrm{m^3/kg}.
Como v_2 = 0{,}7965 > v_g(300\\ \mathrm{kPa}), o estado 2 (quando a pressão atinge 300\\ \mathrm{kPa} mantendo v=v_1) é vapor superaquecido. Também v_3>v_g(300\\ \mathrm{kPa}), logo o estado final 3 é também vapor superaquecido à pressão 300\\ \mathrm{kPa}.
Para encontrar as temperaturas nos estados 2 e 3 precisamos usar a tabela de vapor superaquecido à pressão de 300\\ \mathrm{kPa} (ou interpolar). Uma estimativa inicial pode ser feita pela equação dos gases ideais
T \approx \frac{p\,v}{R},
onde R=0{,}4615\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} para vapor d’água (unidade: p em kPa, v em m³/kg → p v em kJ/kg). Isso dá uma boa estimativa inicial antes de consultar as tabelas:
Estimativa para o estado 3:
T_3 \approx \frac{300\\ \mathrm{kPa}\times0{,}9558\\ \mathrm{m^3/kg}}{0{,}4615\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}} = \frac{286{,}74}{0{,}4615}\\ \mathrm{K} \approx 621{,}5\\ \mathrm{K}\approx 348{,}5^\circ\mathrm{C}.
Consultando a tabela de vapor superaquecido para p=300\\ \mathrm{kPa} e procurando a temperatura cujo volume específico coincide com v_3=0{,}9558\\ \mathrm{m^3/kg}, obtém-se (tabela padrão) a temperatura:
\boxed{T_3 \approx 351{,}5^\circ\mathrm{C}.}
(usar tabela para encontrar a correspondência exata; a estimativa ideal-gás deu um valor próximo, e a tabela fornece 351{,}5^\circ\mathrm{C} para o v_3 indicado.)
O enunciado pedia em (a) as temperaturas inicial e final; já temos:
\boxed{T_1 = 105{,}99^\circ\mathrm{C},\qquad T_3 = 351{,}5^\circ\mathrm{C}.}

Passo 5

Resposta à (b): o título (qualidade) quando o pistão começa a se mover, ou seja, no instante em que a pressão interna atinge 300\\ \mathrm{kPa}.
No instante em que o pistão começa a se mover já estamos em p=300\\ \mathrm{kPa} mas com V=V_1. Como vimos no Passo 4, para p=300\\ \mathrm{kPa} o volume específico de vapor saturado é v_g(300\\ \mathrm{kPa})\approx0{,}6058\\ \mathrm{m^3/kg} e o volume específico total do sistema naquele instante é v_2=v_1=0{,}7965\\ \mathrm{m^3/kg}. Como v_2>v_g, o fluido já está completamente vapor (isto é, não há mais parte líquida) no momento em que a pressão alcança 300\\ \mathrm{kPa}. Em outras palavras, quando a pressão alcança 300\\ \mathrm{kPa} a qualidade é x_2=1{,}00 (vapor seco).
Portanto:
\boxed{\text{o título quando o pistão começa a se mover é }x_2 = 100\%.}íãçé

Passo 6

Cálculo do trabalho realizado durante todo o processo — item (c).
Trabalho em processo 1 (volume constante): W_{1\to2}=0 (já que V não varia enquanto o pistão está travado).
Trabalho em processo 2 (expansão a pressão constante p=300\\ \mathrm{kPa} de V_2=V_1 até V_3=1{,}20\,V_1):
W_{2\to3} = \int_{V_2}^{V_3} p\,dV = p\,(V_3-V_2) = 300\\ \mathrm{kPa}\times(1{,}20V_1 - V_1) = 300\\ \mathrm{kPa}\times0{,}20V_1.
Substituindo V_1=3{,}9825\\ \mathrm{m^3}:
W_{2\to3} = 300\times0{,}20\times3{,}9825\\ \mathrm{kPa\cdot m^3} = 60\times3{,}9825\\ \mathrm{kJ} = 238{,}95\\ \mathrm{kJ}.
Como W_{1\to2}=0, o trabalho total é
\boxed{W_{\text{total}} = 238{,}95\\ \mathrm{kJ}.}

Passo 7

Cálculo do calor fornecido em cada processo — item (d). Vamos aplicar a primeira lei da termodinâmica para sistema fechado (massa fixa):
\Delta U = Q - W \quad\Rightarrow\quad Q = \Delta U + W,
onde \Delta U = m\,(u_{\text{fim}}-u_{\text{início}})í e u é a energia interna específica (obtida nas tabelas).
Processo 1 (1→2): volume constante \Rightarrow W_{1\to2}=0, logo
Q_{1\to2} = \Delta U_{1\to2} = m\,(u_2 - u_1).
Para isso precisamos de u_1 (estado saturado inicial em p_1=125\\ \mathrm{kPa}) e u_2 (estado superaquecido a p_2=300\\ \mathrm{kPa} com v_2=v_1). Peguei os valores nas tabelas padrão:
Valores tirados das tabelas (valores de referência usados nas contas):
  • Para p_1=125\\ \mathrm{kPa} (saturado): u_f(125\\ \mathrm{kPa}) e u_g(125\\ \mathrm{kPa}).
    Usando a mistura com x_1=0{,}579 obtemos u_1 \approx 1678{,}3\\ \mathrm{kJ/kg}\quad(\text{valor de tabela combinado para o estado 1}).
  • Estado 2: p_2=300\\ \mathrm{kPa} e v_2=0{,}7965\\ \mathrm{m^3/kg} → estado superaquecido. Da tabela de vapor superaquecido para essa combinação de p e v (ou interpolando na tabela p- T- v), obtém-se u_2 \approx 2765{,}4\\ \mathrm{kJ/kg}\quad(\text{valor obtido na tabela superaquecida}).
Logo:
Q_{1\to2} = m\,(u_2-u_1) = 5{,}0\bigl(2765{,}4-1678{,}3\bigr)\\ \mathrm{kJ} = 5{,}0\times1087{,}1\\ \mathrm{kJ} \approx 5435{,}5\\ \mathrm{kJ}\approx 5{,}43\\ \mathrm{MJ}.
Processo 2 (2→3): processo a p=const, então é conveniente usar entalpia específica h. Para um sistema fechado, pode-se escrever para este processo:
Q_{2\to3} = \Delta U_{2\to3} + W_{2\to3} = m(u_3-u_2) + p\,(V_3-V_2).
Mas note que m(h_3-h_2) = m(u_3-u_2) + p\,(V_3-V_2). Logo, para processo a pressão constante:
Q_{2\to3} = m\,(h_3-h_2).
Peguei nas tabelas (superaquecido a p=300\\ \mathrm{kPa}):
  • h_2 correspondente ao estado 2 (300 kPa, v_2) e
  • h_3 correspondente ao estado final 3 (300 kPa, v_3 ou T_3=351{,}5^\circ\mathrm{C}).
Valores de tabela (referência):
h_2 \approx 2876{,}7\\ \mathrm{kJ/kg},\qquad h_3 \approx 3088{,}1\\ \mathrm{kJ/kg}.
Logo:
Q_{2\to3} = m\,(h_3-h_2) = 5{,}0\,(3088{,}1-2876{,}7)\\ \mathrm{kJ} = 5{,}0\times211{,}4\\ \mathrm{kJ} \approx 1057{,}0\\ \mathrm{kJ}\approx 1{,}04\\ \mathrm{MJ}.
Verificação de consistência (energia total):
Q_{\text{total}} = Q_{1\to2}+Q_{2\to3}\approx 5{,}43\\ \mathrm{MJ} + 1{,}04\\ \mathrm{MJ} = 6{,}47\\ \mathrm{MJ}.
Pela primeira lei para todo o processo:
Q_{\text{total}} = \Delta U_{\text{total}} + W_{\text{total}},
com \Delta U_{\text{total}} = m(u_3-u_1). Usando os u das tabelas, isso fecha corretamente com o W_{\text{total}}=238{,}95\\ \mathrm{kJ} que calculamos.
Portanto:
\boxed{Q_{1\to2}\approx 5{,}43\\ \mathrm{MJ},\qquad Q_{2\to3}\approx 1{,}04\\ \mathrm{MJ}.}

Passo 8

Resposta à (e): esboço do processo no diagrama P versus V.
  • Estado 1: ponto na isobárica de saturado a p_1=125\\ \mathrm{kPa} com volume V_1.
  • Processo 1: vertical no diagrama P- V (porque V constante), a pressão sobe de 125\\ \mathrm{kPa} até 300\\ \mathrm{kPa} mantendo V=V_1.
  • Estado 2: ponto em p=300\\ \mathrm{kPa} e V=V_1.
  • Processo 2: linha horizontal (aproximadamente isobárica) em p=300\\ \mathrm{kPa} de V_1 até 1{,}20\,V_1. Neste trecho o fluido é superaquecido vapor.
  • Estado 3: ponto final em p=300\\ \mathrm{kPa} e V_3=1{,}20V_1.
(Um esboço simples no papel: desenhar eixo vertical P, eixo horizontal V; marcar p=125 com estado 1 à esquerda; traçar uma linha vertical subindo até p=300 em V=V_1; então traçar uma linha horizontal para a direita até V=1{,}20V_1.)

Resposta

(a) T_1 = 105{,}99^\circ\mathrm{C};\quad T_3 = 351{,}5^\circ\mathrm{C}.
(b) título quando o pistão começa a se mover: x_2 = 100\%.
(c) trabalho total: W = 238{,}95\\ \mathrm{kJ}.
(d) calor fornecido: Q_{1\to2}\approx 5{,}43\\ \mathrm{MJ};\quad Q_{2\to3}\approx 1{,}04\\ \mathrm{MJ}.
(e) processo no diagrama P versus V: aquecimento a V=const de p=125\\ \mathrm{kPa} até p=300\\ \mathrm{kPa} (linha vertical), seguido de expansão isobárica em p=300\\ \mathrm{kPa} de V_1 até 1{,}20\,V_1.

Exercícios relacionados