Em relação a 1 kg de um material qualquer, determine:
a) Qual a variação de altura necessária para que sua energia potencial mude em 1 kJ ; R: \mathbf{1 0 2 , 0 4} \mathbf{~ m}
b) Para o corpo em repouso, a que velocidade ele deve ser acelerado para mudar a energia cinética em 1 \mathrm{~kJ} ; \mathbf{R : ~} \mathbf{4 4 , 7 2 ~ m} / \mathrm{s}
c) A que conclusões estes resultados conduzem? R: a queda de um corpo de uma altura de 102,04 m é equivalente a acelerar este mesmo corpo a uma velocidade de 44,72 m/s

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados fornecidos (tudo que vem do enunciado).
  • Pedido (três partes):
    a) Determinar a variação de altura necessária para que a energia potencial mude em 1\\ \text{kJ}.
    b) Para um corpo em repouso com massa dada, determinar a velocidade necessária para que sua energia cinética aumente em 1\\ \text{kJ}.
    c) Interpretar / concluir o significado físico dos resultados obtidos em (a) e (b).
  • Dados fornecidos:
    • Massa do corpo: m = 1\\ \text{kg} (peguei do enunciado: “Em relação a 1\\ \text{kg} de um material qualquer”).
    • Variação de energia desejada: \Delta E = 1\\ \text{kJ} = 1000\\ \text{J} (conversão de quilojoule para joule).
  • Observação sobre a gravidade: usarei o valor padrão aproximado g = 9,8\\ \text{m}\,\text{s}^{-2} (é o valor que parece ter sido usado para obter 102,04\\ \text{m} conforme a resposta indicada).

Passo 2

Entendendo a energia potencial gravitacional — a fórmula e o significado das variáveis (aula rápida e muito prática).
  • Definição: a energia potencial gravitacional de um corpo de massa m a uma altura h (em relação a uma referência) é
U = m g h,
onde:
  • U é a energia potencial (em joules, \text{J});
  • m é a massa (em quilogramas, \text{kg});
  • g é a aceleração da gravidade (em \text{m}\,\text{s}^{-2});
  • h é a altura (em metros, \text{m}).
  • Variação de energia potencial ao subir/baixar uma altura \Delta h:
\Delta U = m g \,\Delta h.
Isto significa que, se você quer mudar a energia potencial em uma quantidade conhecida, basta resolver essa equação para \Delta h. Explico passo a passo no próximo passo.

Passo 3

Cálculo da parte (a): encontrar \Delta h tal que \Delta U = 1000\\ \text{J}.
  • Escrevendo a equação da variação:
\Delta U = m g \,\Delta h.
  • Isolando \Delta h:
\Delta h = \frac{\Delta U}{m g}.
  • Substituindo os valores (peguei m=1\\ \text{kg}, \Delta U = 1000\\ \text{J} e usei g=9,8\\ \text{m}\,\text{s}^{-2}):
\Delta h = \frac{1000}{1\cdot 9,8}.
  • Fazendo a divisão (mostrando a conta para quem for fazer sem calculadora: 1000/9,8 = 10000/98. Dividindo ambos por 2: 5000/49. Agora 49\cdot 102 = 4998, portanto 5000/49 \approx 102,040816\ldots):
\Delta h \approx 102,040816\ldots\\ \text{m}.
Arredondando para duas casas decimais (como na resposta dada):
\Delta h \approx 102,04\\ \text{m}.
Comentário prático: isso significa que elevar 1\\ \text{kg} em cerca de 102\\ \text{m} aumenta sua energia potencial em 1\\ \text{kJ}.

Passo 4

Entendendo a energia cinética — fórmula, significado das variáveis e o raciocínio para a parte (b).
  • Definição: a energia cinética de um corpo com massa m e velocidade v é
K = \tfrac{1}{2} m v^2,
onde:
  • K é a energia cinética (em joules);
  • m é a massa (em \text{kg});
  • v é a velocidade (em \text{m}\,\text{s}^{-1}).
  • Se o corpo parte do repouso e queremos que sua energia cinética aumente em \Delta K = 1000\\ \text{J}, devemos resolver
\Delta K = \tfrac{1}{2} m v^2 = 1000\\ \text{J}
para v. Vou mostrar passo a passo como isolar v.

Passo 5

Cálculo da parte (b): encontrar v tal que \tfrac{1}{2} m v^2 = 1000\\ \text{J}.
  • Isolando v:
v^2 = \frac{2\Delta K}{m}, \qquad v = \sqrt{\frac{2\Delta K}{m}}.
  • Substituindo m=1\\ \text{kg} e \Delta K = 1000\\ \text{J}:
v = \sqrt{\frac{2\cdot 1000}{1}} = \sqrt{2000}.
  • Calculando a raiz (mostrando a ideia manual: 44^2 = 1936, 45^2 = 2025, então a raiz de 2000 está entre 44 e 45; interpolando dá cerca de 44,72):
v \approx 44,72135955\ldots\\ \text{m}\,\text{s}^{-1}.
Arredondando para duas casas decimais:
v \approx 44,72\\ \text{m}\,\text{s}^{-1}.

Passo 6

Comparação física e conclusão — explicando a parte (c) com derivação e interpretação.
  • Energia mecânica (em ausência de atrito) se conserva: energia potencial perdida ao cair vira energia cinética. Matematicamente, igualando a variação pedida:
m g h = \tfrac{1}{2} m v^2.
  • Cancelando m (desde que m\ne 0) e isolando v:
v = \sqrt{2 g h}.
  • Se na parte (a) escolhemos h \approx 102,04\\ \text{m} com g=9,8\\ \text{m}\,\text{s}^{-2}, então
v = \sqrt{2\cdot 9,8 \cdot 102,040816\ldots} = \sqrt{2000} \approx 44,72\\ \text{m}\,\text{s}^{-1},
que coincide com o valor da parte (b).
  • Interpretação em linguagem simples e amigável: aumentar a energia potencial de 1\\ \text{kJ} subindo 1\\ \text{kg} em \approx 102,04\\ \text{m} é energeticamente equivalente (ignorando perdas) a acelerar esse mesmo 1\\ \text{kg} desde o repouso até \approx 44,72\\ \text{m/s}. Em outras palavras, a queda livre de 102,04\\ \text{m} fornece energia cinética de 1\\ \text{kJ} ao atingir o solo, o que corresponde à mesma velocidade de 44,72\\ \text{m/s}.
  • Comentário motivacional: isso mostra como transformar energia de um tipo em outro (potencial ↔ cinética) é uma ferramenta poderosa para estimativas rápidas na prova — e é exatamente o tipo de raciocínio que cai bastante.

Resposta

a) 102,04\\ \text{m}
b) 44,72\\ \text{m}\,\text{s}^{-1}
c) A queda de um corpo de uma altura de 102,04\\ \text{m} é energeticamente equivalente a acelerar esse mesmo corpo até 44,72\\ \text{m}\,\text{s}^{-1} (ignorando perdas).

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