Mostre que:
Cp-CV=[p+(partial Upartial V)T](partial Vpartial T)p
Interprete cada termo da equação acima. Mostre que para um gás ideal:
cp-cV=R

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a relação entre as capacidades térmicas a pressão e a volume constantes,
Cp-CV=gl[p+l(tfracpartial Upartial Vr)Tgr]l(tfracpartial Vpartial Tr)p,
interpretar cada termo físico e, em seguida, verificar que para um gás ideal a relação se reduz a
cp-cV=R
Vamos usar as definições de energia interna U, entalpia H=U+pV e as capacidades térmicas
CV=l(tfracpartial Upartial Tr)V, Cp=l(tfracpartial Hpartial Tr)p,
além de regras de derivadas parciais para funções de duas variáveis.

Passo 2

Começamos escrevendo
H = U + pV
Como p é mantida constante ao computar Cp, temos
Cp = l(tfracpartial Hpartial Tr)p = l(tfracpartial Upartial Tr)p + l(tfracpartial (pV)partial Tr)p = l(tfracpartial Upartial Tr)p + p,l(tfracpartial Vpartial Tr)p
Logo,
Cp-CV = l[l(tfracpartial Upartial Tr)p - l(tfracpartial Upartial Tr)Vr] + p,l(tfracpartial Vpartial Tr)p

Passo 3

Para tratar a diferença
l(tfracpartial Upartial Tr)p-l(tfracpartial Upartial Tr)V,
usamos que U=U(T,V). Pelo teorema das derivadas parciais,
l(tfracpartial Upartial Tr)p = l(tfracpartial Upartial Tr)V + l(tfracpartial Upartial Vr)T l(tfracpartial Vpartial Tr)p
Subtraindo l(tfracpartial Upartial Tr)V de ambos os lados, obtemos
l(tfracpartial Upartial Tr)p - l(tfracpartial Upartial Tr)V = l(tfracpartial Upartial Vr)T l(tfracpartial Vpartial Tr)p

Passo 4

Substituindo esse resultado em Cp-CV do Passo 2, vem
Cp-CV = l(tfracpartial Upartial Vr)T l(tfracpartial Vpartial Tr)p + p,l(tfracpartial Vpartial Tr)p = l[p+l(tfracpartial Upartial Vr)Tr] l(tfracpartial Vpartial Tr)p,
que é justamente a fórmula pedida.

Passo 5

Interpretação física dos termos:
  • p,(partial V/partial T)p: é a variação de trabalho mecânico p,dV quando o sistema aquece e expande a pressão constante.
  • l(tfracpartial Upartial Vr)T,(partial V/partial T)p: é a variação de energia interna associada à mudança de volume a temperatura fixa, vezes a mudança de volume que ocorre quando alteramos a temperatura a pressão fixa. Esse termo só existe se a energia interna depender de V, como em gases reais com interações.

Passo 6

Para um gás ideal, sabemos que
U=U(T)Longrightarrow l(tfracpartial Upartial Vr)T=0,
e a equação de estado é pV=nRT. Assim,
l(tfracpartial Vpartial Tr)p = nRp
Logo
Cp-CV = p;nRp = nR
Dividindo pelas quantidades de matéria (moles) obtemos a forma molar
cp-cV=R

Resposta

Cp-CV =l[p+(partial U/partial V)Tr];(partial V/partial T)p, e para gás ideal cp-cV=R á

Exercícios relacionados