As definições gerais para o coeficiente de dilatação térmica (
) e o coeficiente de compressibilidade (
) são dadas, respectivamente, por:
e
Para pequenas variações de temperatura e pressão encontre as expressões para
e
Passo 1
O enunciado dá as definições de coeficiente de dilatação térmica
e de coeficiente de compressibilidade
e pede as expressões de
em função de
(à pressão constante) e de
em função de
(à temperatura constante) para pequenas variações. Vamos tratar cada caso como uma equação diferencial separável, assumindo
e
constantes.
Passo 2
Para
a pressão é fixa, logo
Isso dá a equação diferencial
Separamos variáveis:
e integramos entre um estado de referência
e
:
Passo 3
Exponenciando, obtemos
Para pequenas variações
podemos usar a expansão em série até a ordem linear:
Passo 4
Para
a temperatura é fixa, logo
Isso dá a equação diferencial
Separamos variáveis:
e integramos entre o estado de referência
e
:
Passo 5
Exponenciando, obtemos
Para pequenas variações
usamos a expansão linear: