As definições gerais para o coeficiente de dilatação térmica ( alpha ) e o coeficiente de compressibilidade ( kappa ) são dadas, respectivamente, por:
alpha=1V(partial Vpartial T)P
e
kappa=-1V(partial Vpartial p)T
Para pequenas variações de temperatura e pressão encontre as expressões para V=V(T) e V=V(p)

Passo 1

O enunciado dá as definições de coeficiente de dilatação térmica
alpha=1Vl(partial Vpartial Tr)P
e de coeficiente de compressibilidade
kappa=-1Vl(partial Vpartial pr)T,
e pede as expressões de V em função de T (à pressão constante) e de V em função de p (à temperatura constante) para pequenas variações. Vamos tratar cada caso como uma equação diferencial separável, assumindo alpha e kappa constantes.

Passo 2

Para V(T) a pressão é fixa, logo
l(partial Vpartial Tr)P=alpha,V
Isso dá a equação diferencial
dVdT=alpha,V
Separamos variáveis:
dVV=alpha,dT
e integramos entre um estado de referência (T0,V0) e (T,V):
integralV0^VdV'V'=alphaintegralT0^TdT' Longrightarrow lnVV0=alpha,(T-T0)

Passo 3

Exponenciando, obtemos
V(T)=V0,expl[alpha,(T-T0)r]
Para pequenas variações De<a T=T-T0 podemos usar a expansão em série até a ordem linear:
V(T)approx V0l[1+alpha,(T-T0)r]

Passo 4

Para V(p) a temperatura é fixa, logo
l(partial Vpartial pr)T=-kappa,V
Isso dá a equação diferencial
dVdp=-kappa,V
Separamos variáveis:
dVV=-kappa,dp
e integramos entre o estado de referência (p0,V0) e (p,V):
integralV0^VdV'V'=-kappaintegralp0^pdp' Longrightarrow lnVV0=-kappa,(p-p0)

Passo 5

Exponenciando, obtemos
V(p)=V0,expl[-kappa,(p-p0)r]
Para pequenas variações De<a p=p-p0 usamos a expansão linear:
V(p)approx V0l[1-kappa,(p-p0)r]

Resposta

V(T)=V0,expl[alpha(T-T0)r]approx V0[1+alpha(T-T0)]
V(p)=V0,expl[-kappa(p-p0)r]approx V0[1-kappa(p-p0)]

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