1- (3,0) Um motor Ciclo Otto opera com razão de compressão volumétrica de 10,5. Este motor tem três cilindros de 71 mm (diâmetro) e 73 mm (comprimento de curso do pistão) como estimativa, já que este tipo de informação é difícil de obter em manuais. A rotação de operação do motor nesta questão é de 2000 rpm . No início do processo, o ar está a 101,3 \mathrm{kPa} e 22^{\circ} \mathrm{C}. A partir do apresentado, determine: a) Pressão e temperatura em cada ponto de operação; b) a eficiência do ciclo; c) A potência líquida total do motor; d) a pressão média efetiva. Dados: \mathrm{cp}_{\mathrm{ar}}=1,005 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}-\mathrm{K} ; \mathrm{cv}_{\mathrm{ar}}=0,7175 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}-\mathrm{K} ; \mathrm{R}_{\mathrm{ar}}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido (sem resolver ainda).
Dados fornecidos (peguei estes números do enunciado):
  • razão de compressão volumétrica: r=10{,}5.
  • número de cilindros: N_{\text{cil}}=3.
  • diâmetro do cilindro: D=71\\ \text{mm}=0{,}071\\ \text{m}.
  • curso (stroke): L=73\\ \text{mm}=0{,}073\\ \text{m}.
  • rotação do motor: N_{\text{rpm}}=2000\\ \text{rpm}.
  • condições iniciais (estado 1, entrada do compressor): P_1=101{,}3\\ \text{kPa} e T_1=22^\circ\text{C}=295\\ \text{K}.
  • capacidades térmicas do ar: c_p=1{,}005\\ \text{kJ/kg K} e c_v=0{,}7175\\ \text{kJ/kg K}.
  • falta explícita no enunciado: quantidade de calor fornecida na combustão (ou temperatura máxima T_3) — NOTA: sem o valor de calor adicionado (ou T_3) não é possível obter numericamente T_3, P_3, T_4, P_4, nem a potência numérica final e a pressão média efetiva numérica. Vou explicar passo a passo como obter tudo e dar as fórmulas/expressões onde o dado faltante aparece; onde for possível dou números (estados 1 e 2, volumes, massa por ciclo, eficiência), e onde faltar dado apresento a dependência explícita de T_3 (ou do calor adicionado q_{in}).
O que o enunciado pede:
(a) pressão e temperatura em cada ponto do ciclo (estados 1,2,3,4);
(b) eficiência do ciclo;
(c) potência líquida total do motor;
(d) pressão média efetiva.

Passo 2

Calcular constantes úteis: \gamma e R. Explicação curta de conceitos:
  • Para um gás perfeito (ar) com c_p e c_v constantes, \gamma=\dfrac{c_p}{c_v} é a razão dos calores e R=c_p-c_v é a constante do gás por unidade de massa. Unidades: c_p,c_v em \text{kJ/kg K} e R também em \text{kJ/kg K}.
Cálculo:
\gamma=\dfrac{c_p}{c_v}=\dfrac{1{,}005}{0{,}7175}\approx 1{,}400697,
R=c_p-c_v=1{,}005-0{,}7175=0{,}2875\\ \text{kJ/kg K}.
Comentário didático rápido: \gamma governa as relações isotérmicas/isentrópicas do ciclo (por ex. T_2=T_1 r^{\gamma-1} para compressão isentrópica), e R entra na equação de estado P V = m R T (com P em kPa e V em m^3, P V tem unidade kJ).

Passo 3

Volume por cilindro e volumes nos pontos do ciclo. Ensino rápido: em ciclo Otto temos volume máximo V_1 (pistão no ponto morto inferior) e volume mínimo (clearance) V_2 (pistão no ponto morto superior). A razão de compressão é r=V_1/V_2. O volume deslocado (swept volume) por cilindro é V_s = \text{área da seção} \times Láçã.
Cálculos:
área do cilindro:
A=\pi\frac{D^2}{4}=\pi\frac{(0{,}071)^2}{4}\approx 0{,}003958\\ \text{m}^2.
swept volume (por cilindro)
V_s = A\cdot L \approx 0{,}003958\cdot 0{,}073 \approx 0{,}000288934\\ \text{m}^3.
clearance volume V_c (volume mínimo) usando V_s=V_1-V_2 e r=V_1/V_2\Rightarrow V_c=V_2=\dfrac{V_s}{r-1}:
V_2=V_c=\frac{V_s}{r-1}=\frac{0{,}000288934}{10{,}5-1}\approx 3{,}0414\times 10^{-5}\\ \text{m}^3.
volume máximo
V_1=V_s+V_c\approx 0{,}000288934+3{,}0414\times 10^{-5}\approx 0{,}000319348\\ \text{m}^3.
Didática: estes volumes servem para calcular a massa admitida por cilindro (usar equação do gás ideal no ponto 1) e depois a pressão média efetiva (dividindo trabalho por ciclo pelo deslocamento V_s).

Passo 4

Massa de ar por ciclo por cilindro e frequência de ciclos. Explicação: pela equação de estado ideal, m=\dfrac{P_1 V_1}{R T_1}. Unidades coerentes: P em kPa, V em m^3, R em kJ/kgK e T em K — então P V em kJ, R em kJ/kgK, resultado em kg.
Cálculo:
m=\frac{P_1 V_1}{R T_1}=\frac{101{,}3\cdot 0{,}000319348}{0{,}2875\cdot 295}\\ \text{kg}\approx 3{,}8139\times 10^{-4}\\ \text{kg (por ciclo por cilindro).}
Frequência de ciclos por cilindro (motor 4 tempos / 4-stroke): um ciclo completo a cada 2 voltas do virabrequim, logo
f_{\text{cic}}=\frac{N_{\text{rpm}}}{60}\cdot\frac{1}{2}=\frac{2000}{120}=16{,}6667\\ \text{s}^{-1}.
Massa de ar admitida por segundo (todas os cilindros):
\dot m_{\text{ar,total}}=m\cdot f_{\text{cic}}\cdot N_{\text{cil}} \approx 3{,}8139\times 10^{-4}\cdot 16{,}6667\cdot 3 \approx 0{,}01907\\ \text{kg/s}.
Comentário motivador: ótimo — já temos a massa que entra no motor por segundo, informação necessária para potência se soubermos o calor por kg.

Passo 5

Estados 1→2 (compressão isentrópica): calcular T_2 e P_2. Didática das fórmulas isentrópicas:
  • Para compressão isentrópica (processo 1→2): \;T_2=T_1\; r^{\gamma-1}.
  • Pressão: \;P_2=P_1\; r^{\gamma} (porque P\propto V^{-\gamma} e V_1/V_2=r).
Cálculos numéricos:
r^{\,\gamma-1}=10{,}5^{\,\gamma-1}=10{,}5^{\,0{,}400697}\approx 2{,}5646,
T_2=T_1\, r^{\gamma-1}=295\cdot 2{,}5646\approx 756{,}6\\ \text{K}.
r^{\gamma}=r\cdot r^{\gamma-1}\approx 10{,}5\cdot 2{,}5646\approx 26{,}928,
P_2=P_1\, r^{\gamma}\approx 101{,}3\cdot 26{,}928\approx 2727{,}8\\ \text{kPa}.
Observação: estas duas quantidades ( T_2,P_2) ficam totalmente determinadas pelo estado inicial e por r e \gamma — por isso conseguimos números.

Passo 6

Estados 2→3 (adiabático de volume constante, é onde se adiciona calor) e 3→4 (expansão isentrópica): relações gerais e dependência do calor adicionado.
Explicação didática:
  • Processo 2→3: volume constante ( V_2=V_3), então pressão é proporcional à temperatura: \dfrac{P_3}{P_2}=\dfrac{T_3}{T_2}. A quantidade de calor adicionada por unidade de massa é \;q_{in}=c_v (T_3-T_2).
  • Processo 3→4: isentrópico, com V_4=V_1 e V_3=V_2, então
T_4=T_3\left(\frac{V_3}{V_4}\right)^{\gamma-1}=T_3\, r^{-(\gamma-1)},
P_4=P_3\left(\frac{V_3}{V_4}\right)^{\gamma}=P_3\, r^{-\gamma}.
Comentário importante: sem um valor numérico para T_3 (ou q_{in}), não é possível dar números para T_3,T_4,P_3,P_4. Portanto apresento as fórmulas de dependência (úteis na prova) e, se quiser, posso calcular valores numéricos assumindo um T_3 (por exemplo T_3=1800\\ \text{K} ou outro valor razoável) — mas não vou inventar T_3 sem sua permissão.

Passo 7

Eficiência do ciclo Otto. Ensino rápido e fórmula:
  • Para o ciclo Otto com calores específicos constantes, a eficiência depende só de r e \gamma:
\eta_{\text{otto}}=1-\frac{1}{r^{\gamma-1}}.
Cálculo numérico:
\eta=1-\frac{1}{10{,}5^{0{,}400697}}=1-\frac{1}{2{,}5646}\approx 1-0{,}3898\approx 0{,}6102.
Em porcentagem: \eta\approx 61{,}02\%.
Didática curta: isso mostra por que motores com maior razão de compressão são teoricamente mais eficientes (até o limite do autoignition e outros problemas reais).

Passo 8

Expressão para o trabalho líquido por unidade de massa (e por ciclo) e potência total do motor — dar expressão que mostra dependência de T_3.
Derivação (passo a passo):
  • Trabalho líquido por unidade de massa (energia por kg do ar) é w_{\text{net}}=q_{in}-q_{out}. Para Otto,
q_{in}=c_v(T_3-T_2),\qquad q_{out}=c_v(T_4-T_1).
Assim
w_{\text{net}}=c_v\big[(T_3-T_2)-(T_4-T_1)\big].
Usando T_4=T_3 r^{-(\gamma-1)} e T_2=T_1 r^{\gamma-1}, reorganizamos para uma forma útil:
w_{\text{net}}=c_v\Big[T_3\big(1-r^{-(\gamma-1)}\big)-T_1\big(r^{\gamma-1}-1\big)\Big].
Note que 1-r^{-(\gamma-1)}=\eta (a eficiência), então também pode escrever w_{\text{net}}= \eta\, c_v (T_3-T_2).
Cálculo do valor numérico simbólico com constantes já conhecidas:
  • Primeiro calcule T_2-T_1:
T_2-T_1\approx 756{,}6-295=461{,}6\\ \text{K}.
  • Valores numéricos dos coeficientes:
c_v (1-r^{-(\gamma-1)})=0{,}7175\cdot 0{,}6102\approx 0{,}43774\\ \text{(kJ/kg K multiplicador de }T_3),
c_v\big(r^{\gamma-1}-1\big)=0{,}7175\cdot (2{,}5646-1)\approx 0{,}7175\cdot 1{,}5646\approx 1{,}1239\\ (\text{kJ/kg}).
Mas atenção: para facilitar um formato com w_{\text{net}}=a T_3 - b:
w_{\text{net}}=0{,}43774\, T_3 - 331{,}14\\ \text{(kJ/kg)},
onde o termo constante foi obtido numericamente 0{,}7175\cdot 461{,}55\approx 331{,}14.
Agora trabalho por ciclo por cilindro:
W_{\text{ciclo,cil}}=m\;w_{\text{net}}\quad(\text{em kJ por ciclo por cilindro}).
Convertendo em potência (kW): potência por cilindro =W_{\text{ciclo,cil}}\cdot f_{\text{cic}}. Potência total:
\dot W_{\text{net,total}}=N_{\text{cil}}\; f_{\text{cic}}\; m\; w_{\text{net}}.
Colocando as constantes e simplificando em função de T_3 (com T_3 em K) obtemos (passo a passo numérico):
  • m\approx 3{,}8139\times 10^{-4}\\ \text{kg},
  • f_{\text{cic}}=16{,}6667\\ \text{s}^{-1},
  • N_{\text{cil}}=3.
Então (cálculo feito explicitamente):
\dot W_{\text{net,total}}(\text{kW})=3\cdot 16{,}6667\cdot 3{,}8139\times 10^{-4}\cdot\big(0{,}43774\,T_3 - 331{,}14\big).
Isso reduz (multiplicando constantes) a uma forma linear em T_3:
\dot W_{\text{net,total}}(\text{kW})\approx 0{,}008349\;T_3 - 6{,}315\quad\text{(com \(T_3\) em K).}
Interpretação: sem um valor numérico de T_3 não podemos dar um número final. Se, por exemplo, alguém assumisse T_3=2000\\ \text{K}, então a potência seria
\dot W\approx 0{,}008349\cdot 2000 - 6{,}315 \approx 16{,}698-6{,}315\approx 10{,}383\\ \text{kW}.
(Isto é apenas exemplificativo; não estou assumindo T_3 real para o motor do enunciado.)

Passo 9

Pressão média efetiva (IMEP) — definição e expressão útil.
Didática: a pressão média efetiva é definida como o trabalho líquido por ciclo dividido pelo deslocamento do cilindro (swept volume) e dá uma medida da “pressão média que, se aplicada ao deslocamento, produziria o mesmo trabalho”. Unidade prática: kPa (ou bar).
Fórmula:
p_{mef}=\frac{W_{\text{ciclo,cil}}}{V_s}=\frac{m\;w_{\text{net}}}{V_s}.
Usando os valores numéricos já calculados:
p_{mef}(\text{kPa})=\frac{3{,}8139\times 10^{-4}\, \big(0{,}43774\,T_3-331{,}14\big)}{0{,}000288934}.
Simplificando (constantes):
p_{mef}(\text{kPa})\approx 1{,}3205\big(0{,}43774\,T_3-331{,}14\big)\approx 0{,}5779\,T_3 - 437{,}0\\ \text{(kPa)}.
Novamente: sem T_3 não se obtém um número final. Exemplo ilustrativo: se T_3=2000\\ \text{K}, então
p_{mef}\approx 0{,}5779\cdot 2000 - 437{,}0\approx 718{,}8\\ \text{kPa}\\ (\approx 0{,}719\\ \text{MPa}).

Passo 10

Resumo do que foi calculado numericamente e o que depende de dado ausente. Dicas práticas para prova:
  • Para obter T_3 normalmente o enunciado dá q_{in} (kJ/kg) ou \Delta T ou T_3 diretamente. Se der q_{in}, use T_3=T_2+q_{in}/c_v.
  • Se for pedido apenas eficiência, ela depende só de r e \gamma (já calculada).
  • Para potência e IMEP numéricos precisa-se T_3 ou q_{in}.
  • Se quiser que eu escolha um T_3 “típico” e faço as contas numéricas completas (por ex. 1800 K, 2000 K), eu calculo na hora — mas como o enunciado não fornece, deixei as expressões prontas para uso imediato na prova.

Resposta

a) P_1=101{,}3\\ \text{kPa},\\ T_1=295\\ \text{K}.
T_2=T_1\,r^{\gamma-1}\approx 295\cdot 10{,}5^{0{,}400697}\approx 756{,}6\\ \text{K}.
P_2=P_1\,r^{\gamma}\approx 101{,}3\cdot 10{,}5^{1{,}400697}\approx 2727{,}8\\ \text{kPa}.
T_3 e P_3 dependem do calor adicionado; relações: P_3=P_2\frac{T_3}{T_2}.
T_4=T_3\,r^{-(\gamma-1)},\qquad P_4=P_3\,r^{-\gamma}.
b) \displaystyle \eta_{\text{otto}}=1-\frac{1}{r^{\gamma-1}}\approx 0{,}6102\\ (61{,}02\%).
c) Potência líquida total em função de T_3:
\dot W_{\text{net,total}}(\text{kW})\approx 0{,}008349\;T_3 - 6{,}315,
onde T_3 está em K. (Sem T_3 ou q_{in} não se pode dar um valor numérico único. Exemplo: para T_3=2000\\ \text{K}\Rightarrow \dot W\approx 10{,}38\\ \text{kW}.)
d) Pressão média efetiva em função de T_3:
p_{mef}(\text{kPa})=\frac{m\,w_{\text{net}}}{V_s}\approx 0{,}5779\,T_3 - 437{,}0\\ \text{(kPa)}.
(Com T_3 em K; sem T_3 não há único valor numérico. Exemplo: T_3=2000\\ \text{K}\Rightarrow p_{mef}\approx 718{,}8\\ \text{kPa}.)

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