7.4 Um motor que funciona com gás perfeito opera em um ciclo que, quando representado num diagrama P V, é um retângulo. Sejam P_{1} e P_{2}, respectivamente, as pressooes inferior e superior; sejam V_{1} e V_{2}, respectivamente, os volumes menor e maior.
(a) Calcule o trabalho realizado em um ciclo.
(b) Indique quais as partes do ciclo que envolvem fluxo de calor para o gás, e calcule a quantidade de calor esçoando para dentro do gás em um ciclo. (Suponha que as capacidades caloríficas são constantes.)
(c) Demonstre que a eficiência desta máquina é
\eta=\frac{\gamma-1}{\frac{\gamma P_{2}}{P_{2}-P_{1}}+\frac{V_{1}}{V_{2}-V_{1}}} .

Passo 1

O enunciado descreve um motor de gás ideal que executa um ciclo representado por um retângulo no diagrama P V. Os vértices são
(V_{1},P_{1})\to(V_{1},P_{2})\to(V_{2},P_{2})\to(V_{2},P_{1})\to(V_{1},P_{1}).
Os processos são 1→2: isocórico em V_{1}, 2→3: isobárico em P_{2}, 3→4: isocórico em V_{2}, 4→1: isobárico em P_{1}.
Vamos usar: trabalho em ciclo é a área interna, e para calor em cada trecho aplicamos
Q_{\text{isochor}}=nC_{V}\,\Delta T,\quad Q_{\text{isobár}}=nC_{P}\,\Delta T,á
além da equação de estado P\,V=nR\,T e a relação C_{P}-C_{V}=R, \gamma=C_{P}/C_{V}.

Passo 2

O trabalho líquido no ciclo é a área do retângulo no plano P V. Como a expansão e compressão horizontais têm altura P_{2}-P_{1} e largura V_{2}-V_{1},
W=(P_{2}-P_{1})(V_{2}-V_{1}).

Passo 3

Identificamos os trechos que fornecem calor ao gás (onde \Delta T>0):
1→2 (isocórico em V_{1}, de P_{1} a P_{2})
Q_{12}=nC_{V}\,\Delta T_{12} =nC_{V}\frac{V_{1}(P_{2}-P_{1})}{nR} =\frac{C_{V}}{R}(P_{2}-P_{1})V_{1}.
2→3 (isobárico em P_{2}, de V_{1} a V_{2})
Q_{23}=nC_{P}\,\Delta T_{23} =nC_{P}\frac{P_{2}(V_{2}-V_{1})}{nR} =\frac{C_{P}}{R}P_{2}(V_{2}-V_{1}).

Passo 4

O calor total que entra no gás é
Q_{\text{in}}=Q_{12}+Q_{23} =\frac{C_{V}}{R}(P_{2}-P_{1})V_{1} +\frac{C_{P}}{R}P_{2}(V_{2}-V_{1}).
Usando C_{P}=\gamma C_{V} e C_{P}-C_{V}=R resulta
Q_{\text{in}} =\frac{1}{\gamma-1}\Bigl[(P_{2}-P_{1})V_{1}+\gamma\,P_{2}(V_{2}-V_{1})\Bigr].

Passo 5

A eficiência é
\eta=\frac{W}{Q_{\text{in}}} =\frac{(P_{2}-P_{1})(V_{2}-V_{1})} {\displaystyle\frac{1}{\gamma-1}\bigl[(P_{2}-P_{1})V_{1}+\gamma\,P_{2}(V_{2}-V_{1})\bigr]} =\frac{\gamma-1}{\displaystyle\frac{\gamma\,P_{2}}{P_{2}-P_{1}}+\frac{V_{1}}{V_{2}-V_{1}}}.

Resposta

(a)
W=(P_{2}-P_{1})(V_{2}-V_{1}).
(b) Calor entra nos processos 1→2 (isocórico em V_{1}) e 2→3 (isobárico em P_{2}), totalizando
Q_{\text{in}} =\frac{1}{\gamma-1}\Bigl[(P_{2}-P_{1})V_{1}+\gamma\,P_{2}(V_{2}-V_{1})\Bigr].
(c)
\eta =\frac{\gamma-1}{\displaystyle\frac{\gamma\,P_{2}}{P_{2}-P_{1}}+\frac{V_{1}}{V_{2}-V_{1}}}\,.

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