Suco de laranja concentrado é produzido através da evaporação de água. Partindo de 100 litros de um suco integral deseja-se obter um suco com 50% de sólidos, em massa. A concentração é feita em um evaporador de 1000 litros com pressão controlada, que conta com um agitador de pás, que funciona com potência de 2 kW durante 2 horas. Calcule o calor necessário para a evaporação, considerando:
o processo ocorre à pressão atmosférica.
Dados:
O suco de laranja integral tem a seguinte composição, em massa: 89% de água, 0,59 \% de proteína, 0,14 \% de gordura, 9,85 \% de carboidratos, 0,20 \% de fibras e 0,41 \% de cinzas.
Os calores específicos dos sólidos podem ser calculados pelas seguintes equações:
Proteínas: \mathrm{C}_{\mathrm{P}}=2,0082+1,2089 \cdot 10^{-3} \mathrm{~T}-1,3129 \cdot 10^{-6} \mathrm{~T}^{2}
Gordura: \mathrm{C}_{\mathrm{P}}=1,9842+1,4733 \cdot 10^{-3} \mathrm{~T}-4,8008 \cdot 10^{-6} \mathrm{~T}^{2}
Carboidratos: \mathrm{C}_{\mathrm{P}}=1,5488+1,9625 \cdot 10^{-3} \mathrm{~T}-5,9399 \cdot 10^{-6} \mathrm{~T}^{2}
Fibras: \mathrm{C}_{\mathrm{P}}=1,8459+1,8306 \cdot 10^{-3} \mathrm{~T}-4,6509 \cdot 10^{-6} \mathrm{~T}^{2}
Cinzas: \mathrm{C}_{\mathrm{P}}=1,0926+1,8896 \cdot 10^{-3} \mathrm{~T}-3,6817 \cdot 10^{-6} \mathrm{~T}^{2}
Onde:
\mathrm{C}_{\mathrm{P}}= calor específico ( \mathrm{kJ} /(\mathrm{kg} . \mathrm{K}) )

Passo 1

Vamos concentrar 100 L de suco integral (densidade aproximada 1 kg/L) para obter 50 % de sólidos, em massa. O suco inicial tem 89 % de água e 11 % de sólidos (proteína, gordura, carboidrato, fibra e cinzas). Precisamos:
  1. Calcular as massas iniciais de água e de sólidos.
  2. Determinar quanta água deve evaporar para chegar a 50 % de sólidos.
  3. Estimar o calor sensível para aquecer todo o suco de 25\circC (assumido) a 100\circC, usando c_{p,\text{água}}=4{,}18á kJ/(k g\cdot K) e as fórmulas dadas para c_{p} dos sólidos.
  4. Calcular o calor latente de vaporização da água evaporada ( \Delta h_{\text{vap}}=2257 kJ/kg).
  5. Somar a energia mecânica do agitador ( P=2 kW por 2 h).

Passo 2

Massa total inicial m_{\text{tot}}=100 kg.
Água inicial
m_w = 0{,}89\cdot100 = 89\text{ kg},
sólidos iniciais
m_s = 100 - 89 = 11\text{ kg}.

Passo 3

Queremos 50\% de sólidos:
\frac{m_s}{m_s + m_{w,f}} = 0{,}5 \quad\Longrightarrow\quad m_{w,f} = 11\text{ kg}.
Logo, água evaporada
m_{\text{ev}} = m_w - m_{w,f} = 89 - 11 = 78\text{ kg}.

Passo 4

Calor sensível da água
Q_{s,w} = m_w\,c_{p,w}\,(T_b - T_i) =89\cdot4{,}18\cdot(100-25) \approx 27\,911{,}5\text{ kJ}.
Calor sensível dos sólidos: cada componente com massa m_i tem
c_{p,i}(T)=a_i + b_iT + c_iT^2,
Q_{s,i} = m_i\int_{25}^{100}c_{p,i}(T)\,dT = m_i\Bigl[a_i\Delta T + \tfrac{b_i}{2}(T_b^2-T_i^2) + \tfrac{c_i}{3}(T_b^3-T_i^3)\Bigr].
Calculando para cada fração (em kg) obtemos:
Proteína 0{,}59 kg → Q_{s,p}\approx91{,}9 kJ
Gordura 0{,}14 kg → Q_{s,g}\approx21{,}6 kJ
Carboidrato 9{,}85 kg → Q_{s,c}\approx1\,215{,}8 kJ
Fibra 0{,}20 kg → Q_{s,f}\approx29{,}1 kJ
Cinzas 0{,}41 kg → Q_{s,ce}\approx36{,}7 kJ
Somando
Q_{s,sólidos} \approx 91{,}9+21{,}6+1\,215{,}8+29{,}1+36{,}7 \approx1\,395{,}1\text{ kJ}.ó
Então calor sensível total
Q_s = Q_{s,w}+Q_{s,sólidos} \approx27\,911{,}5 + 1\,395{,}1 =29\,306{,}6\text{ kJ}.ó

Passo 5

Calor latente de vaporização
Q_{\ell} = m_{\text{ev}}\;\Delta h_{\text{vap}} =78\cdot2\,257 \approx176\,046\text{ kJ}.

Passo 6

Energia do agitador (toda vira calor)
W_{\text{ag}} = P\cdot t =2\text{ kW}\times2\text{ h} =4\text{ kWh} =4\cdot3\,600 =14\,400\text{ kJ}.

Passo 7

Somando tudo
Q_{\text{total}} =Q_s + Q_{\ell} + W_{\text{ag}} \approx29\,306{,}6 +176\,046 +14\,400 =219\,752{,}6\text{ kJ} \approx220\text{ MJ}.

Resposta

O calor total necessário é aproximadamente 2{,}20\times10^{2} MJ.

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