( 3,5 pontos ) Um dispositivo cilindro-pistão contém inicialmente água a uma pressão de 500 kPa (absoluta) e 10^{\circ} \mathrm{C}, ocupando um volume de 5 litros. O dispositivo é então alocado dentro de um forno que se encontra a uma temperatura constante. Durante o processo de aquecimento da água até atingir equilíbrio térmico com o ambiente do forno, a água expande a pressão constante (processo isobárico) atingindo um volume final de 75 litros. Determine:
a. ( 0,5 pontos) A massa de água, em kg .
b. (0,5 pontos ) \mathrm{A} temperatura do forno, \mathrm{em}^{\circ} \mathrm{C}.
c. ( 0,5 pontos) A fração mássica de líquido no estado final, em %.
d. ( 1 ponto) Esboce o processo nos diagramas T-v e p-v, indicando o sentido e os estados. Os diagramas devem mostrar as linhas de saturação.
e. ( 1 ponto) Determine a quantidade de calor total transferido para a água, em kJ.

Passo 1

O enunciado dá um dispositivo pistão-cilindro contendo água inicialmente com pressão p_1=500\\ \text{kPa} (absoluta), temperatura T_1=10^\circ\text{C} e volume total V_1=5\\ \text{L}=0{,}005\\ \text{m}^3. Depois aquecemos mantendo pressão constante (isobárico em 500\\ \text{kPa}) até o volume final V_2=75\\ \text{L}=0{,}075\\ \text{m}^3. Pede-se:
a) massa de água m (kg);
b) temperatura do forno (°C) no equilíbrio final;
c) fração mássica de líquido no estado final (em %);
d) esboço do processo em T\!-\!v e p\!-\!v com linhas de saturação e sentido do processo;
e) quantidade de calor total fornecido à água (kJ).
Informações importantes extraídas do enunciado: p_1=p_2=500\\ \text{kPa}, T_1=10^\circ\text{C}, V_1=0{,}005\\ \text{m}^3, V_2=0{,}075\\ \text{m}^3. A massa é constante (sistema fechado).
Observação: para avaliar propriedades termodinâmicas (volumes específicos, entalpias) usarei valores de tabela de vapor d’água (tabelas de saturação); quando eu usar um número de tabela vou declarar explicitamente.

Passo 2

Primeiro objetivo prático: encontrar a massa m. Para um sistema fechado vale a relação entre volume total e volume específico:
m=\frac{V}{v},
onde v é o volume específico (m³/kg). No estado inicial a água está a T_1=10^\circ\text{C} e p_1=500\\ \text{kPa}. A 10^\circ\text{C} a água é líquido comprimido (a pressão de saturação a 10^\circ\text{C} é muito menor que 500\\ \text{kPa}), mas para líquidos comprimidos podemos aproximar o volume específico pelo volume específico do líquido saturado à mesma temperatura. Pela tabela saturada em T=10^\circ\text{C} (valor tomado da tabela):
v_{f@10^\circ\text{C}}=0{,}0010002\\ \text{m}^3/\text{kg}.
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m=\frac{V_1}{v_{f@10^\circ\text{C}}}=\frac{0{,}005}{0{,}0010002}\\ \text{kg}\approx 4{,}999\\ \text{kg}\approx 5{,}00\\ \text{kg}.
Explicando a ideia: como água líquida é praticamente incompressível para pequenas pressões, usar v_f da tabela à temperatura dada é uma boa aproximação de prova. Aqui dá praticamente 5\\ \text{kg}.

Passo 3

Agora determinamos o estado final: como o processo é isobárico a p=500\\ \text{kPa}, o estado final está na linha de saturação correspondente a p=500\\ \text{kPa} se houver vaporização parcial. Da tabela saturada para p=500\\ \text{kPa} (valores tomados da tabela):
T_{\text{sat}@500\\ \text{kPa}}=151{,}83^\circ\text{C},
v_{f@500\\ \text{kPa}}=0{,}001093\\ \text{m}^3/\text{kg},
v_{g@500\\ \text{kPa}}=0{,}3749\\ \text{m}^3/\text{kg}.
Calculamos o volume específico final:
v_2=\frac{V_2}{m}=\frac{0{,}075}{5{,}00}=0{,}015\\ \text{m}^3/\text{kg}.
Comparando v_2 com v_f e v_g à mesma pressão, vemos que
v_{f@500\\ \text{kPa}}<v_2<v_{g@500\\ \text{kPa}},
ou seja, o estado final é uma mistura líquido-vapor saturada (qualidade 0<x<1). Portanto a temperatura do forno, que é a temperatura de equilíbrio no final, é a temperatura de saturação à pressão de 500\\ \text{kPa}:
T_2=T_{\text{sat}@500\\ \text{kPa}}=151{,}83^\circ\text{C}.

Passo 4

Calcular a fração mássica de vapor (qualidade) no estado final x usando a relação entre volumes específicos na mistura:
x=\frac{v_2-v_f}{v_g-v_f},
onde todos os v são os valores de saturação à pressão final (500 kPa). Substituindo os números da tabela:
x=\frac{0{,}015-0{,}001093}{0{,}3749-0{,}001093}=\frac{0{,}013907}{0{,}373807}\approx 0{,}03722.
Portanto a fração mássica de vapor é aproximadamente 3{,}722\% e a fração mássica de líquido é
1-x\approx 0{,}96278 \Rightarrow 96{,}278\%.
Arredondando razoavelmente: fração mássica de líquido \approx 96{,}28\%.

Passo 5

Explicação/ensaio sobre diagramas T\!-\!v e p\!-\!v e como esboçar (pedido d). Vou descrever passo a passo o que desenhar e o sentido do processo:
  • No diagrama T\!-\!v:
    • Traçar a curva de saturação: a esquerda a linha v_f(T) (líquido saturado), a direita a curva v_g(T) (vapor saturado). A área entre elas é a região biphasica (mistura).
    • Marcar o estado inicial A: T_1=10^\circ\text{C} e v_1=v_{f@10^\circ\text{C}}\approx0{,}0010002\\ \text{m}^3/\text{kg}. Esse ponto fica bem à esquerda, abaixo da curva de saturação (estado líquido comprimido).
    • Aqueça a pressão constante: ao aquecer, a trajetória sobe em temperatura (linha inclinada para cima e um pouco para a direita, se considerarmos leve compressibilidade) até atingir a curva de saturação em T=151{,}83^\circ\text{C}. Nesse ponto começa a vaporização e a temperatura fica constante (horizontal no T\!-\!v) enquanto o volume específico aumenta até v_2=0{,}015\\ \text{m}^3/\text{kg} (estado final B). Desenhe uma seta de A → B passando por esse caminho e indique que a parte final é uma linha horizontal em T=151{,}83^\circ\text{C}.
  • No diagrama p\!-\!v:
    • Traçar a linha de saturação em p\!-\!v (pressão de saturação decrescendo com aumento da temperatura). Para nosso processo a pressão é fixa p=500\\ \text{kPa} — desenhe uma linha horizontal em p=500\\ \text{kPa}.
    • Marcar o estado inicial A: v_1\approx0{,}0010002\\ \text{m}^3/\text{kg} sobre essa linha? Na verdade o estado inicial está a p=500\\ \text{kPa} e T=10^\circ\text{C}; no gráfico p\!-\!v um ponto correspondente fica à esquerda da região de saturação (líquido comprimido) mas com a mesma ordenada p=500\\ \text{kPa}. Ao aquecer a p fixa o volume específico aumenta, então a trajetória é uma linha horizontal para a direita até o ponto de mistura (interseção com a linha de saturação verticalizada em p=500\\ \text{kPa}) onde continua na região de mistura até v_2. Indique setas A → B ao longo dessa linha horizontal (isobárico).
  • Em ambas as figuras marque claramente os estados A (inicial) e B (final) e a região de mistura (entre v_f e v_g). Esboços simples e rotulados valem ponto; o importante é indicar que o processo é isobárico, que T aumenta até a temperatura de saturação e depois há vaporização até a qualidade calculada.

Passo 6

Agora calcular o calor total fornecido Q (pedido e). Em um processo isobárico reversível (ou quasi-equilíbrio) para sistema fechado vale a relação prática:
Q = m\,(h_2-h_1),
porque para processo a pressão constante m\Delta h = \Delta U + p\Delta V = Q. Portanto precisamos das entalpias nos estados inicial e final. Vou usar valores de tabela de saturação (declaro as entradas usadas):
Valores tomados das tabelas:
  • À T_1=10^\circ\text{C}: entalpia do líquido saturado h_{f@10^\circ\text{C}}=42{,}01\\ \text{kJ/kg}.(Usado para aproximar h_1 já que estado inicial é líquido comprimido a 10^\circ\text{C}.)
  • À p=500\\ \text{kPa} (saturação): entalpias h_{f@500\\ \text{kPa}}=631{,}7\\ \text{kJ/kg},
h_{g@500\\ \text{kPa}}=2778{,}1\\ \text{kJ/kg}.
Com qualidade x\approx0{,}03722 (calculada antes), a entalpia específica final é
h_2=h_{f@500}+x\,(h_{g@500}-h_{f@500}).
Substituindo:
h_2=631{,}7 + 0{,}03722\,(2778{,}1-631{,}7)=631{,}7 + 0{,}03722\cdot2146{,}4\approx 631{,}7 +79{,}88\approx 711{,}58\\ \text{kJ/kg}.
Agora h_1\approx h_{f@10^\circ\text{C}}=42{,}01\\ \text{kJ/kg}. Então
\Delta h = h_2-h_1 = 711{,}58-42{,}01=669{,}57\\ \text{kJ/kg}.
Finalmente
Q = m\Delta h = 5{,}00\cdot 669{,}57\\ \text{kJ}=3347{,}85\\ \text{kJ}\approx 3348\\ \text{kJ}.
Interpretação: esse é o calor total fornecido, incluindo o calor que elevou a temperatura do líquido até saturação mais o calor latente parcialmente absorvido (pois só vaporizou ~3,7% em massa).

Passo 7

Resumo numérico dos resultados (preparando a resposta final e mostrando como cheguei aos números):
  • Massa m: fiz m=V_1/v_{f@10^\circ\text{C}} com v_{f@10^\circ\text{C}}=0{,}0010002\\ \text{m}^3/\text{kg} da tabela → m\approx5{,}00\\ \text{kg}.
  • Temperatura final T_2: é T_{\text{sat}} à p=500\\ \text{kPa} T_2=151{,}83^\circ\text{C} (valor de tabela).
  • Fração mássica de líquido final: calculei x por volumes específicos com v_2=0{,}015\\ \text{m}^3/\text{kg} e v_{f},v_{g} à 500 kPa → x\approx0{,}03722 então fração líquida 1-x\approx0{,}96278\Rightarrow96{,}28\%.
  • Calor total Q: usei Q=m(h_2-h_1) com h_1=h_{f@10^\circ\text{C}}=42{,}01\\ \text{kJ/kg} e h_2 calculado por mistura à 500 kPa → Q\approx3348\\ \text{kJ}.

Resposta

m=5{,}00\\ \text{kg}
T_{\text{forno}}=151{,}83^\circ\text{C}
Fraç~ao m’assica de l’iquido final =96{,}28\%
Esboços: ver descrição no Passo 5 (T-v: aquecimento até T_{\text{sat}}=151{,}83^\circ\text{C} e depois isoterma até v=0{,}015\\ \text{m}^3/\text{kg}; p-v: linha horizontal isobárica em p=500\\ \text{kPa} do v_1 até v_2, atravessando a região de mistura)
Q\approx3348\\ \text{kJ}

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