Para um sólido de \mathrm{m}_{\mathrm{s}}=120 \mathrm{~g} com \mathrm{K}=2,5, que volume único V deve ser usado para extrair 40 \% do soluto em uma etapa?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dados: m_{s}=120\\ \mathrm{g} e K=2{,}5.
  • Pedido: determinar o volume único V do solvente necessário para extrair 40\% do soluto em uma etapa.
  • Informação implícita (assumida): K é o coeficiente de partição definido como a razão entre a concentração do soluto no solvente e a concentração do soluto por massa de sólido no equilíbrio. O resultado deverá ser apresentado na unidade de volume compatível com a unidade de K.

Passo 2

Entendendo as variáveis e o conceito físico (aulas rápidas, sem medo):
  • Seja S_0 a massa total de soluto inicialmente presente no sólido (em gramas).
  • Seja q_{s,eq} a quantidade de soluto por unidade de massa de sólido no equilíbrio (em \mathrm{g~soluto}/\mathrm{g~sólido}ó).
  • Seja c a concentração do soluto no solvente no equilíbrio (em \mathrm{g~soluto}/\mathrm{mL} ou \mathrm{g~soluto}/\mathrm{L}, dependendo das unidades de K).
  • O coeficiente de partição K é definido por
K=\frac{c}{q_{s,eq}}.
Isso significa, em palavras simples: para cada unidade de soluto por grama de sólido, há K unidades de soluto por unidade de volume do solvente no equilíbrio.

Passo 3

Equilíbrio e balanço de massa (como montar a equação):
  • A massa total de soluto se conserva. No equilíbrio, o soluto está distribuído entre o sólido e o solvente, então
S_0 = q_{s,eq}\,m_s + c\,V.
Aqui q_{s,eq}\,m_s é a massa de soluto ainda no sólido e c\,V é a massa de soluto no solvente.

Passo 4

Usando a definição de K para eliminar c:
  • Da definição K=\dfrac{c}{q_{s,eq}} segue c=K\,q_{s,eq}.
  • Substituindo em S_0 = q_{s,eq}\,m_s + c\,V obtemos
S_0 = q_{s,eq}\,m_s + K\,q_{s,eq}\,V = q_{s,eq}\,(m_s + K V).
  • Assim
q_{s,eq}=\frac{S_0}{m_s + K V}.

Passo 5

Frações extraída e remanescente (fórmulas que você vai querer decorar):
  • Fração do soluto que permanece no sólido após a extração:
\text{fração remanescente}=\frac{q_{s,eq}\,m_s}{S_0}=\frac{m_s}{m_s + K V}.çã
  • Fração extraída pelo solvente (o que queremos) é
\text{fração extraída}=1-\frac{m_s}{m_s + K V}=\frac{K V}{m_s + K V}.çãí
Pequeno check mental: se V\to 0 a fração extraída vai a 0; se V\to\infty vai a 1. Faz sentido.

Passo 6

Aplicando o alvo de 40\% e resolvendo para V:
  • Queremos \text{fração extraída}=0{,}40çãí. Logo
\frac{K V}{m_s + K V}=0{,}40.
  • Resolver passo a passo:
K V = 0{,}40\,(m_s + K V)
K V = 0{,}40\,m_s + 0{,}40\,K V
K V - 0{,}40\,K V = 0{,}40\,m_s
K V\,(1-0{,}40)=0{,}40\,m_s
K V\cdot 0{,}60 = 0{,}40\,m_s
V = \frac{0{,}40}{0{,}60}\cdot\frac{m_s}{K} = \frac{2}{3}\cdot\frac{m_s}{K}.
  • Agora plugamos os valores numéricos ( m_s=120\\ \mathrm{g}, K=2{,}5):
\frac{m_s}{K}=\frac{120}{2{,}5}=48.
V=\frac{2}{3}\cdot 48 = 32.
  • Unidade: como m_s está em gramas e K tem dimensões de volume por massa (por exemplo \mathrm{mL}/\mathrm{g}), V fica em \mathrm{mL}. Assim V=32\\ \mathrm{mL}.

Passo 7

Checagem rápida (confirmação numérica):
  • Calculamos a fração extraída com V=32\\ \mathrm{mL}:
\frac{K V}{m_s + K V}=\frac{2{,}5\cdot 32}{120 + 2{,}5\cdot 32}=\frac{80}{120+80}=\frac{80}{200}=0{,}40,
confirmando que está correto. Força aí — já era!

Resposta

V=32\\ \mathrm{mL}

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