( 3,4 pontos) Um gás ideal recebe 3,52 \times 10^{3} \mathrm{~J}, mantendo a pressão constante. O trabalho realizado pelo gás foi de 1005J.
a) Qual o calor específico a pressão constante desse gàs?
b) Determine os calores específicos a pressão constante e volume constante para os gases monoatômicos, diatômicos e poliatômicos. Mostre a contagem dos graus de liberdade que levam a esses resultados.
c) Qual o tipo gás envolvido nessa questão (monoatômico, diatômico ou poliatômico)?

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados (todos num formato numérico em TeX):
  • Calor fornecido ao gás: Q = 3{,}52\times10^{3}\\ \mathrm{J}.
  • Trabalho realizado pelo gás (processo a pressão constante): W = 1005\\ \mathrm{J}.
    O enunciado pede:
    (a) Determinar o calor específico à pressão constante desse gás.
    (b) Determinar os calores específicos (à pressão constante e ao volume constante) para gases monoatômicos, diatômicos e poliatômicos, mostrando a contagem dos graus de liberdade que levam a esses resultados.
    (c) Identificar qual o tipo de gás (monoatômico, diatômico ou poliatômico) neste problema.

Passo 2

Lembrete físico básico (Primeira Lei da Termodinâmica aplicada aqui): o calor trocado numa transformação é a soma da variação de energia interna com o trabalho realizado pelo gás. Em fórmula:
Q = \Delta U + W,
onde
  • Q é o calor fornecido ao sistema,
  • \Delta U é a variação da energia interna,
  • W é o trabalho realizado pelo gás (positivo se o gás realiza trabalho).
Vamos calcular primeiro a variação de energia interna usando os números fornecidos:
\Delta U = Q - W = 3{,}52\times10^{3} - 1005\\ \mathrm{J}.
Agora efetuo a conta:
\Delta U = 3520 - 1005 = 2515\\ \mathrm{J}.

Passo 3

Relações para gás ideal em processos a pressão constante:
  • A variação da energia interna pode ser escrita como \Delta U = n C_V \Delta T, onde
    • n é o número de mols,
    • C_V é o calor molar a volume constante (unidade \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}),
    • \Delta T é a variação de temperatura.
  • O trabalho feito a pressão constante é W = P\Delta V = n R \Delta T, onde R é a constante dos gases ideais \left(R\approx 8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}\right).
  • O calor fornecido a pressão constante é Q = n C_P \Delta T, onde C_P é o calor molar a pressão constante.
Observe que tanto Q quanto W têm um fator comum n\Delta T. Podemos dividir as expressões de W e Q:
\frac{W}{Q}=\frac{n R \Delta T}{n C_P \Delta T}=\frac{R}{C_P}.
Dessa igualdade isolamos C_P:
C_P = R\frac{Q}{W}.
Importante: essa fórmula permite calcular C_P sem conhecer n nem \Delta T, porque ambos cancelam ao dividir.

Passo 4

Agora aplico a fórmula numérica. Uso R = 8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}, Q = 3{,}52\times10^{3}\\ \mathrm{J} e W = 1005\\ \mathrm{J}:
C_P = 8{,}314\cdot\frac{3{,}52\times10^{3}}{1005}.
Faço as contas passo a passo:
8{,}314\cdot3{,}52\times10^{3}=8{,}314\times3520=29265{,}28,
C_P=\frac{29265{,}28}{1005}\approx29{,}12\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
Portanto, o calor molar a pressão constante obtido experimentalmente é aproximadamente \,29{,}12\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}\,.

Passo 5

Agora vamos à parte (b): calcular os calores molares teóricos para gases monoatômicos, diatômicos e poliatômicos, explicando a contagem de graus de liberdade.
Equipamento conceitual (teoria da equipartição de energia, em forma simples):
  • Cada grau de liberdade de movimento associado a energia quadrática contribui com \tfrac{1}{2}R para o calor molar a volume constante C_V.
  • Assim, para um gás ideal sem excitação vibracional relevante,
C_V = \frac{f}{2}R,
onde f é o número de graus de liberdade translacionais + rotacionais efetivos.
  • E então
C_P = C_V + R = \left(\frac{f}{2}+1\right)R.
Contagem de graus de liberdade (modelagem comum a temperatura moderada; vibrações geralmente não contribuem):
  • Monoatômico: só translacão nas três direções → f=3.
  • Diatômico (molecula rígida linear): 3 translações + 2 rotações (a rotação em torno do eixo ligado tem momento de inércia pequeno e tipicamente não contribui) → f=5.
  • Poliatômico não-linear (ex.: molécula triatômica não linear): 3 translações + 3 rotações → f=6.
Agora calculo os valores usando R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
Monoatômico ( f=3):
C_V=\frac{3}{2}R=1{,}5\cdot8{,}314=12{,}47\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}},
C_P=\frac{5}{2}R=2{,}5\cdot8{,}314=20{,}79\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
Diatômico ( f=5):
C_V=\frac{5}{2}R=2{,}5\cdot8{,}314=20{,}79\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}},
C_P=\frac{7}{2}R=3{,}5\cdot8{,}314=29{,}10\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
Poliatômico não-linear ( f=6):
C_V=\frac{6}{2}R=3\cdot8{,}314=24{,}94\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}},
C_P=4R=4\cdot8{,}314=33{,}26\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
Observação pedagógica: essas fórmulas vêm da ideia de que cada grau de liberdade quadraticamente aparece em energia média \tfrac{1}{2}k_B T por molécula ou \tfrac{1}{2}R T por mol, daí a regra C_V = \tfrac{f}{2}R. Vibrações contribuem somente em temperaturas suficientemente altas (então f efetivo aumentaria), mas em muitas questões de nível básico assume-se vibração não excitada.

Passo 6

Parte (c): comparação entre o valor experimental encontrado no Passo 4 e os valores teóricos do Passo 5.
  • Obtivemos experimentalmente C_P\approx29{,}12\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
  • O valor teórico para gás diatômico é C_P=\tfrac{7}{2}R\approx29{,}10\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
A concordância é excelente (diferença de ordem 10^{-2}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}), então o gás envolvido é diatômico.

Resposta

(a) C_P \approx 29{,}12\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}\n
(b) Monoatômico: C_V=\dfrac{3}{2}R\approx12{,}47\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}},\; C_P=\dfrac{5}{2}R\approx20{,}79\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}
Diatômico: C_V=\dfrac{5}{2}R\approx20{,}79\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}},\; C_P=\dfrac{7}{2}R\approx29{,}10\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}
Poliatômico (não-linear): C_V=\dfrac{6}{2}R\approx24{,}94\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}},\; C_P=4R\approx33{,}26\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}\n
(c) O gás é diatômico.

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