( 3,4 pontos) Um gás ideal recebe
, mantendo a pressão constante. O trabalho realizado pelo gás foi de 1005J.
a) Qual o calor específico a pressão constante desse gàs?
b) Determine os calores específicos a pressão constante e volume constante para os gases monoatômicos, diatômicos e poliatômicos. Mostre a contagem dos graus de liberdade que levam a esses resultados.
c) Qual o tipo gás envolvido nessa questão (monoatômico, diatômico ou poliatômico)?
a) Qual o calor específico a pressão constante desse gàs?
b) Determine os calores específicos a pressão constante e volume constante para os gases monoatômicos, diatômicos e poliatômicos. Mostre a contagem dos graus de liberdade que levam a esses resultados.
c) Qual o tipo gás envolvido nessa questão (monoatômico, diatômico ou poliatômico)?
Passo 1
O enunciado nos dá os seguintes dados (todos num formato numérico em TeX):
- Calor fornecido ao gás:
. - Trabalho realizado pelo gás (processo a pressão constante):
.
O enunciado pede:
(a) Determinar o calor específico à pressão constante desse gás.
(b) Determinar os calores específicos (à pressão constante e ao volume constante) para gases monoatômicos, diatômicos e poliatômicos, mostrando a contagem dos graus de liberdade que levam a esses resultados.
(c) Identificar qual o tipo de gás (monoatômico, diatômico ou poliatômico) neste problema.
Passo 2
Lembrete físico básico (Primeira Lei da Termodinâmica aplicada aqui): o calor trocado numa transformação é a soma da variação de energia interna com o trabalho realizado pelo gás. Em fórmula:
onde
-
é o calor fornecido ao sistema, -
é a variação da energia interna, -
é o trabalho realizado pelo gás (positivo se o gás realiza trabalho).
Vamos calcular primeiro a variação de energia interna usando os números fornecidos:
Agora efetuo a conta:
Passo 3
Relações para gás ideal em processos a pressão constante:
- A variação da energia interna pode ser escrita como
, onde -
é o número de mols, -
é o calor molar a volume constante (unidade ), -
é a variação de temperatura.
-
- O trabalho feito a pressão constante é
, onde é a constante dos gases ideais . - O calor fornecido a pressão constante é
, onde é o calor molar a pressão constante.
Observe que tanto
quanto
têm um fator comum
. Podemos dividir as expressões de
e
:
Dessa igualdade isolamos
:
Importante: essa fórmula permite calcular
sem conhecer
nem
, porque ambos cancelam ao dividir.
Passo 4
Agora aplico a fórmula numérica. Uso
,
e
:
Faço as contas passo a passo:
Portanto, o calor molar a pressão constante obtido experimentalmente é aproximadamente
.
Passo 5
Agora vamos à parte (b): calcular os calores molares teóricos para gases monoatômicos, diatômicos e poliatômicos, explicando a contagem de graus de liberdade.
Equipamento conceitual (teoria da equipartição de energia, em forma simples):
- Cada grau de liberdade de movimento associado a energia quadrática contribui com
para o calor molar a volume constante . - Assim, para um gás ideal sem excitação vibracional relevante,
onde
é o número de graus de liberdade translacionais + rotacionais efetivos.
- E então
Contagem de graus de liberdade (modelagem comum a temperatura moderada; vibrações geralmente não contribuem):
- Monoatômico: só translacão nas três direções →
. - Diatômico (molecula rígida linear): 3 translações + 2 rotações (a rotação em torno do eixo ligado tem momento de inércia pequeno e tipicamente não contribui) →
. - Poliatômico não-linear (ex.: molécula triatômica não linear): 3 translações + 3 rotações →
.
Agora calculo os valores usando
.
Monoatômico (
):
Diatômico (
):
Poliatômico não-linear (
):
Observação pedagógica: essas fórmulas vêm da ideia de que cada grau de liberdade quadraticamente aparece em energia média
por molécula ou
por mol, daí a regra
. Vibrações contribuem somente em temperaturas suficientemente altas (então
efetivo aumentaria), mas em muitas questões de nível básico assume-se vibração não excitada.
Passo 6
Parte (c): comparação entre o valor experimental encontrado no Passo 4 e os valores teóricos do Passo 5.
- Obtivemos experimentalmente
. - O valor teórico para gás diatômico é
.
A concordância é excelente (diferença de ordem
), então o gás envolvido é diatômico.
Resposta
(a)
\n
(b) Monoatômico:
Diatômico:
Poliatômico (não-linear): \n
(c) O gás é diatômico.
(b) Monoatômico:
Diatômico:
Poliatômico (não-linear):
(c) O gás é diatômico.