Uma população de dragões da Cólquida tem taxa de natalidade igual a 3,3 indivíduos/(indivíduo times ano) e uma taxa de mortalidade igual a 3,2 indivíduos/(indivíduo × ano).
Supondo-se que o crescimento seja exponencial, qual é o tempo necessário, em anos, para que a população duplique?

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está nos pedindo. Temos uma população de dragões com uma taxa de natalidade de 3,3 indivíduos por indivíduo por ano e uma taxa de mortalidade de 3,2 indivíduos por indivíduo por ano. O crescimento da população é considerado exponencial. Precisamos determinar quanto tempo, em anos, será necessário para que a população dobre de tamanho.
Para resolver esse problema, vamos utilizar o conceito de crescimento populacional exponencial, que envolve taxas de natalidade e mortalidade.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a taxa de crescimento líquido da população. Isso é feito subtraindo a taxa de mortalidade da taxa de natalidade.
A taxa de crescimento $ r $ é:
r
Substituindo os valores:
r = Taxa de natalidade - Taxa de mortalidade íí

Passo 3

Com a taxa de crescimento $ r $, podemos usar a fórmula do crescimento exponencial para encontrar o tempo necessário para a população dobrar. A fórmula é:
r
Onde:
  • $ N(t) $ é a população no tempo $ t $
  • $ N_0 $ é a população inicial
  • $ e $ é a base do logaritmo natural
  • $ r $ é a taxa de crescimento
  • $ t $ é o tempo
Queremos que $ N(t) = 2N_0 $:
N(t) = N0 times e^rt

Passo 4

Agora, podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por $ N_0 $:
N0
Para resolver para $ t $, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
2 = e^rt

Passo 5

Finalmente, isolamos $ t $ dividindo ambos os lados por $ r $:
t
Substituindo $ r = 0,1 $:
r
Calculando:
t = ln(2)r

Resposta

O tempo necessário para que a população de dragões dobre é aproximadamente 6,93 anos.

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