Uma população de dragões da Cólquida tem taxa de natalidade igual a 3,3 indivíduos/(indivíduo
ano) e uma taxa de mortalidade igual a 3,2 indivíduos/(indivíduo × ano).
Supondo-se que o crescimento seja exponencial, qual é o tempo necessário, em anos, para que a população duplique?
Supondo-se que o crescimento seja exponencial, qual é o tempo necessário, em anos, para que a população duplique?
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está nos pedindo. Temos uma população de dragões com uma taxa de natalidade de 3,3 indivíduos por indivíduo por ano e uma taxa de mortalidade de 3,2 indivíduos por indivíduo por ano. O crescimento da população é considerado exponencial. Precisamos determinar quanto tempo, em anos, será necessário para que a população dobre de tamanho.
Para resolver esse problema, vamos utilizar o conceito de crescimento populacional exponencial, que envolve taxas de natalidade e mortalidade.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a taxa de crescimento líquido da população. Isso é feito subtraindo a taxa de mortalidade da taxa de natalidade.
A taxa de crescimento $ r $ é:
Substituindo os valores:
Passo 3
Com a taxa de crescimento $ r $, podemos usar a fórmula do crescimento exponencial para encontrar o tempo necessário para a população dobrar. A fórmula é:
Onde:
- $ N(t) $ é a população no tempo $ t $
- $ N_0 $ é a população inicial
- $ e $ é a base do logaritmo natural
- $ r $ é a taxa de crescimento
- $ t $ é o tempo
Queremos que $ N(t) = 2N_0 $:
Passo 4
Agora, podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por $ N_0 $:
Para resolver para $ t $, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
Passo 5
Finalmente, isolamos $ t $ dividindo ambos os lados por $ r $:
Substituindo $ r = 0,1 $:
Calculando:
Resposta
O tempo necessário para que a população de dragões dobre é aproximadamente 6,93 anos.