Uma população de lobos vive em uma montanha. Existiam 26 lobos no ano 2054, e 54 em 2079. Supondo-se que o crescimento seja exponencial, qual é a constante de crescimento líquido?
Passo 1
Beleza, vamos entender o problema juntos! Temos uma população de lobos que estava crescendo de forma exponencial. Em 2054, havia 26 lobos, e em 2079, passaram para 54. A gente precisa descobrir qual é a constante de crescimento líquido dessa população. Para resolver isso, vamos usar a fórmula do crescimento exponencial e alguns conceitos básicos de álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do crescimento exponencial. Ela é dada por:
Onde:
- $ N(t) $ é a população no tempo $ t $
- $ N_0 $ é a população inicial
- $ r $ é a constante de crescimento
- $ e $ é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2,718)
Passo 3
Vamos identificar os valores que já temos:
- População inicial ($ N_0 $) em 2054: 26 lobos
- População final ($ N(t) $) em 2079: 54 lobos
- Tempo decorrido ($ t $): 2079 - 2054 = 25 anos
Passo 4
Substituindo esses valores na fórmula:
Nosso objetivo é encontrar $ r $. Para isso, vamos isolar $ e^{25r} $.
Passo 5
Dividindo ambos os lados da equação por 26:
Calculando o lado esquerdo:
Então:
Passo 6
Para eliminar o $ e $, vamos aplicar o logaritmo natural (ln) nos dois lados da equação:
Sabemos que $ \ln(e^{x}) = x $, então:
Passo 7
Agora, calculamos $ \ln(2,0769) $:
Então:
Passo 8
Para encontrar $ r $, dividimos ambos os lados por 25:
Resposta
A constante de crescimento líquido é aproximadamente 0,02925 por ano, ou seja, 2,925% ao ano.