Uma população de lobos vive em uma montanha. Existiam 26 lobos no ano 2054, e 54 em 2079. Supondo-se que o crescimento seja exponencial, qual é a constante de crescimento líquido?

Passo 1

Beleza, vamos entender o problema juntos! Temos uma população de lobos que estava crescendo de forma exponencial. Em 2054, havia 26 lobos, e em 2079, passaram para 54. A gente precisa descobrir qual é a constante de crescimento líquido dessa população. Para resolver isso, vamos usar a fórmula do crescimento exponencial e alguns conceitos básicos de álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do crescimento exponencial. Ela é dada por:
N(t) = N0 cdot e^rt
Onde:
  • $ N(t) $ é a população no tempo $ t $
  • $ N_0 $ é a população inicial
  • $ r $ é a constante de crescimento
  • $ e $ é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2,718)

Passo 3

Vamos identificar os valores que já temos:
  • População inicial ($ N_0 $) em 2054: 26 lobos
  • População final ($ N(t) $) em 2079: 54 lobos
  • Tempo decorrido ($ t $): 2079 - 2054 = 25 anos

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula:
54 = 26 cdot e^25r
Nosso objetivo é encontrar $ r $. Para isso, vamos isolar $ e^{25r} $.

Passo 5

Dividindo ambos os lados da equação por 26:
5426 = e^25r
Calculando o lado esquerdo:
5426 approx 2,0769
Então:
2,0769 = e^25r

Passo 6

Para eliminar o $ e $, vamos aplicar o logaritmo natural (ln) nos dois lados da equação:
e
Sabemos que $ \ln(e^{x}) = x $, então:
ln(2,0769) = ln(e^25r)

Passo 7

Agora, calculamos $ \ln(2,0769) $:
ln(2,0769)
Então:
ln(2,0769) approx 0,7312

Passo 8

Para encontrar $ r $, dividimos ambos os lados por 25:
r

Resposta

A constante de crescimento líquido é aproximadamente 0,02925 por ano, ou seja, 2,925% ao ano.

Exercícios relacionados