A propriedade de um sistema é dada pela seguinte expressão, em que e correspondem às variáveis independentes.
a) Determine a diferencial total da propriedade .
b) Verifique se a diferencial total é exata ou não.
c) Determine a taxa da variação da propriedade em relação à .
d) Determine a taxa da variação da propriedade em relação à .
e) Mostre que a variação da propriedade no intervalo ao longo das curvas definidas por e é independente do caminho.
Passo 1
O enunciado dá a propriedade de um sistema como função de duas variáveis independentes e :
Pede-se:
a) a diferencial total de ,
b) verificar se essa diferencial é exata,
c) a taxa de variação de em relação a ,
d) a taxa de variação de em relação a ,
e) mostrar que a variação de de a ao longo das curvas e é independente do caminho.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais de .
Passo 3
Escrever a diferencial total de em função de e .
Passo 4
Verificar se a forma é exata, onde
Calculamos
Como , a diferencial é exata.
Passo 5
A taxa de variação de em relação a (mantendo fixo) é a derivada parcial
Passo 6
A taxa de variação de em relação a (mantendo fixo) é
Passo 7
Calcular a variação de a ao longo de cada curva.
Para , tem-se e
Para y=x^2, tem-se dy=2x,dx e
De<a U =integral0^1l(24x^2x^4,dx +16x^3x^2cdot 2x,dxr) =integral0^1(24x^6+32x^6),dx =integral0^156x^6,dx =l56x^77r|0^1 =8
Passo 8
Como em ambos os casos De<a U=8, a variação é independente do caminho (coerente com a exatidão da diferencial).
Resposta
a) dU=24x^2y^2,dx+16x^3y,dy.
b) A diferencial é exata, pois partial M/partial y=partial N/partial x.
c) partial Upartial x=24x^2y^2
d) partial Upartial y=16x^3y
e) Em ambas as curvas De<a U=8, logo a variação é independente do caminho.