A propriedade U de um sistema é dada pela seguinte expressão, em que x e y correspondem às variáveis independentes.
U=8 x^3 y^2
a) Determine a diferencial total da propriedade U.
b) Verifique se a diferencial total é exata ou não.
c) Determine a taxa da variação da propriedade U em relação à x.
d) Determine a taxa da variação da propriedade U em relação à y.
e) Mostre que a variação da propriedade U no intervalo [0,1] ao longo das curvas definidas por y=x e y=x^2 é independente do caminho.

Passo 1

O enunciado dá a propriedade U de um sistema como função de duas variáveis independentes x e y:
U = 8 x^3 y^2
Pede-se:
a) a diferencial total de U,
b) verificar se essa diferencial é exata,
c) a taxa de variação de U em relação a x,
d) a taxa de variação de U em relação a y,
e) mostrar que a variação de U de 0 a 1 ao longo das curvas y=x e y=x^2 é independente do caminho.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de U.
partial Upartial x = partial partial xl(8 x^3y^2r) = 8cdot 3 x^2y^2 =24 x^2y^2,
partial Upartial y = partial partial yl(8 x^3y^2r) = 8 x^3cdot 2y =16 x^3y

Passo 3

Escrever a diferencial total de U em função de dx e dy.
dU = partial Upartial x,dx + partial Upartial y,dy =24 x^2y^2,dx +16 x^3y,dy

Passo 4

Verificar se a forma M(x,y),dx + N(x,y),dy é exata, onde
M(x,y)=24x^2y^2, N(x,y)=16x^3y
Calculamos
partial Mpartial y =24cdot 2x^2y =48x^2y, partial Npartial x =16cdot 3x^2y =48x^2y
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a diferencial é exata.

Passo 5

A taxa de variação de U em relação a x (mantendo y fixo) é a derivada parcial
partial Upartial x =24x^2y^2

Passo 6

A taxa de variação de U em relação a y (mantendo x fixo) é
partial Upartial y =16x^3y

Passo 7

Calcular a variação De<a U de (0,0) a (1,1) ao longo de cada curva.
Para y=x, tem-se dy=dx e
De<a U =integral0^1l(24x^2x^2+16x^3xr),dx =integral0^1(24x^4+16x^4),dx =integral0^140x^4,dx =l40x^55r|0^1 =8
Para y=x^2, tem-se dy=2x,dx e
De<a U =integral0^1l(24x^2x^4,dx +16x^3x^2cdot 2x,dxr) =integral0^1(24x^6+32x^6),dx =integral0^156x^6,dx =l56x^77r|0^1 =8

Passo 8

Como em ambos os casos De<a U=8, a variação é independente do caminho (coerente com a exatidão da diferencial).

Resposta

a) dU=24x^2y^2,dx+16x^3y,dy.
b) A diferencial é exata, pois partial M/partial y=partial N/partial x.
c) partial Upartial x=24x^2y^2
d) partial Upartial y=16x^3y
e) Em ambas as curvas De<a U=8, logo a variação é independente do caminho.

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