Questão 2: Defina:
(b) Tipos de fronteira e vizinhança;
Passo 1
O enunciado pede que eu defina, de forma clara e didática, os “tipos de fronteira e vizinhança”. \n
Não há dados numéricos ou figura fornecida — trata‑se de definições gerais. \n
Vou tomar um espaço métrico genérico (X,d) (por exemplo \mathbb{R}^n com a distância euclidiana) e um subconjunto qualquer A\subset X como cenário padrão para as definições. \n
A resolução começará a partir dessas hipóteses.
Passo 2
Primeiro, estabelecemos algumas noções básicas que vou usar em todas as definições (explico devagar, sem pressa). \n
Definição de bola aberta: para x\in X e r>0, a bola aberta centrada em x e raio r é
B_r(x)=\{y\in X \mid d(y,x)<r\}.
Um conjunto U\subset X é dito aberto se, para todo x\in U, existe r>0 com B_r(x)\subset U. \n
O interior de A é o maior conjunto aberto contido em A; escrevemos \operatorname{int}(A). \n
O fecho (ou aderência) de A é o menor conjunto fechado que contém A; escrevemos \overline{A}. \n
Essas noções são necessárias porque “fronteira” e “vizinhança” se descrevem em função delas.
Passo 3
Agora, defino o que é uma vizinhança de um ponto (a ideia é intuitiva: um conjunto que “abraça” o ponto, contendo uma bola ao redor). \n
Definição de vizinhança: um conjunto V\subset X é uma vizinhança do ponto x\in X se existe r>0 tal que
B_r(x)\subset V.
Explicação: isso significa que V contém um disco aberto (uma bola) ao redor de x. \n
Tipos comuns de vizinhança que aparecem em provas: \n
vizinhança aberta: é uma vizinhança V que, além de conter uma bola, é ela própria um conjunto aberto (por exemplo B_r(x) é vizinhança aberta de x); \n
vizinhança fechada: às vezes toma‑se um conjunto que contém uma bola fechada \overline{B_r(x)} — chamamos informalmente de vizinhança fechada (útil quando se quer incluir a fronteira da bola); \n
vizinhança perfurada (ou vidrada): é uma vizinhança de x com o próprio ponto removido, isto é, um conjunto que contém B_r(x)\setminus\{x\}. \n
A vizinhança perfurada é usada para estudar pontos de acumulação/limite.
Passo 4
Defino agora os tipos de pontos relativos a um conjunto A — isto é, os “tipos de fronteira” a que o enunciado provavelmente se refere (classificação de pontos em interior, fronteira e exterior). \n
Ponto interior: x é ponto interior de A se existe r>0 tal que
B_r(x)\subset A.
Equivalente a dizer x\in\operatorname{int}(A). Intuição: posso pegar uma bola em torno de x que fique totalmente dentro de A. \n
2) Ponto exterior: x é ponto exterior de A se existe r>0 tal que
B_r(x)\subset X\setminus A.
Ou seja, x tem uma bola que fica totalmente fora de A. \n
3) Ponto de fronteira (ou ponto boundary): x é ponto de fronteira de A se toda vizinhança de x intersecta tanto A quanto o complemento X\setminus A. Em fórmula:
Intuição: qualquer bola centrada em x “toca” dentro e fora de A; portanto x fica exatamente na linha de separação. \n
Observação técnica: os três casos são exaustivos e mutuamente exclusivos — cada ponto de X é ou interior de A, ou exterior de A, ou ponto de fronteira de A.
Passo 5
Definição do conjunto fronteira de A (a própria fronteira, como conjunto): \n
Explicação e equivalência útil: x\in\partial A se e somente se toda vizinhança de x intersecta A e também intersecta X\setminus A. \n
Razão: \overline{A} coleta pontos que estão arbitrariamente próximos de A (pontos de A mais pontos limite), e ao tirar \operatorname{int}(A) removemos os pontos que têm uma bola inteira dentro de A; sobra exatamente a “borda”. \n
Propriedades importantes (úteis na prova): \n
\partial A é um conjunto fechado; \n
\overline{A}=\operatorname{int}(A)\cup\partial A (união disjunta); \n
\partial A=\partial(X\setminus A) (a fronteira de um conjunto é a mesma da seu complemento).
Passo 6
Agora explico dois conceitos adicionais que aparecem em exercícios: ponto de acumulação (ou ponto limite) e ponto isolado — eles ajudam a distinguir tipos de fronteira. \n
Definição de ponto de acumulação de A: x é ponto de acumulação de A se toda vizinhança perfurada de x contém algum ponto de A, isto é,
Significado: arbitrariamente perto de x há outros pontos de A. \n
Definição de ponto isolado de A: x\in A é isolado se existe r>0 tal que
B_r(x)\cap A=\{x\}.
Ou seja, x é “sozinho” numa bola; não há outros pontos de A próximos. \n
Relação com fronteira: um ponto de fronteira pode ser ponto de acumulação (fronteira de acumulação) ou ponto isolado (por exemplo, se A=\{0\} em X=\mathbb{R}, o ponto 0 é isolado e também é fronteira). É útil, na prova, verificar se um ponto fronteira é também de acumulação.
Passo 7
Dou exemplos concretos (os exemplos são essenciais para fixar): \n
Exemplo 1: A=(0,1)\subset\mathbb{R}. \n
Para x\in(0,1) existe r pequeno com B_r(x)=(x-r,x+r)\subset(0,1), então x é interior. \n
Para x=0 ou x=1, qualquer intervalo em torno de x intersecta (0,1) e também o complemento, logo 0 e 1 são pontos de fronteira. \n
Para x=2, existe intervalo em volta de 2 que fica fora de (0,1), logo 2 é exterior. \n
Exemplo 2: A=\{0\}\cup(1,2)\subset\mathbb{R}. \n
0 é ponto isolado de A (logo não é ponto de acumulação), mas é também ponto de fronteira; \n
pontos em (1,2) são interiores; \n
1 e 2 são pontos de fronteira e são pontos de acumulação para a parte (1,2).
Passo 8
Dicas rápidas para a prova (como aplicar em perguntas): \n
Para saber se x é interior: procure um r>0 com B_r(x)\subset A. Se achar, pronto. \n
Para saber se x é exterior: procure r>0 com B_r(x)\subset X\setminus A. \n
Se nenhum dos dois ocorrer, então x é ponto de fronteira; alternativamente teste a condição "toda vizinhança atinge A e X\setminus A". \n
Para decidir se um ponto fronteira é de acumulação, verifique as vizinhanças perfuradas: se sempre há outro ponto de A nelas, é ponto de acumulação; se existe uma vizinhança cujo único ponto de A seja x, então é isolado.
Resposta
Tipos de fronteira: \n
Ponto interior: x é interior a A se \exists r>0 tal que B_r(x)\subset A (equivalente a x\in\operatorname{int}(A)). \n
Ponto de fronteira: x é ponto de fronteira de A se \forall r>0 tem B_r(x)\cap A\neq\varnothing e B_r(x)\cap (X\setminus A)\neq\varnothing (o conjunto fronteira é \partial A=\overline{A}\setminus\operatorname{int}(A)). \n
Ponto exterior: x é exterior a A se \exists r>0 tal que B_r(x)\subset X\setminus A.
Tipos de vizinhança: \n
Vizinhança (geral): V é vizinhança de x se \exists r>0 com B_r(x)\subset V. \n
Vizinhança aberta: vizinhança que é um conjunto aberto (ex.: B_r(x)). \n
Vizinhança fechada: vizinhança que contém uma bola fechada \overline{B_r(x)} (usada em certos enunciados). \n
Vizinhança perfurada: vizinhança com o ponto removido, i.e., contém B_r(x)\setminus\{x\}; usada para definir pontos de acumulação.