Questão 4 (
pontos) Demonstre que:
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a identidade
Informações/dados que vamos usar (essas são as hipóteses padrão em termodinâmica para sistemas fechados e processos reversíveis):
-
é a energia interna; é a entropia; é a temperatura; é a pressão; é o volume. - O calor específico a volume constante é definido por
. - Para processos reversíveis a primeira lei da termodinâmica vale
, e a definição de temperatura/entropia reversível é .
Nada mais é pedido além de provar a fórmula mostrada acima.
Passo 2
Começo escrevendo a forma diferencial da primeira lei para um processo reversível:
Substituindo a segunda na primeira obtemos a relação termodinâmica fundamental
Passo 3
Agora escrevo
como função natural das variáveis
e
:
. O diferencial total vale então
Pelo definição do calor específico a volume constante temos
logo
Aqui explicando:
é a quantidade de energia interna que aumenta por unidade de aumento de temperatura quando o volume é mantido fixo.
Passo 4
Igualando as duas expressões para
(a do Passo 2 e a do Passo 3) obtemos
Isolando
temos
Portanto, para concluir a demonstração falta mostrar que
Passo 5
Para obter a relação do Passo 4 usamos o potencial de Helmholtz
definido por
Faço o diferencial de
:
Usando
(do Passo 2) segue
Dessa expressão lemos as derivadas parciais:
Como
é uma função duas vezes diferenciável bem comportada, as derivadas mistas são iguais, isto é a identidade de Schwarz (ou relação de Maxwell):
Usando as expressões de
e
acima isso dá
Passo 6
Volto à energia interna escrevendo
. Diferenciando
obtemos
Substituo
e a relação de Maxwell
. Assim
Rearranjando:
que é exatamente a identidade que faltava no Passo 4.
Passo 7
Substituo essa igualdade na expressão obtida no Passo 4:
Pronto — isso é a demonstração pedida.
Observação prática (útil para prova): para um gás ideal com
tem-se
, então a fórmula dá
que é a forma usada frequentemente para calcular variações de entropia do gás ideal. Força aí — você já tem a ferramenta para provas!