Um quilograma de ar (gás ideal) realiza um ciclo de potência de Carnot. A eficiência térmica do ciclo é
. O calor transferido para o ar durante a expansão isotérmica é 40 kJ . No início da expansão isotérmica a pressão é 7 bars e o volume
. Determine
(a) As temperaturas máxima e mínima do ciclo, em K ;
(b) O volume no final da expansão isotérmica ,
;
(c) O trabalho e o calor trocado em cada um dos quatro processos;
(d) Mostre o ciclo usando as coordenadas
.
(a) As temperaturas máxima e mínima do ciclo, em K ;
(b) O volume no final da expansão isotérmica ,
(c) O trabalho e o calor trocado em cada um dos quatro processos;
(d) Mostre o ciclo usando as coordenadas
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas. Vou listar claramente o que se deve encontrar e os dados fornecidos:
-
Perguntas:
(a) Determinar as temperaturas máxima e mínima do ciclo (em K).
(b) Determinar o volume no final da expansão isotérmica (em m).
(c) Determinar o trabalho e o calor trocados em cada um dos quatro processos do ciclo de Carnot.
(d) Mostrar (dar os pontos numéricos para) o ciclo em coordenadas. -
Dados fornecidos:
- Massa do ar:
. - O fluido é gás ideal (ar).
- Eficiência térmica do ciclo de Carnot:
. - Calor absorvido durante a expansão isotérmica (processo na temperatura máxima):
. - No início da expansão isotérmica (ponto 1): pressão
e volume . - Vou usar as propriedades típicas do ar como gás ideal: constante específica
e capacidade térmica a volume constante aproximada . Assim .
- Massa do ar:
Não vou resolver nada aqui, só organizei o que é pedido e os dados. Agora começo a resolução passo a passo.
Passo 2
Entender a relação eficiência do ciclo de Carnot e as temperaturas:
- A eficiência de um ciclo de Carnot entre temperaturas máxima
e mínima é
- Como nos deram
, isolamos a razão:
Isto significa que
. Ainda precisamos de
numérico; para isso usamos a equação do gás ideal no ponto inicial da expansão isotérmica (esse ponto está à temperatura
).
Passo 3
Usar a equação do gás ideal para encontrar
:
- Para uma massa
de gás ideal valem . - No ponto 1 temos
e , então
- Substituindo
, , e :
- Calculemos numericamente:
- Logo
(Assim respondemos a parte (a).)
Passo 4
Determinar o volume final da expansão isotérmica (parte (b)), usando a expressão do calor em processo isotérmico para gás ideal:
- Em um processo isotérmico reversível para gás ideal, o calor trocado é igual ao trabalho realizado:
onde
é o volume inicial e
o final, e
é constante nesse processo.
- Aqui
, e já conhecemos e . Então
- Note que
(pela equação de estado), então podemos usar . Assim
- Exponenciando,
- Portanto
Arredondando convenientemente,
. (Resposta da parte (b).)
Passo 5
Relações adiabáticas que servem para achar os volumes nos outros pontos e facilitar o desenho
:
- Nos processos adiabáticos reversíveis para gás ideal vale
- Na expansão adiabática do ponto 2 (temperatura
, volume ) até o ponto 3 (temperatura , volume ) temos
- Isolando
:
- Como já encontramos
e , temos . Logo o fator é . - Calculemos aproximadamente esse fator:
. - Assim
- O ponto 4 (após compressão isotérmica a
e antes da compressão adiabática final) satisfaz relação análoga: , logo
Passo 6
Calcular pressões nos quatro pontos para poder desenhar/concretizar o ciclo
:
- Pela equação do gás ideal
. - Como
, usamos em cada ponto. - Ponto 1 (dado):
e . - Ponto 2 (isotérmico a
): porque const. Então
- Ponto 3: use
. Como ,
- Ponto 4:
Resumo (valores aproximados):
,
;
,
;
,
;
,
.
Passo 7
Calcular trabalho e calor em cada processo (parte (c)). Vou usar a convenção: trabalho positivo quando realizado pelo sistema (energia que sai do sistema como trabalho); calor positivo quando recebido pelo sistema.
Processo 1→2: isoterma a
- Para gás ideal em processo isotérmico reversível:
- Já sabemos que
. Assim
- Como é isotérmico para gás ideal, a variação de energia interna é
.
Processo 2→3: adiabática reversível de
para
- Em adiabática reversível
. - O trabalho realizado pelo gás é a perda de energia interna (já que
e ), então
- Substituindo
e as temperaturas:
- Assim
- E
.
Processo 3→4: isoterma de compressão a
- Analogamente ao processo 1→2, para a isoterma fria:
- Mas
, então . Como resultado (usar proporcionalidade do Carnot: ). - O trabalho realizado pelo gás é igual ao calor para isoterma, então
(Negativo: trabalho feito sobre o gás.)
Processo 4→1: adiabática reversível de compressão de
para
- É a adiabática inversa da 2→3, portanto
e
- Verificação de balanço: trabalho líquido do ciclo
Isto bate com
, e a eficiência
como dado.
Passo 8
Resumo interpretativo e instrução para desenhar o ciclo
(parte (d)):
- Os quatro pontos a plottar no diagrama
(em unidades práticas) são: - Ponto 1:
. - Ponto 2:
. - Ponto 3:
. - Ponto 4:
.
- Ponto 1:
- O ciclo percorrido no sentido horário (para motor térmico) é:
1→2: curva isotérmica a(p decresce suavemente enquanto v aumenta de a m );
2→3: adiabática (p e T caem fortemente enquanto v cresce atém );
3→4: isotérmica a(compressão isotérmica: p aumenta quando v diminui de para m );
4→1: adiabática de compressão (p aumenta mais e T sobe até o ponto inicial). - Para desenhar, marque os pontos com as coordenadas acima e ligue 1→2 e 3→4 por curvas isotérmicas (hipérbolas
em cada temperatura) e 2→3 e 4→1 por curvas adiabáticas (mais inclinadas que isotermas). O ciclo ficará com a área fechada igual ao trabalho líquido .
Resposta
(a)
(b)
(c) Trabalhos e calores em cada processo (sinais: positivo = realizado pelo sistema / calor recebido pelo sistema):
- Processo
(isotérmico a ): - Processo
(adiabático): - Processo
(isotérmico a ): - Processo
(adiabático):
(Trabalho líquido do ciclo.)
(d) Coordenadas
dos quatro pontos (aproximadas):