Considere dois ciclos motores: um reversível ® e um irreversível (I). Ambos os ciclos descarregam calor para o mesmo reservatório térmico ( \mathrm{RT}_{3} ). O ciclo R recebe calor de um reservatório térmico \mathrm{RT}_{1} e o ciclo I recebe calor de um outro reservatório \mathrm{RT}_{2}. Os ciclos apresentam a mesma eficiência térmica.
(a) Escreva o primeiro e o segundo corolário da segunda lei da Termodinâmica;
(b) Utilize a definição da escala Kelvin de temperatura e os corolários descritos em (a) para determinar (usando argumentos lógicos e matemáticos) qual reservatório está mais quente ( \mathrm{RT}_{1} ou \mathrm{RT}_{2} ).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
  • Dois ciclos motores: um reversível ® e um irreversível (I).
  • Ambos descarregam calor no mesmo reservatório térmico \mathrm{RT}_3 (este é o reservatório frio comum).
  • O ciclo R recebe calor de \mathrm{RT}_1.
  • O ciclo I recebe calor de \mathrm{RT}_2.
  • Ambos os ciclos apresentam a mesma eficiência térmica: \eta_R = \eta_I.
    Perguntas:
    (a) Escrever o primeiro e o segundo corolário da segunda lei da Termodinâmica (os corolários a usar).
    (b) Usar a definição da escala Kelvin de temperatura e os corolários para determinar, com argumentos, qual reservatório está mais quente: \mathrm{RT}_1 ou \mathrm{RT}_2.

Passo 2

Escrevo os corolários pedindo no item (a). Vou enunciar-os de forma direta e intuitiva:
  • Primeiro corolário: “Todos os motores reversíveis que operam entre os mesmos dois reservatórios têm a mesma eficiência, independentemente do funcionamento interno.” (ou seja, a eficiência de um motor reversível depende apenas das temperaturas dos reservatórios, não do ciclo).
  • Segundo corolário: “Nenhum motor irreversível que opere entre dois reservatórios pode ter eficiência maior que a de um motor reversível que opere entre os mesmos dois reservatórios.” (ou seja, a eficiência irreversível é sempre menor ou igual à de Carnot entre as mesmas temperaturas; igualdade só se o motor for também reversível).

Passo 3

Definição da escala Kelvin (útil para (b)) e derivação da eficiência de Carnot:
  • Considere um motor reversível operando entre um reservatório quente, de temperatura T_h, e um reservatório frio, de temperatura T_c. Seja Q_h o calor absorvido do quente e Q_c o calor rejeitado ao frio, ambos em ciclos reversíveis.
  • A definição conveniente da escala termodinâmica de temperatura (escala Kelvin) é feita exigindo que, para motores reversíveis, a razão dos calores seja igual à razão das temperaturas:
\frac{Q_c}{Q_h}=\frac{T_c}{T_h}.
Aqui Q_h é o calor cedido pelo reservatório quente, Q_c o calor cedido ao reservatório frio, e T_h,T_c são as temperaturas termodinâmicas (em Kelvin) dos respectivos reservatórios.
  • A eficiência térmica de um motor é definida por
\eta = 1 - \frac{Q_c}{Q_h}.
Substituindo a relação da escala Kelvin para um motor reversível, obtemos a eficiência de Carnot:
\eta_{\text{rev}} = 1 - \frac{T_c}{T_h}.
Explicação rápida: a eficiência mede a fração do calor extraído do quente que é convertido em trabalho; a parte não convertida é Q_c. Para um motor reversível essa fração é exatamente T_c/T_h.

Passo 4

Aplicando ao nosso problema para o ciclo reversível R:
  • Para R temos reservatórios quente \mathrm{RT}_1 (temperatura T_1) e frio \mathrm{RT}_3 (temperatura T_3).
  • Como R é reversível, sua eficiência é a eficiência de Carnot entre T_1 e T_3:
\eta_R = 1 - \frac{T_3}{T_1}.
Expliquei cada símbolo: \eta_R é a eficiência de R, T_1 a temperatura de \mathrm{RT}_1, T_3 a de \mathrm{RT}_3.

Passo 5

Expressando a eficiência do ciclo irreversível I usando o segundo corolário:
  • Para I os reservatórios são \mathrm{RT}_2 (temperatura T_2, quente para I) e \mathrm{RT}_3 (temperatura T_3, frio).
  • Pelo segundo corolário, a eficiência de qualquer motor irreversível entre T_2 e T_3 satisfaz
\eta_I < 1 - \frac{T_3}{T_2},
onde a desigualdade é estrita porque I é dado como irreversível (um motor irreversível não atinge a eficiência de Carnot).

Passo 6

Usando a hipótese do enunciado \eta_R=\eta_I fazemos a comparação e a álgebra:
  • Igualdade dada:
\eta_R=\eta_I.
  • Substituindo as expressões das Passos 4 e 5:
1 - \frac{T_3}{T_1} = \eta_I < 1 - \frac{T_3}{T_2}.
  • Da desigualdade
1 - \frac{T_3}{T_1} < 1 - \frac{T_3}{T_2}
subtraindo 1 de ambos os lados:
- \frac{T_3}{T_1} < - \frac{T_3}{T_2}.
  • Multiplicando por -1 (inverte o sentido da desigualdade):
\frac{T_3}{T_1} > \frac{T_3}{T_2}.
  • Como T_3>0, podemos cancelar T_3 em ambos os lados:
\frac{1}{T_1} > \frac{1}{T_2}.
  • Invertendo as frações (novamente invertendo o sinal da desigualdade):
T_1 < T_2.

Passo 7

Conclusão lógica e física (resposta ao item (b)):
  • A desigualdade T_1 < T_2 significa que o reservatório \mathrm{RT}_2 tem temperatura maior que \mathrm{RT}_1; ou seja, \mathrm{RT}_2 é mais quente que \mathrm{RT}_1.
  • Intuição: como o motor I é irreversível, para ter a mesma eficiência de um motor reversível R descarregando no mesmo frio \mathrm{RT}_3, o reservatório quente de I precisa estar a uma temperatura ainda maior; isso compensa as perdas irreversíveis e permite igualar as eficiências dadas.

Resposta

(a) Primeiro corolário: Todos os motores reversíveis que operam entre os mesmos dois reservatórios têm a mesma eficiência. Segundo corolário: Nenhum motor irreversível entre dois reservatórios pode ter eficiência maior que a de um motor reversível entre os mesmos reservatórios.
(b) \mathrm{RT}_2 é mais quente que \mathrm{RT}_1 (ou seja, T_2>T_1).

Exercícios relacionados