Considere dois ciclos motores: um reversível ® e um irreversível (I). Ambos os ciclos descarregam calor para o mesmo reservatório térmico (
). O ciclo R recebe calor de um reservatório térmico
e o ciclo I recebe calor de um outro reservatório
. Os ciclos apresentam a mesma eficiência térmica.
(a) Escreva o primeiro e o segundo corolário da segunda lei da Termodinâmica;
(b) Utilize a definição da escala Kelvin de temperatura e os corolários descritos em (a) para determinar (usando argumentos lógicos e matemáticos) qual reservatório está mais quente (
ou
).
(a) Escreva o primeiro e o segundo corolário da segunda lei da Termodinâmica;
(b) Utilize a definição da escala Kelvin de temperatura e os corolários descritos em (a) para determinar (usando argumentos lógicos e matemáticos) qual reservatório está mais quente (
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
- Dois ciclos motores: um reversível ® e um irreversível (I).
- Ambos descarregam calor no mesmo reservatório térmico
(este é o reservatório frio comum). - O ciclo
recebe calor de . - O ciclo
recebe calor de . - Ambos os ciclos apresentam a mesma eficiência térmica:
.
Perguntas:
(a) Escrever o primeiro e o segundo corolário da segunda lei da Termodinâmica (os corolários a usar).
(b) Usar a definição da escala Kelvin de temperatura e os corolários para determinar, com argumentos, qual reservatório está mais quente:ou .
Passo 2
Escrevo os corolários pedindo no item (a). Vou enunciar-os de forma direta e intuitiva:
- Primeiro corolário: “Todos os motores reversíveis que operam entre os mesmos dois reservatórios têm a mesma eficiência, independentemente do funcionamento interno.” (ou seja, a eficiência de um motor reversível depende apenas das temperaturas dos reservatórios, não do ciclo).
- Segundo corolário: “Nenhum motor irreversível que opere entre dois reservatórios pode ter eficiência maior que a de um motor reversível que opere entre os mesmos dois reservatórios.” (ou seja, a eficiência irreversível é sempre menor ou igual à de Carnot entre as mesmas temperaturas; igualdade só se o motor for também reversível).
Passo 3
Definição da escala Kelvin (útil para (b)) e derivação da eficiência de Carnot:
- Considere um motor reversível operando entre um reservatório quente, de temperatura
, e um reservatório frio, de temperatura . Seja o calor absorvido do quente e o calor rejeitado ao frio, ambos em ciclos reversíveis. - A definição conveniente da escala termodinâmica de temperatura (escala Kelvin) é feita exigindo que, para motores reversíveis, a razão dos calores seja igual à razão das temperaturas:
Aqui
é o calor cedido pelo reservatório quente,
o calor cedido ao reservatório frio, e
são as temperaturas termodinâmicas (em Kelvin) dos respectivos reservatórios.
- A eficiência térmica de um motor é definida por
Substituindo a relação da escala Kelvin para um motor reversível, obtemos a eficiência de Carnot:
Explicação rápida: a eficiência mede a fração do calor extraído do quente que é convertido em trabalho; a parte não convertida é
. Para um motor reversível essa fração é exatamente
.
Passo 4
Aplicando ao nosso problema para o ciclo reversível
:
- Para
temos reservatórios quente (temperatura ) e frio (temperatura ). - Como
é reversível, sua eficiência é a eficiência de Carnot entre e :
Expliquei cada símbolo:
é a eficiência de
,
a temperatura de
,
a de
.
Passo 5
Expressando a eficiência do ciclo irreversível
usando o segundo corolário:
- Para
os reservatórios são (temperatura , quente para ) e (temperatura , frio). - Pelo segundo corolário, a eficiência de qualquer motor irreversível entre
e satisfaz
onde a desigualdade é estrita porque
é dado como irreversível (um motor irreversível não atinge a eficiência de Carnot).
Passo 6
Usando a hipótese do enunciado
fazemos a comparação e a álgebra:
- Igualdade dada:
- Substituindo as expressões das Passos 4 e 5:
- Da desigualdade
subtraindo 1 de ambos os lados:
- Multiplicando por
(inverte o sentido da desigualdade):
- Como
, podemos cancelar em ambos os lados:
- Invertendo as frações (novamente invertendo o sinal da desigualdade):
Passo 7
Conclusão lógica e física (resposta ao item (b)):
- A desigualdade
significa que o reservatório tem temperatura maior que ; ou seja, é mais quente que . - Intuição: como o motor
é irreversível, para ter a mesma eficiência de um motor reversível descarregando no mesmo frio , o reservatório quente de precisa estar a uma temperatura ainda maior; isso compensa as perdas irreversíveis e permite igualar as eficiências dadas.
Resposta
(a) Primeiro corolário: Todos os motores reversíveis que operam entre os mesmos dois reservatórios têm a mesma eficiência. Segundo corolário: Nenhum motor irreversível entre dois reservatórios pode ter eficiência maior que a de um motor reversível entre os mesmos reservatórios.
(b) é mais quente que
(ou seja,
).
(b)